| 5.7 Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas |

Ejercicios propuestos para el Capítulo 6.7

        En los siguientes ejercicios, evalúe cada integral en términos de una función trigonométrica inversa:

391. \(\int_{0}^{\sqrt{3}/2} \frac{dx}{\sqrt{1 – x^2}}\)

392. \(\int_{-1/2}^{1/2} \frac{dx}{\sqrt{1 – x^2}}\)

393. \(\int_{\sqrt{3}}^{1} \frac{dx}{1 + x^2}\)

394. \(\int_{1/\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \frac{dx}{1 + x^2}\)

395. \(\int_{\frac{2}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{2}} \frac{dx}{|x|\sqrt{x^2 – 1}}\)

396. \(\int_{\sqrt{2}}^{2} \frac{dx}{|x|\sqrt{x^2 – 1}}\)

        En los siguientes ejercicios, encuentre cada integral indefinida, usando sustituciones apropiadas:

397. \(\int \frac{dx}{\sqrt{9 – x^2}}\)

398. \(\int \frac{dx}{\sqrt{1 – 16x^2}}\)

399. \(\int \frac{dx}{9 + x^2}\)

400. \(\int \frac{dx}{25 + 16x^2}\)

401. \(\int \frac{dx}{|x| \sqrt{x^2 – 9}}\)

402. \(\int \frac{dx}{|x| \sqrt{4x^2 – 16}}\)

403. Explica la relación \(\operatorname{acos}^{-1} t + C = \int \frac{dt}{\sqrt{1 – t^2}} = \operatorname{asen}^{-1} t + C\). ¿Es cierto, en general, que \(\operatorname{acos}^{-1} t = -\operatorname{asen}^{-1} t\)?

404. Explica la relación \(\operatorname{asec}^{-1} t + C = \int \frac{dt}{|t| \sqrt{t^2 – 1}} = -\operatorname{acsc}^{-1} t + C\). ¿Es cierto, en general, que \(\operatorname{asec}^{-1} t = -\operatorname{acsc}^{-1} t\)?

405. Explica qué está mal con la siguiente integral: \(\int_{1}^{2} \frac{dt}{\sqrt{1 – t^2}}\).

406. Explica qué está mal con la siguiente integral: \(\int_{-1}^{1} \frac{dt}{|t| \sqrt{t^2 – 1}}\).

En los siguientes ejercicios, resuelve la antiderivada \(\int f\) de \(f\) con \(C = 0\), luego usa una calculadora para graficar \(f\) y la antiderivada sobre el intervalo dado \([a, b]\). Identifica un valor de \(C\) tal que sumar C a la antiderivada recupera la integral definida \(F(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt\):

407. [T] \(\int \frac{1}{\sqrt{9 – x^2}} dx\) en \([-3, 3]\)

408. [T] \(\int \frac{9}{9 + x^2} dx\) en \([-6, 6]\)

409. [T] \(\int \frac{\cos x}{4 + \sin^2 x} dx\) en \([-6, 6]\)

410. [T] \(\int \frac{e^x}{1 + e^{2x}} dx\) en \([-6, 6]\)

        En los siguientes ejercicios, calcule la antiderivada usando sustituciones apropiadas:

411. \(\int \frac{\sin^{-1} t}{\sqrt{1 – t^2}} dt\)

412. \(\int \frac{dt}{\sin^{-1} t \sqrt{1 – t^2}}\)

413. \(\int \frac{\tan^{-1} (2t)}{1 + 4t^2} dt\)

414. \(\int \frac{t \tan^{-1} (t^2)}{1 + t^4} dt\)

415. \(\int \frac{\sec^{-1} (\frac{t}{2})}{|t| \sqrt{t^2 – 4}} dt\)

416. \(\int \frac{t \sec^{-1} (t^2)}{t^2 \sqrt{t^4 – 1}} dt\)

