| 4.1Tasas de variación relacionadas | 

Ejercicios propuestos para el Capítulo 4.1

Para los siguientes ejercicios, encuentra las cantidades para la ecuación dada:

1. Encuentra \(\frac{dy}{dt}\) en \(x = 1\) y \(y = x^2 + 3\) si \(\frac{dx}{dt} = 4\).

2. Encuentra \(\frac{dx}{dt}\) en \(x = -2\) y \(y = 2x^2 + 1\) si \(\frac{dy}{dt} = -1\).

3. Encuentra \(\frac{dz}{dt}\) en \((x, y) = (1, 3)\) y \(z^2 = x^2 + y^2\) si \(\frac{dx}{dt} = 4\) y \(\frac{dy}{dt} = 3\).

Para los siguientes ejercicios, dibuja la situación si es necesario y usa tasas relacionadas para resolver las cantidades.

4. [T] Si dos resistores eléctricos están conectados en paralelo, la resistencia total (medida en ohmios, denotada por la letra griega omega mayúscula, \(\Omega\)) está dada por la ecuación

\[ \frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}. \]

Si \(R_1\) está aumentando a una tasa de \(0.5 \, \Omega/\text{min}\) y \(R_2\) disminuye a una tasa de \(1.1 \, \Omega/\text{min}\), ¿a qué tasa cambia la resistencia total cuando \(R_1 = 20 \, \Omega\) y \(R_2 = 50 \, \Omega\)?

5. Una escalera de 10 pies está apoyada contra una pared. Si la parte superior de la escalera se desliza hacia abajo por la pared a una tasa de 2 pies/seg, ¿con qué rapidez se mueve la parte inferior a lo largo del suelo cuando la parte inferior de la escalera está a 5 pies de la pared?

6. Una escalera de 25 pies está apoyada contra una pared. Si empujamos la escalera hacia la pared a una tasa de 1 pie/seg, y la base de la escalera está inicialmente a 20 pies de la pared, ¿con qué rapidez se mueve la escalera hacia arriba por la pared 5 segundos después de que comenzamos a empujar?

7. Dos aviones están volando en el aire a la misma altura: el avión A vuela hacia el este a 250 mi/h y el avión B vuela hacia el norte a 300 mi/h. Si ambos se dirigen al mismo aeropuerto, ubicado a 30 millas al este del avión A y a 40 millas al norte del avión B, ¿a qué ritmo está cambiando la distancia entre los aviones?

8. Tú y un amigo van en bicicleta a un restaurante que crees que está al este; tu amigo cree que el restaurante está al norte. Ambos salen del mismo punto, tú viajas a 16 mi/h hacia el este y tu amigo viaja a 12 mi/h hacia el norte. Después de que hayas recorrido 4 millas, ¿a qué ritmo está cambiando la distancia entre ustedes?

9. Dos autobuses circulan por autopistas paralelas que están a 5 millas de distancia, uno se dirige hacia el este y el otro hacia el oeste. Suponiendo que cada autobús conduce a una constante de 55 mi/h, encuentra la tasa a la que la distancia entre los autobuses está cambiando cuando están a 13 millas de distancia, dirigiéndose uno hacia el otro.

10. Una persona de 6 pies de altura se aleja de una farola de 10 pies a una tasa constante de 3 pies/seg. ¿Cuál es la tasa a la que la punta de la sombra se aleja del poste cuando la persona está a 10 pies del poste?

11. Usando el problema anterior, ¿cuál es la tasa a la que la punta de la sombra se aleja de la persona cuando la persona está a 10 pies del poste?

12. Una persona de 5 pies de altura camina hacia una pared a una tasa de 2 pies/seg. Un foco está situado en el suelo a 40 pies de la pared. ¿Con qué rapidez cambia la altura de la sombra de la persona en la pared cuando la persona está a 10 pies de la pared?

13. Usando el problema anterior, ¿cuál es la tasa a la que cambia la sombra cuando la persona está a 10 pies de la pared, si la persona se aleja de la pared a una tasa de 2 pies/seg?

14. Un helicóptero que comienza en el suelo se eleva directamente en el aire a una tasa de 25 pies/seg. Estás corriendo en el suelo comenzando directamente debajo del helicóptero a una tasa de 10 pies/seg. Encuentra la tasa de cambio de la distancia entre el helicóptero y tú después de 5 segundos.

