| 7.5 Series alternantes |

Ejercicios propuestos para el Capítulo 7.5

      Indique si cada una de las siguientes series converge absolutamente, condicionalmente o no converge en absoluto:

250. \( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{n}{n + 3} \)

251. \( \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{\sqrt{n}+1}{\sqrt{n}+3} \)

252. \( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{\sqrt{n+3}} \)

253. \( \sum_{n=1}^{\infty} \)\( (-1)^{n+1} \frac{\sqrt{n+3}}{n} \)

254. \( \sum_{n=1}^{\infty} \)\( (-1)^{n+1} \frac{1}{n!} \)

255. \( \sum_{n=1}^{\infty} \)\( (-1)^{n+1} \frac{3^n}{n!} \)

256. \( \sum_{n=1}^{\infty} \)\( (-1)^{n+1} \left(\frac{n-1}{n}\right)^n \)

257. \( \sum_{n=1}^{\infty} \)\( (-1)^{n+1} \left(\frac{n+1}{n}\right)^n \)

258. \( \sum_{n=1}^{\infty} \)\( (-1)^{n+1} \text{sen}^2 n \)

259. \( \sum_{n=1}^{\infty} \)\( (-1)^{n+1} \text{cos}^2 n \)

260. \( \sum_{n=1}^{\infty} \)\( (-1)^{n+1} \text{sen}^2\left(\frac{1}{n}\right) \)

261. \( \sum_{n=1}^{\infty} \)\( (-1)^{n+1} \text{cos}^2\left(\frac{1}{n}\right) \)

262. \( \sum_{n=1}^{\infty} \)\( (-1)^{n+1} \ln\left(\frac{1}{n}\right) \)

263. \( \sum_{n=1}^{\infty} \)\( (-1)^{n+1} \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) \)

264. \( \sum_{n=1}^{\infty} \)\( (-1)^{n+1} \frac{n^2}{1 + n^4} \)

265. \( \sum_{n=1}^{\infty} \)\( (-1)^{n+1} \frac{n^e}{1 + n^\pi} \)

266. \( \sum_{n=1}^{\infty} \)\( (-1)^{n+1} 2^{\frac{1}{n}} \)

267. \( \sum_{n=1}^{\infty} \)\( (-1)^{n+1} n^{\frac{1}{n}} \)

268. \( \sum_{n=1}^{\infty} \) \( (-1)^{n} (1 – n^{\frac{1}{n}}) \) (Sugerencia: \( n^{1/n} \approx 1 + \frac{\ln(n)}{n} \) para \( n \) grande.)

269. \( \sum_{n=1}^{\infty} \) \( (-1)^{n+1} \frac{1}{n} \big(1 – \cos\big(\frac{1}{n}\big)\big) \) (Sugerencia: \( \cos\big(\frac{1}{n}\big) \approx 1 – \frac{1}{n^2} \) para \( n \) grande.)

270. \( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} (\sqrt{n+1} – \sqrt{n}) \) (Sugerencia: Racionalizar el numerador). 271. \( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \left( \frac{1}{\sqrt{n}} – \frac{1}{\sqrt{n+1}} \right) \) (Sugerencia: Hallar denominador común y luego racionalizar el numerador).

272. \( \sum_{n=1}^{\infty} \) \( (-1)^{n+1} \big(\ln(n+1) – \ln(n)\big) \)

273. \( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} n (\arctan(n+1) – \arctan(n)) \) (Sugerencia: Usar el Teorema del Valor Medio).

