| 7.4 Pruebas de comparación |

Ejercicios propuestos para el Capítulo 7.4

      Use la prueba de comparación para determinar si las siguientes series convergen:

194. \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\), donde \(a_n = \frac{2n}{n+1}\). 195. \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\), donde \(a_n = \frac{1}{n(n + \frac{1}{2})}\). 196. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2(n+1)}\) 197. \(\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{2(n-1)}\) 198. \(\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n \ln n)^2}\) 199. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{(n+2)!}\) 200. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}\)

201. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathrm{sen}(1/n)}{n^2} \)

202. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathrm{sen^2}n}{n^2} \)

203. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathrm{sen}(1/n)}{(\sqrt{n})^3} \) 204. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{1.2}-1}{n^{2.3}+1} \) 205. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n} \)

206. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[4]{n}}{\sqrt[3]{n^4 + n^2}} \)

        Utilice la prueba de comparación del límite para determinar si cada una de las siguientes series converge o diverge:

207. \(\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{\ln n}{n} \right)^2\) 208. \(\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{\ln n}{n^{0.6}} \right)^2\) 209. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)}{n}\)

210. \( \sum_{n=1}^{\infty} \ln\left(1 + \frac{1}{n^2}\right) \)

211. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4^n – 3^n} \)

212. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 – n \, \mathrm{sen} \, n} \)

213. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{e^{(1.1)n} – 3^n} \)

214. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{e^{(1.01)n} – 3^n} \)

215. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1 + \frac{1}{n}}} \)

216. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{1 + \frac{1}{n}} n^{1 + \frac{1}{n}}} \)

217. \( \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} – \mathrm{sen}\left(\frac{1}{n}\right) \right) \)

218. \( \sum_{n=1}^{\infty} \left( 1 – \cos\left(\frac{1}{n}\right) \right) \)

219. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \left( \frac{\pi}{2} – \arctan(n) \right) \)

220. \( \sum_{n=1}^{\infty} \left( 1 – \frac{1}{n} \right)^{n \cdot n} \) (Pista: \( \left( 1 – \frac{1}{n} \right)^n \to \frac{1}{e} \))

221. \( \sum_{n=1}^{\infty} \left( 1 – e^{-\frac{1}{n}} \right) \) (Pista: \( \frac{1}{e} \approx \left( 1 – \frac{1}{n} \right)^n \), por lo que \( 1 – e^{-\frac{1}{n}} \approx \frac{1}{n} \).)

222. ¿La serie \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^p} \) converge si \( p \) es suficientemente grande? Si es así, ¿para qué valores de \( p \)?

223. ¿La serie \( \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{\ln n}{n} \right)^p \) converge si \( p \) es suficientemente grande? Si es así, ¿para qué valores de \( p \)?

224. ¿Para qué valores de \(p\) converge la serie \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{pn}}{3^n} \)?

225. ¿Para qué valores de \(p > 0\) converge la serie \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^p}{2^n} \)?

226. ¿Para qué valores de \(r > 0\) converge la serie \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{r^{n^{2}}}{2^{n}}\)?

227. ¿Para qué \(r>0\) converge la serie \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{r^{n^{2}}}\)?

228. Encuentra todos los valores de \(p\) y \(q\) tales que \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{p}}{(n!)^{q}}\) converge.

229. ¿\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\text{sen}^{2}(n\pi/2)}{n}\) converge o diverge? Explica.

230. Explica por qué, para cada \(n\), al menos uno de {\(|sen~n|,|sen(n+1)|,…,|sen~n+6|\)} es mayor que 1/2. Usa esta relación para probar la convergencia de \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|sen~n|}{\sqrt{n}}.\)

231. Suponga que \(a_{n}\ge0\) y \(b_{n}\ge0\) y que \(\sum_{n=1}^{\infty}a^{2}_{n}\) y \(\sum_{n=1}^{\infty}b^{2}_{n}\) convergen. Pruebe que \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n}\) converge y \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n}\le\frac{1}{2}(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}^{2}+\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}^{2})\).

232. ¿Converge \(\sum_{n=1}^{\infty}2^{-\ln\ln n}\)? (Pista: Escriba \(2^{\ln\ln n}\) como una potencia de \(\ln n\).)

233. ¿Converge \(\sum_{n=1}^{\infty}(\ln~n)^{-\ln~n}\)? (Pista: Use \(n=e^{\ln(n)}\) para comparar con una p-serie.)

234. ¿Converge \(\sum_{n=2}^{\infty}(\ln~n)^{-\ln\ln~n}\)? (Pista: Compare \(a_{n}\) con \(1/n\).)

235. Muestre que si \(a_{n}\ge0\) y \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) converge, entonces \(\sum_{n=1}^{\infty}{a^{2}}_{n}\) converge. Si \(\sum_{n=1}^{\infty}a^{2}_{n}\) converge, ¿necesariamente converge \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\)?

236. Suponga que \(a_{n}>0\) para todo n y que \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) converge. Suponga que \(b_{n}\) es una secuencia arbitraria de ceros y unos. ¿Converge necesariamente \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n}\)?