15. Usando el problema anterior, ¿cuál es la tasa a la que cambia la distancia entre tú y el helicóptero cuando el helicóptero se ha elevado a una altura de 60 pies en el aire, asumiendo que, inicialmente, estaba a 30 pies por encima de ti?

Para los siguientes ejercicios, dibuja y etiqueta diagramas para ayudar a resolver los problemas de tasas relacionadas:

16. El lado de un cubo aumenta a una tasa de \(\frac{1}{2}\) m/seg. Encuentra la tasa a la que aumenta el volumen del cubo cuando el lado del cubo mide 4 m.

17. El volumen de un cubo disminuye a una tasa de 10 m³/s. Encuentra la tasa a la que cambia el lado del cubo cuando el lado del cubo mide 2 m.

18. El radio de un círculo aumenta a una tasa de 2 m/seg. Encuentra la tasa a la que aumenta el área del círculo cuando el radio mide 5 m.

19. El radio de una esfera disminuye a una tasa de 3 m/seg. Encuentra la tasa a la que disminuye el área superficial cuando el radio mide 10 m.

20. El radio de una esfera aumenta a una tasa de 1 m/seg. Encuentra la tasa a la que aumenta el volumen cuando el radio mide 20 m.

21. El radio de una esfera aumenta a una tasa de 9 cm/seg. Encuentra el radio de la esfera cuando el volumen y el radio de la esfera aumentan a la misma tasa numérica.

22. La base de un triángulo se está reduciendo a una tasa de 1 cm/min y la altura del triángulo está aumentando a una tasa de 5 cm/min. Encuentra la tasa a la que cambia el área del triángulo cuando la altura es de 22 cm y la base es de 10 cm.

23. Un triángulo tiene dos lados constantes de longitud 3 pies y 5 pies. El ángulo entre estos dos lados aumenta a una tasa de 0.1 rad/seg. Encuentra la tasa a la que cambia el área del triángulo cuando el ángulo entre los dos lados es \(\pi/6\).

24. Un triángulo tiene una altura que aumenta a una tasa de 2 cm/seg y su área aumenta a una tasa de 4 cm²/seg. Encuentra la tasa a la que cambia la base del triángulo cuando la altura del triángulo es de 4 cm y el área es de 20 cm².

Para los siguientes ejercicios, considera un cono recto que tiene una fuga de agua. Las dimensiones del tanque cónico son una altura de 16 pies y un radio de 5 pies:

25. ¿Con qué rapidez cambia la profundidad del agua cuando el agua tiene 10 pies de altura si el cono pierde agua a una tasa de 10 pies³/min?

26. Encuentra la tasa a la que cambia el área superficial del agua cuando el agua tiene 10 pies de altura si el cono pierde agua a una tasa de 10 pies³/min.

27. Si el nivel del agua está disminuyendo a una tasa de 3 pulg/min cuando la profundidad del agua es de 8 pies, determina la tasa a la que el agua se está filtrando fuera del cono.

28. Un cilindro vertical tiene una fuga de agua a una tasa de 1 pie³/seg. Si el cilindro tiene una altura de 10 pies y un radio de 1 pie, ¿a qué tasa está cambiando la altura del agua cuando la altura es de 6 pies?

29. Un cilindro tiene una fuga de agua, pero no puedes determinar a qué tasa. El cilindro tiene una altura de 2 m y un radio de 2 m. Encuentra la tasa a la que el agua se está filtrando fuera del cilindro si la tasa a la que la altura está disminuyendo es de 10 cm/min cuando la altura es de 1 m.

30. Un canal tiene extremos con forma de triángulos isósceles, con un ancho de 3 m y una altura de 4 m, y el canal tiene 10 m de largo. Se bombea agua al canal a una tasa de 5 m³/min. ¿A qué tasa cambia la altura del agua cuando el agua tiene 1 m de profundidad?

31. Un tanque tiene la forma de una pirámide cuadrada invertida, con una base de 4 m por 4 m y una altura de 12 m (ve la siguiente figura). ¿Con qué rapidez aumenta la altura cuando el agua tiene 2 m de profundidad si se bombea agua a una tasa de \(\frac{2}{3}\) m³/seg?