274. \( \sum_{n=1}^{\infty} \) \( (-1)^{n+1} \big((n+1)^2 – n^2\big) \)

275. \( \sum_{n=1}^{\infty} \) \( (-1)^{n+1} \left( \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1} \right) \)

276. \( \sum_{n=1}^{\infty} \) \( \frac{\cos(n\pi)}{n} \)

277. \( \sum_{n=1}^{\infty} \) \( \frac{\cos(n\pi)}{n^{1/n}} \)

278. \( \sum_{n=1}^{\infty} \) \( \frac{1}{n} \operatorname{sen}\left(\frac{n\pi}{2}\right) \)

279. \( \sum_{n=1}^{\infty} \) \( \operatorname{sen}\left(\frac{n\pi}{2}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{1}{n}\right) \)

En cada uno de los siguientes problemas, utiliza la estimación \( |R_N| \leq b_{N+1} \) para encontrar un valor de \( N \) que garantice que la suma de los primeros \( N \) términos de la serie alternante \( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} b_n \) difiera de la suma infinita en, como máximo, el error dado. Calcula la suma parcial \( S_N \) para este valor de \( N \):

280. [T] \( b_n = \frac{1}{n}, \) error \( < 10^{-5} \)

281. [T] \( b_n = \frac{1}{\ln(n)}, \, n \geq 2, \) error \( < 10^{-1} \)

282. [T] \( b_n = \frac{1}{\sqrt{n}}, \) error \( < 10^{-3} \)

283. [T] \( b_n = \frac{1}{2^n}, \) error \( < 10^{-6} \)

284. [T] \( b_n = \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right), \) error \( < 10^{-3} \)

285. [T] \( b_n = \frac{1}{n^2}, \) error \( < 10^{-6} \)

      Para los siguientes ejercicios, indique si cada una de las afirmaciones es verdadera o falsa. Si la afirmación es falsa, proporcione un ejemplo en el que sea falsa:

286. Si \( b_n \geq 0 \) es decreciente y \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \), entonces \( \sum_{n=1}^{\infty} (b_{2n-1} – b_{2n}) \) converge absolutamente.

287. Si \( b_n \geq 0 \) es decreciente, entonces \( \sum_{n=1}^{\infty} (b_{2n-1} – b_{2n}) \) converge absolutamente.

288. Si \( b_n \geq 0 \) y \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \), entonces \( \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2}(b_{3n-2} + b_{3n-1}) – b_{3n} \right) \) converge.

289. Si \( b_n \geq 0 \) es decreciente y \( \sum_{n=1}^{\infty} (b_{3n-2} + b_{3n-1} – b_{3n}) \) converge, entonces \( \sum_{n=1}^{\infty} b_{3n-2} \) converge.

290. Si \( b_n \geq 0 \) es decreciente y \( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} b_n \) converge condicionalmente pero no absolutamente, entonces \( b_n \) no tiende a cero.

291. Sea \( a^+_n = a_n \) si \( a_n \geq 0 \) y \( a^-_n = -a_n \) si \( a_n < 0 \). (También, \( a^+_n = 0 \) si \( a_n < 0 \) y \( a^-_n = 0 \) si \( a_n \geq 0 \).) Si \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) converge condicionalmente pero no absolutamente, entonces ni \( \sum_{n=1}^{\infty} a^+_n \) ni \( \sum_{n=1}^{\infty} a^-_n \) convergen.

292. Supongamos que \( a_n \) es una secuencia de números reales positivos y que \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) converge. Supongamos que \( b_n \) es una secuencia arbitraria de unos y menos unos. ¿Converge necesariamente \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n \)?

293. Supongamos que \( a_n \) es una secuencia tal que \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n \) converge para cada secuencia posible \( b_n \) de ceros y unos. ¿Converge \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) absolutamente?

     Las siguientes series no satisfacen las hipótesis del criterio de la serie alternante tal como se enuncia. En cada caso, indique qué hipótesis no se satisface. Determine si la serie converge absolutamente:

294. \( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \text{sen}\left( \frac{2n}{n} \right) \)

295. \( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \cos\left( \frac{2n}{n} \right) \)

296. \( 1 + \frac{1}{2} – \frac{1}{3} – \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} – \frac{1}{7} – \frac{1}{8} + \cdots \)

297. \( 1 + \frac{1}{2} – \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} – \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} – \frac{1}{9} + \cdots \)

298. Demuestra que la serie alternante \( 1 – \frac{1}{2} + \frac{1}{2} – \frac{1}{4} + \frac{1}{3} – \frac{1}{6} + \frac{1}{4} – \frac{1}{8} + \cdots \) no converge. ¿Qué hipótesis del test de series alternantes no se cumple?

