| 5.12 Otras estrategias para la integración |
Ejercicios propuestos para el Capítulo 5.12
Utilice una tabla de integrales para evaluar las siguientes integrales:
$\int_0^4 \frac{x}{\sqrt{1 + 2x}} dx$
$\int \frac{x + 3}{x^2 + 2x + 2} dx$
$\int x^3 \sqrt{1 + 2x^2} dx$
$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 6x}} dx$
$\int \frac{x}{x + 1} dx$
$\int x \cdot 2^{x^2} dx$
$\int \frac{1}{4x^2 + 25} dx$
$\int \frac{dy}{\sqrt{4 – y^2}}$
$\int \sin^3(2x) \cos(2x) dx$
$\int \csc(2w) \cot(2w) dw$
$\int 2^y dy$
$\int_0^1 \frac{3x \, dx}{\sqrt{x^2 + 8}}$
$\int_{-1/4}^{1/4} \sec^2(\pi x) \tan(\pi x) \, dx$
$\int_0^{\pi/2} \tan^2 \left( \frac{x}{2} \right) dx$
$\int \cos^3 x \, dx$
$\int \tan^5 (3x) \, dx$
$\int \sin^2 y \cos^3 y \, dy$
Utilice un CAS (Sistema de Álgebra Computacional) para evaluar las siguientes integrales. También se pueden usar tablas para verificar las respuestas:
$[T] \int \frac{dw}{1 + \sec(\frac{w}{2})}$
$[T] \int \frac{dw}{1 – \cos(7w)}$
$[T] \int_0^t \frac{dt}{4\cos t + 3\sin t}$
$[T] \int \frac{\sqrt{x^2 – 9}}{3x} dx$
$[T] \int \frac{dx}{x^{1/2} + x^{1/3}}$
$[T] \int \frac{dx}{x \sqrt{x} – 1}$
$[T] \int x^3 \sin x \, dx$
$[T] \int x \sqrt{x^4 – 9} \, dx$
$[T] \int \frac{x}{1 + e^{-x^2}} dx$
$[T] \int \frac{\sqrt{3 – 5x}}{2x} dx$
$[T] \int \frac{dx}{x \sqrt{x} – 1}$
$[T] \int e^x \cos^{-1}(e^x) dx$
Utilice una calculadora o un CAS (Sistema de Álgebra Computacional) para evaluar las siguientes integrales:
$[T] \int_0^{\pi/4} \cos(2x) \, dx$
$[T] \int_0^1 x \cdot e^{-x^2} \, dx$
$[T] \int_0^8 \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 36}} dx$
$[T] \int_0^{2/\sqrt{3}} \frac{1}{4 + 9x^2} dx$
$[T] \int \frac{dx}{x^2 + 4x + 13}$
$[T] \int \frac{dx}{1 + \sin x}$
Utilice tablas para evaluar las integrales. Es posible que deba completar el cuadrado o cambiar las variables para poner la integral en una forma que se encuentre en la tabla:
$\int \frac{dx}{x^2 + 2x + 10}$
$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 – 6x}}$
$\int \frac{e^x}{\sqrt{e^{2x} – 4}} dx$
$\int \frac{\cos x}{\sin^2 x + 2 \sin x} dx$
$\int \frac{\arctan(x^3)}{x^4} dx$
$\int \frac{\ln |x| \arcsin(\ln |x|)}{x} dx$
Utilice tablas para realizar la integración:
$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 16}}$
$\int \frac{3x}{2x + 7} dx$
$\int \frac{dx}{1 – \cos(4x)}$
$\int \frac{dx}{\sqrt{4x + 1}}$
Encuentre el área limitada por $y(4 + 25x^2) = 5$, $x = 0$, $y = 0$, y $x = 4$. Use una tabla de integrales o un CAS.
La región limitada entre la curva $y = \frac{1}{\sqrt{1 + \cos x}}$, $0.3 \leq x \leq 1.1$, y el eje x se gira alrededor del eje x para generar un sólido. Use una tabla de integrales para encontrar el volumen del sólido generado. (Redondee la respuesta a dos lugares decimales.)
Use la sustitución y una tabla de integrales para encontrar el área de la superficie generada al girar la curva $y = e^x$, $0 \leq x \leq 3$, alrededor del eje x. (Redondee la respuesta a dos lugares decimales.)
$[T]$ Use una tabla de integrales y una calculadora para encontrar el área de la superficie generada al girar la curva $y = \frac{x^2}{2}$, $0 \leq x \leq 1$, alrededor del eje x. (Redondee la respuesta a dos lugares decimales.)
$[T]$ Use un CAS o tablas para encontrar el área de la superficie generada al girar la curva $y = \cos x$, $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$, alrededor del eje x. (Redondee la respuesta a dos lugares decimales.)
Encuentre la longitud de la curva $y = \frac{x^2}{4}$ sobre $[0, 8]$.
Encuentre la longitud de la curva $y = e^x$ sobre $[0, \ln(2)]$.
Encuentre el área de la superficie formada al girar la gráfica de $y = 2\sqrt{x}$ sobre el intervalo $[0, 9]$ alrededor del eje x.
Encuentre el valor promedio de la función $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$ sobre el intervalo $[-3, 3]$.
Aproxime la longitud del arco de la curva $y = \tan(\pi x)$ sobre el intervalo $[0, \frac{1}{4}]$. (Redondee la respuesta a tres lugares decimales.)