Para los siguientes problemas, considera una piscina con forma de la mitad inferior de una esfera, que se está llenando a una tasa de 25 pies³/min. El radio de la piscina es de 10 pies. La fórmula para el volumen de un hemisferio parcial es

\[ V = \frac{\pi h}{6}(3r^2 + h^2) \]

donde \(h\) es la altura del agua y \(r\) es el radio del agua:

32. Encuentra la tasa a la que cambia la profundidad del agua cuando el agua tiene una profundidad de 5 pies.

33. Encuentra la tasa a la que cambia la profundidad del agua cuando el agua tiene una profundidad de 1 pie.

34. Si la altura aumenta a una tasa de 1 pulg/min cuando la profundidad del agua es de 2 pies, encuentra la tasa a la que se bombea agua.

35. Se está descargando grava de un camión y cae en una pila con forma de cono a una tasa de 10 pies³/min. El radio de la base del cono es tres veces la altura del cono. Encuentra la tasa a la que cambia la altura de la grava cuando la pila tiene una altura de 5 pies.

36. Usando una configuración similar al problema anterior, encuentra la tasa a la que se descarga la grava si la pila tiene 5 pies de altura y la altura aumenta a una tasa de 4 pulg/min.

Para los siguientes ejercicios, dibuja las situaciones y resuelve los problemas de tasas relacionadas:

37. Estás estacionario en el suelo y estás observando un pájaro volar horizontalmente a una tasa de 10 m/seg. El pájaro se encuentra a 40 m por encima de tu cabeza. ¿Con qué rapidez cambia el ángulo de elevación cuando la distancia horizontal entre tú y el pájaro es de 9 m?

38. Te paras a 40 pies de un cohete de botella en el suelo y observas cómo despega verticalmente hacia el aire a una tasa de 20 pies/seg. Encuentra la tasa a la que cambia el ángulo de elevación cuando el cohete está a 30 pies en el aire.

39. Un faro, L, está en una isla a 4 millas del punto más cercano, P, en la playa (ve la siguiente imagen). Si la luz del faro gira en el sentido de las agujas del reloj a una tasa constante de 10 revoluciones/min, ¿con qué rapidez se mueve el haz de luz a través de la playa a 2 millas del punto más cercano en la playa?

40. Usando la misma configuración que en el problema anterior, determina a qué velocidad se mueve el haz de luz a través de la playa a 1 milla del punto más cercano en la playa.

41. Estás caminando hacia una parada de autobús en una esquina en ángulo recto. Te mueves hacia el norte a una tasa de 2 m/seg y estás a 20 m al sur de la intersección. El autobús viaja hacia el oeste a una tasa de 10 m/seg alejándose de la intersección; ¡has perdido el autobús! ¿Cuál es la tasa a la que cambia el ángulo entre tú y el autobús cuando estás a 20 m al sur de la intersección y el autobús está a 10 m al oeste de la intersección?

      Para los siguientes ejercicios, refiérase a la figura del diamante de béisbol, que tiene lados de 90 pies:

42. [T] Un bateador golpea una bola hacia la tercera base a 75 pies/seg y corre hacia la primera base a una tasa de 24 pies/seg. ¿A qué tasa cambia la distancia entre la bola y el bateador cuando han pasado 2 segundos?

43. [T] Un bateador golpea una bola hacia la segunda base a 80 pies/seg y corre hacia la primera base a una tasa de 30 pies/seg. ¿A qué tasa cambia la distancia entre la bola y el bateador cuando el corredor ha cubierto un tercio de la distancia a la primera base? (Pista: Recuerda la ley de cosenos).

44. [T] Un bateador golpea la bola y corre hacia la primera base a una velocidad de 22 pies/seg. ¿A qué tasa cambia la distancia entre el corredor y la segunda base cuando el corredor ha corrido 30 pies?

45. [T] Los corredores comienzan en la primera y segunda base. Cuando se golpea la pelota de béisbol, el corredor en la primera base corre a una velocidad de 18 pies/seg hacia la segunda base y el corredor en la segunda base corre a una velocidad de 20 pies/seg hacia la tercera base. ¿Con qué rapidez está cambiando la distancia entre los corredores 1 segundo después de que se golpea la pelota?