299. Supongamos que \( \sum a_n \) converge absolutamente. Demuestra que la serie que consiste en los términos positivos \( a_n \) también converge.

300. Demuestra que la serie alternante \( \frac{2}{3} – \frac{3}{5} + \frac{4}{7} – \frac{5}{9} + \cdots \) no converge. ¿Qué hipótesis del test de series alternantes no se cumple?

301. La fórmula \( \cos \theta = 1 – \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} – \frac{\theta^6}{6!} + \cdots \) será derivada en el próximo capítulo. Utiliza el residuo \( |R_N| \leq b_{N+1} \) para encontrar un límite para el error al estimar \( \cos \theta \) usando la quinta suma parcial \( 1 – \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} – \frac{\theta^6}{6!} + \frac{\theta^8}{8!} \) para \( \theta = 1 \), \( \theta = \frac{\pi}{6} \), y \( \theta = \pi \).

302. La fórmula \( \sin \theta = \theta – \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} – \frac{\theta^7}{7!} + \cdots \) será derivada en el próximo capítulo. Utiliza el residuo \( |R_N| \leq b_{N+1} \) para encontrar un límite para el error al estimar \( \sin \theta \) usando la quinta suma parcial \( \theta – \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} – \frac{\theta^7}{7!} + \frac{\theta^9}{9!} \) para \( \theta = 1 \), \( \theta = \frac{\pi}{6} \), y \( \theta = \pi \).

303. ¿Cuántos términos de la fórmula \( \cos \theta = 1 – \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} – \frac{\theta^6}{6!} + \cdots \) son necesarios para aproximar \( \cos 1 \) con un error de a lo sumo 0.00001?

304. ¿Cuántos términos de la fórmula \( \sin \theta = \theta – \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} – \frac{\theta^7}{7!} + \cdots \) son necesarios para aproximar \( \sin 1 \) con un error de a lo sumo 0.00001?

305. A veces la serie alternante \( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} b_n \) converge a una cierta fracción de una serie absolutamente convergente \( \sum_{n=1}^{\infty} b_n \) a una tasa más rápida. Dado que \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \), encuentra \( \frac{1}{2} = 1 – \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} – \frac{1}{4^2} + \cdots \). ¿Cuál de las series \( 6 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \) y \( S \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{n^2} \) da una mejor estimación de \( \frac{\pi^2}{6} \) utilizando 1000 términos?

     Las siguientes series alternantes convergen a múltiplos dados de π. Encuentre el valor de N predicho por la estimación del resto tal que la N-ésima suma parcial de la serie aproxime con precisión el lado izquierdo dentro del error dado. Encuentre el N mínimo para el cual se cumple la cota del error y proporcione el valor aproximado deseado en cada caso. Hasta 15 lugares decimales, π = 3.141592653589793…:

306. \( \frac{\pi}{4} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} \), error \( < 0.0001 \)

307. \( \frac{\pi}{\sqrt{12}} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-3)^{-k}}{2k+1} \), error \( < 0.0001 \)

308. La serie \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sin(x + \pi n)}{x + \pi n} \) juega un papel importante en el procesamiento de señales. Demuestra que \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sin(x + \pi n)}{x + \pi n} \) converge siempre que \( 0 < x < \pi \). (Sugerencia: Usa la fórmula para el seno de la suma de ángulos.)