En los siguientes ejercicios, usa una calculadora para graficar la antiderivada \(\int f\) con \(C = 0\) sobre el intervalo dado \([a, b]\). Aproxima un valor de \(C\), si es posible, tal que al sumar C a la antiderivada da el mismo valor que la integral definida \(F(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt\):

417. [T] \(\int \frac{1}{x \sqrt{x^2 – 4}} dx\) en \([2, 6]\)

418. [T] \(\int \frac{1}{(2x + 2) \sqrt{x}} dx\) en \([0, 6]\)

419. [T] \(\int \frac{\sin x + x \cos x}{1 + x^2 \sin^2 x} dx\) en \([-6, 6]\)

420. [T] \(\int \frac{2e^{-2x}}{\sqrt{1 – e^{-4x}}} dx\) en \([0, 2]\)

421. [T] \(\int \frac{1}{x + x \ln^2 x} \) en \([0, 2]\)

422. [T] \(\int \frac{\sin^{-1} x}{\sqrt{1 – x^2}} \) en \([-1, 1]\)

        En los siguientes ejercicios, calcule cada integral usando sustituciones apropiadas:

423. \(\int \frac{e^t}{\sqrt{1 – e^{2t}}} dt\)

424. \(\int \frac{e^t}{1 + e^{2t}} dt\)

425. \(\int \frac{dt}{t \sqrt{1 – \ln^2 t}}\)

426. \(\int \frac{dt}{t (1 + \ln^2 t)}\)

427. \(\int \frac{\cos^{-1} (2t)}{\sqrt{1 – 4t^2}} dt\)

428. \(\int \frac{e^t \cos^{-1} (e^t)}{\sqrt{1 – e^{2t}}} dt\)

        En los siguientes ejercicios, calcule cada integral definida:

429. \(\int_{0}^{1/2} \frac{\tan (\sin^{-1} t)}{\sqrt{1 – t^2}} dt\)

430. \(\int_{1/4}^{1/2} \frac{\tan (\cos^{-1} t)}{\sqrt{1 – t^2}} dt\)

431. \(\int_{0}^{1/2} \frac{\sin (\tan^{-1} t)}{1 + t^2} dt\)

432. \(\int_{0}^{1/2} \frac{\cos (\tan^{-1} t)}{1 + t^2} dt\)

433. Para \(A > 0\), calcula \(I(A) = \int_{-A}^{A} \frac{dt}{1 + t^2}\) y evalúa \(\lim_{A \to \infty} I(A)\), el área bajo la gráfica de \(\frac{1}{1 + t^2}\) en \([-\infty, \infty]\).

434. Para \(1 < B < \infty\), calcula \(I(B) = \int_{1}^{B} \frac{dt}{t \sqrt{t^2 - 1}}\) y evalúa \(\lim_{B \to \infty} I(B)\), el área bajo la gráfica de \(\frac{1}{t \sqrt{t^2 - 1}}\) en \([1, \infty)\).

435. Usa la sustitución \(u = \sqrt{2} \cot x\) y la identidad \(1 + \cot^2 x = \csc^2 x\) para evaluar \(\int \frac{dx}{1 + \cos^2 x}\). (Pista: Multiplica la parte superior e inferior del integrando por \(\csc^2 x\).)

436. [T] Aproxima los puntos en los que las gráficas de \(f(x) = 2x^2 – 1\) y \(g(x) = (1 + 4x^2)^{-3/2}\) se intersecan a cuatro decimales, y aproxima el área entre sus gráficas a tres decimales.

437. 47. [T] Aproxima los puntos en los que las gráficas de \(f(x) = x^2 – 1\) y \(g(x) = (x^2 + 1)^{\frac{1}{2}}\) se intersecan a cuatro decimales, y aproxima el área entre sus gráficas a tres decimales.

438. Usa la siguiente gráfica para probar que \(\int_{0}^{x} \sqrt{1 – t^2} dt = \frac{1}{2}x\sqrt{1 – x^2} + \frac{1}{2} \sin^{-1} x\).