237. Suponga que \(a_{n}>0\) para todo n y que \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) diverge. Suponga que \(b_{n}\) es una secuencia arbitraria de ceros y unos con infinitos términos iguales a uno. ¿Diverge necesariamente \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n}\)?

238. Complete los detalles del siguiente argumento: Si \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\) converge a una suma finita s, entonces \(\frac{1}{2}s = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + …\) y \(s-\frac{1}{2}s=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+….\) ¿Por qué esto lleva a una contradicción?

239. Demuestre que si \(a_{n}\ge0\) y \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}^{2}\) converge, entonces \(\sum_{n=1}^{\infty}\text{sen}^{2}(a_{n})\) converge.

240. Suponga que \(\frac{a_{n}}{b_{n}} \to 0\) en el criterio de comparación, donde \(a_{n} \ge 0\) y \(b_{n} \ge 0\). Pruebe que si \(\sum b_{n}\) converge, entonces \(\sum a_{n}\) converge.

241. Sea \(b_{n}\) una secuencia infinita de ceros y unos. ¿Cuál es el mayor valor posible de \(x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_{n}}{2^{n}}\)?

242. Sea \(d_{n}\) una secuencia infinita de dígitos, lo que significa que \(d_{n}\) toma valores en \(\{0, 1, \cdots, 9\}\). ¿Cuál es el mayor valor posible de \(x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{d_{n}}{10^{n}}\) que converge?

243. Explique por qué, si \(x > \frac{1}{2}\), entonces \(x\) no puede escribirse como \[x = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{b_{n}}{2^{n}} \quad (b_{n} = 0 \text{ o } 1, \ b_{1} = 0).\]

[T] 244. Evelyn tiene una balanza perfecta, un número ilimitado de pesas de 1-kg, y una de cada una de las siguientes pesas: 1/2-kg, 1/4-kg, 1/8-kg, y así sucesivamente. Desea pesar un meteorito de origen desconocido con una precisión arbitraria. Suponiendo que la balanza sea lo suficientemente grande, ¿puede hacerlo? ¿Qué tiene esto que ver con las series infinitas?

[T] 245. Robert quiere conocer su masa corporal con una precisión arbitraria. Tiene una balanza grande que funciona a la perfección, una colección ilimitada de pesas de 1 kg y nueve de cada una de las siguientes pesas: 0.1 kg, 0.01 kg, 0.001 kg, y así sucesivamente. Suponiendo que la balanza sea lo suficientemente grande, ¿puede hacerlo? ¿Qué tiene esto que ver con las series infinitas?

246. La serie \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n}\) es la mitad de la serie armónica y, por lo tanto, diverge. Se obtiene de la serie armónica eliminando todos los términos en los que \(n\) es impar. Sea \(m > 1\) fijo. Demuestre, de manera más general, que eliminar todos los términos \(\frac{1}{n}\) donde \(n = mk\) para algún entero \(k\) también resulta en una serie divergente.

247. En vista del ejercicio anterior, puede ser sorprendente que una subserie de la serie armónica en la que se elimina aproximadamente uno de cada cinco términos pueda converger. Una serie armónica depleta es una serie obtenida de \[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\] eliminando cualquier término \(\frac{1}{n}\) si un dígito dado, digamos 9, aparece en la expansión decimal de \(n\) (es decir, si \(n = \dots 9 \dots\)).

Argumente que esta serie armónica depleta converge respondiendo a las siguientes preguntas:

a. ¿Cuántos números enteros \(n\) tienen \(d\) dígitos?

b. ¿Cuántos números enteros de \(d\) dígitos \(h(d)\) no contienen 9 como uno o más de sus dígitos?

c. ¿Cuál es el número de \(d\) dígitos más pequeño \(m(d)\)?

d. Explique por qué la serie armónica eliminada está acotada por \[\sum_{d=1}^{\infty}\frac{h(d)}{m(d)}\]

e. Demuestre que \[\sum_{d=1}^{\infty}\frac{h(d)}{m(d)}\] converge.

248. Suponga que una secuencia de números \(a_{n} > 0\) tiene la propiedad de que \(a_{1} = 1\) y \(a_{n+1} = \frac{1}{n+1}S_{n}\), donde \(S_{n} = a_{1} + \dots + a_{n}\). ¿Puede determinar si \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) converge? (Pista: \(S_{n}\) es monótona.)

249. Suponga que una secuencia de números \(a_{n} > 0\) tiene la propiedad de que \(a_{1} = 1\) y \[a_{n+1} = \frac{1}{(n+1)^{2}}S_{n},\] donde \(S_{n} = a_{1} + \dots + a_{n}\). ¿Puede determinar si \[\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\] converge? \[ \] (Pista: \[S_{2} = a_{2} + a_{1} = a_{2} + S_{1} = a_{2} + 1 = 1 + \frac{1}{4} = \left(1 + \frac{1}{4}\right)S_{1},\] \[S_{3} = \frac{1}{3^{2}}S_{2} + S_{2} = \left(1 + \frac{1}{9}\right)S_{2} = \left(1 + \frac{1}{9}\right)\left(1 + \frac{1}{4}\right)S_{1},\] etc. Mire a \(\ln(S_{n})\) y use \(\ln(1+t) \le t, t > 0\).)