309. Si \( \sum_{n=1}^{N} (-1)^{n-1} \frac{1}{n} \to \ln 2 \), ¿cuál es el valor de \( 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} – \frac{1}{2} – \frac{1}{4} – \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{9} + \frac{1}{11} – \frac{1}{8} – \frac{1}{10} – \frac{1}{12} + \cdots \)?

310. Grafica la serie \( \sum_{n=1}^{100} \frac{\cos(2\pi n x)}{n} \) para \( 0 \leq x < 1 \). Explica por qué \( \sum_{n=1}^{100} \frac{\cos(2\pi n x)}{n} \) diverge cuando \( x = 0 \) o \( x = 1 \). ¿Cómo se comporta la serie para otros valores de \( x \)?

311. Grafica la serie \( \sum_{n=1}^{100} \frac{\sin(2\pi n x)}{n} \) para \( 0 \leq x < 1 \) y comenta sobre su comportamiento.

312. Grafica la serie \( \sum_{n=1}^{100} \frac{\cos(2\pi n x)}{n^2} \) para \( 0 \leq x < 1 \) y describe su gráfico.

313. La serie armónica alternante converge debido a la cancelación entre sus términos. Su suma es conocida porque la cancelación puede ser descrita explícitamente. Una serie armónica aleatoria es una de la forma \( \sum_{n=1}^{\infty} S_n \frac{1}{n} \), donde \( S_n \) es una secuencia generada aleatoriamente de \( \pm 1 \), en la que los valores \( \pm 1 \) son igualmente probables de ocurrir. Usa un generador de números aleatorios para producir 1000 \( \pm 1 \) aleatorios y grafica las sumas parciales \( S_N = \sum_{n=1}^{N} S_n \frac{1}{n} \) de tu secuencia armónica aleatoria para \( N = 1 \) a 1000. Compara con la gráfica de las primeras 1000 sumas parciales de la serie armónica.

314. Las estimaciones de \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \) pueden acelerarse escribiendo sus sumas parciales como \( \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n^2} = \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n(n+1)} + \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n^2(n+1)} \) y recordando que \( \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n(n+1)} = 1 – \frac{1}{N+1} \) converge a uno cuando \( N \to \infty \). Compara la estimación de \( \frac{\pi^2}{6} \) usando las sumas \( \sum_{n=1}^{10000} \frac{1}{n^2} \) con la estimación usando \( 1 + \sum_{n=1}^{10000} \frac{1}{n^2(n+1)} \).

315. La transformación de Euler reescribe \( S = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n b_n \) como \( S = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n+1} \sum_{m=0}^{n} \binom{n}{m} b_{n-m} \). Para la serie armónica alternante, toma la forma \( \ln(2) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n 2^n} \). Calcula las sumas parciales de \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n 2^n} \) hasta que aproximen \( \ln(2) \) con un error menor a \( 0.0001 \). ¿Cuántos términos son necesarios? Compara este resultado con el número de términos necesarios en la serie armónica alternante para estimar \( \ln(2) \).

316. En el texto se afirmó que una serie condicionalmente convergente puede ser reordenada para converger a cualquier número. Aquí hay un hecho un poco más simple, pero similar. Si \( a_n \geq 0 \) es tal que \( a_n \to 0 \) cuando \( n \to \infty \), pero \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) diverge, entonces, dado cualquier número \( A \), existe una secuencia \( s_n \) de \( \pm 1 \)’s tal que \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n s_n \to A \). Demuestra esto para \( A > 0 \) de la siguiente manera. Define recursivamente \( s_n \) por \( s_n = 1 \) si \( S_{n-1} = \sum_{k=1}^{n-1} a_k s_k < A \) y \( s_n = -1 \) en caso contrario. Explica por qué eventualmente \( S_n \geq A \), y para cualquier \( m \) mayor que este \( n \), se cumple que \( A - a_m \leq S_m \leq A + a_m \). Explica por qué esto implica que \( S_n \to A \) cuando \( n \to \infty \).