La integral definida

Propiedades de la integral definida

Las propiedades de las integrales indefinidas se aplican también a las integrales definidas. Las integrales definidas también tienen propiedades que se relacionan con los límites de la integración. Estas propiedades, junto con las reglas de integración que examinamos más adelante en este capítulo, nos ayudan a manipular expresiones para evaluar integrales definidas.

REGLA 5.2_1: PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

1.  Si los límites de integración son los mismos, la integral es solo una recta vertical y no contiene área:

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2.  Si los límites de integración se invierten, coloque un signo negativo antes de la integral:

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3. La integral de una suma es la suma de las integrales:

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4. La integral de una diferencia es la diferencia de las integrales:

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5. Sea c una constante. La integral del producto de una constante y una función es igual a la integral de la función multiplicada por la constante:

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6. Aunque la siguiente fórmula normalmente se aplica cuando c está entre a y b, la fórmula es válida para todos los valores de a, b y c, siempre que f (x) sea integrable en el intervalo más grande:

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Ejemplo ilustrativo 5.2_5. Usando las propiedades de la integral definida

Use las propiedades de la integral definida para expresar la integral definida de f (x) = – 3x³ + 2x + 2 sobre el intervalo [−2, 1] como la suma de tres integrales definidas.

Solución;
Usando notación integral, tenemos

De tal modo que, al aplicar las propiedades de la integral definida, se tiene que:

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Ejemplo ilustrativo 5.2_6. Usando las propiedades de la integral definida

Si se sabe queEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-608.pngy queEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-607.pngencuentra el valor deEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-609.png

Solución:
Por la propiedad 6, se tiene

De tal modo que

Propiedades de comparación de integrales

Una imagen a veces puede decirnos más acerca de una función que los resultados de los cálculos. La comparación de funciones por sus gráficas y por sus expresiones algebraicas a menudo puede dar una nueva visión del proceso de integración. Intuitivamente, podríamos decir que si una función f (x) está por encima de otra función g (x), entonces el área entre f (x) y el eje x es mayor que el área entre g(x) y el eje x. Esto es cierto dependiendo del intervalo durante el cual se realiza la comparación. Las propiedades de las integrales definidas son válidas si a < b, a = b, o a > b. Sin embargo, las siguientes propiedades se refieren solo al caso ab, y se utilizan cuando queremos comparar los tamaños de las integrales.

TEOREMA 5.2.2. Teorema de comparación

i.   Si f (x) ≥ 0 para axb, entonces

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ii. Si f (x) ≥ g(x) para axb, entonces

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iii. Si m y M son constantes tales que mf (x) ≤ M para axb, entonces

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Ejemplo ilustrativo 5.2_7. Comparar dos funciones sobre un intervalo dado

Compare f (x) = √(1 + x²)  y g(x) = √(1 + x)  en el intervalo [0, 1].

Solución:
Graficar estas funciones es necesario para comprender cómo se comparan durante el intervalo [0, 1]. Inicialmente, cuando se grafica en una calculadora gráfica, f (x) parece estar por encima de g(x) en todas partes. Sin embargo, en el intervalo [0, 1], los gráficos parecen coincidir. Necesitamos acercarnos para ver que, en el intervalo [0, 1], g(x) está por encima de f (x). Las dos funciones se cruzan en x = 0 y x = 1 (Figura 5.2_8).

Figura 5.2_8 (a) La función f (x) aparece sobre la función g(x) excepto durante el intervalo [0, 1] Ver el mismo gráfico con un zoom mayor muestra esto más claramente.

Podemos ver en la figura que durante el intervalo [0, 1], g(x)  ≥ f (x). Al comparar las integrales en el intervalo especificado [0, 1], también vemos que

(Figura 5.2_9). El área delgada sombreada en rojo muestra cuánta diferencia hay entre estas dos integrales durante el intervalo [0, 1].

Figura 5.2_9 (a) El gráfico muestra que durante el intervalo [0, 1], g(x) ≥ f (x), donde la igualdad se mantiene solo en los puntos finales del intervalo. (b) Ver el mismo gráfico con un mayor zoom muestra esto más claramente.

Valor promedio de una función

A menudo necesitamos encontrar el promedio de un conjunto de números, como una calificación promedio en una prueba. Suponga que recibió los siguientes puntajes de los exámenes en su clase de álgebra: 89, 90, 56, 78, 100 y 69. Su calificación semestral es el promedio de los puntajes de los exámenes y desea saber qué calificación esperar. Podemos encontrar el promedio sumando todos los puntajes y dividiendo entre el número de puntajes. En este caso, hay seis puntajes de prueba. Así,

Por lo tanto, su calificación promedio es de aproximadamente 80.33, lo que se traduce en una B en la mayoría de las escuelas.

Supongamos, sin embargo, que tenemos una función v(t) que nos da la velocidad de un móvil en cualquier momento t, y queremos encontrar la velocidad promedio del móvil. La función v(t) adquiere un número infinito de valores, por lo que no podemos usar el proceso que acabamos de describir. Afortunadamente, podemos usar una integral definida para encontrar el valor promedio de una función como esta.

Supongamos que f (x) sea continua durante el intervalo [a, b] y que [a, b] se divida en n subintervalos de ancho Δx = (ba)/n. Elija un representante xᵢ* en cada subintervalo y calcule f (xᵢ*) para i = 1, 2, …, n. En otras palabras, considere cada f (xᵢ*) como una muestra de la función sobre cada subintervalo. El valor promedio de la función puede ser aproximado como

que es básicamente la misma expresión utilizada para calcular el promedio de valores discretos.

Pero sabemos que Δx = (ba)/n, entonces n = (ba)/Δx, y obtenemos

Siguiendo con el álgebra, el numerador es una suma que se representa como

y estamos dividiendo por una fracción. Para dividir por una fracción, invierte el denominador y multiplica. Por lo tanto, un valor aproximado para el valor promedio de la función viene dado por

Esta es una suma de Riemann. Luego, para obtener el valor promedio exacto, tome el límite a medida que n va al infinito. Por lo tanto, el valor promedio de una función viene dado por

DEFINICIÓN. Valor promedio de una función

Sea f (x) una función continua en un intervalo cerrado [a, b]. Entonces, el valor promedio de la función f (x) (o fave) en [a, b] viene dado por

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Ejemplo ilustrativo 5.2_8. Encontrar el valor promedio de una función lineal

Encuentre el valor promedio de f (x) = x + 1 en el intervalo [0, 5].

Solución:
Primero, grafica la función en el intervalo establecido, como se muestra en la Figura 5.2_10.

Figura 5.2_10 El gráfico muestra el área bajo la función f (x) = x + 1 sobre [0, 5].

La región es un trapecio acostado de lado, por lo que podemos usar la fórmula del área para un trapecio A = h(a + b)/2, donde h representa la altura, y a y b representan los dos lados paralelos. Entonces,

Por lo tanto, el valor promedio de la función es

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