| 10.13 Integrales de línea |

Ejercicios propuestos para el Capítulo 10.13

39. ¿Verdadero o Falso? La integral de línea \( \displaystyle \int_C f(x, y) ds \) es igual a una integral definida si C es una curva suave definida en \([a, b]\) y si la función f es continua en alguna región que contiene la curva C.
40. ¿Verdadero o Falso? Las funciones vectoriales \(\mathbf{r}_1 = t\mathbf{i} + t^2\mathbf{j}\), \(0 \leq t \leq 1\), y \(\mathbf{r}_2 = (1 – t)\mathbf{i} + (1 – t)^2\mathbf{j}\), \(0 \leq t \leq 1\), definen la misma curva orientada.
41. ¿Verdadero o Falso? \( \displaystyle \int_{-C} (Pdx + Qdy) = \displaystyle \int_{C} (Pdx – Qdy) \)
42. ¿Verdadero o Falso? Una curva suave a trozos C consiste en un número finito de curvas suaves que se unen de extremo a extremo.
43. ¿Verdadero o Falso? Si C está dada por \(x(t) = t\), \(y(t) = t\), \(0 \leq t \leq 1\), entonces \( \displaystyle \int_C xyds = \int_0^1 t^2 dt \).

Para los siguientes ejercicios, use un sistema algebraico computacional (CAS) para evaluar las integrales de línea sobre la ruta indicada.

44. \( \displaystyle \int_C (x + y) ds \)
    C: \(x = t\), \(y = (1 – t)\), \(z = 0\) desde (0, 1, 0) hasta (1, 0, 0)
45. \( \displaystyle \int_C (x – y) ds \)
    C: \(\mathbf{r}(t) = 4t\mathbf{i} + 3t\mathbf{j}\) cuando \(0 \leq t \leq 2\)
46. \( \displaystyle \int_C (x^2 + y^2 + z^2) ds \)
    C: \(\mathbf{r}(t) = \sin t \mathbf{i} + \cos t \mathbf{j} + 8t\mathbf{k}\) cuando \(0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}\)
47. Evaluar \( \displaystyle \int_C xy^4 ds \), donde C es la mitad derecha del círculo \(x^2 + y^2 = 16\) y se recorre en el sentido de las agujas del reloj.
48. Evaluar \( \displaystyle \int_C 4x^3 ds \), donde C es el segmento de línea desde (-2, -1) hasta (1, 2).

Para los siguientes ejercicios, encuentra el trabajo realizado.

49. Encuentra el trabajo realizado por el campo vectorial \( \mathbf{F}(x, y, z) = x\mathbf{i} + 3xy\mathbf{j} – (x + z)\mathbf{k} \) sobre una partícula que se mueve a lo largo de un segmento de línea que va desde (1, 4, 2) hasta (0, 5, 1).
50. Encuentra el trabajo realizado por una persona que pesa 150 lb caminando exactamente una revolución hacia arriba por una escalera de caracol circular de radio 3 ft si la persona se eleva 10 ft.
51. Encuentra el trabajo realizado por el campo de fuerza \( \mathbf{F}(x, y, z) = -\frac{1}{2}x\mathbf{i} – \frac{1}{2}y\mathbf{j} + \frac{1}{4}\mathbf{k} \) sobre una partícula mientras se mueve a lo largo de la hélice \( \mathbf{r}(t) = \cos t\mathbf{i} + \sin t\mathbf{j} + t\mathbf{k} \) desde el punto (1, 0, 0) hasta el punto (-1, 0, 3π).
52. Encuentra el trabajo realizado por el campo vectorial \( \mathbf{F}(x, y) = y\mathbf{i} + 2x\mathbf{j} \) al mover un objeto a lo largo del camino C, la línea recta que une los puntos (1, 0) y (0, 1).
53. Encuentra el trabajo realizado por la fuerza \( \mathbf{F}(x, y) = 2y\mathbf{i} + 3x\mathbf{j} + (x + y)\mathbf{k} \) al mover un objeto a lo largo de la curva \( \mathbf{r}(t) = \cos(t)\mathbf{i} + \sin(t)\mathbf{j} + \frac{t}{6}\mathbf{k} \), donde \( 0 \leq t \leq 2\pi \).
54. Encuentra la masa de un alambre en forma de círculo de radio 2 centrado en (3, 4) con densidad de masa lineal \( \rho(x, y) = y^2 \).

Para los siguientes ejercicios, evalúe las integrales de línea.

55. Evaluar \( \displaystyle \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \), donde \( \mathbf{F}(x, y) = -1\mathbf{j} \), y C es la parte de la gráfica de \( y = \frac{1}{2}x^3 – x \) desde (2, 2) hasta (-2, -2).
56. Evaluar \( \displaystyle \int_\gamma (x^2 + y^2 + z^2)^{-1} ds \), donde γ es la hélice \( x = \cos t \), \( y = \sin t \), \( z = t \) (\(0 \leq t \leq T\)).
57. Evaluar \( \displaystyle \int_C yz\,dx + xz\,dy + xy\,dz \) sobre el segmento de línea desde (1, 1, 1) hasta (3, 2, 0).
58. Sea C el segmento de línea desde el punto (0, 1, 1) hasta el punto (2, 2, 3). Evaluar la integral de línea \( \displaystyle \int_C y\,ds \).
59. [T] Utilice un sistema algebraico computacional para evaluar la integral de línea \( \displaystyle \int_C y^2\,dx + x\,dy \), donde C es el arco de la parábola \( x = 4 – y^2 \) desde (-5, -3) hasta (0, 2).
60. [T] Utilice un sistema algebraico computacional para evaluar la integral de línea \( \displaystyle \int_C (x + 3y^2) \,dy \) sobre el camino C dado por \( x = 2t \), \( y = 10t \), donde \( 0 \leq t \leq 1 \).
61. [T] Utilice un CAS para evaluar la integral de línea \( \displaystyle \int_C xy\,dx + y\,dy \) sobre el camino C dado por \( x = 2t \), \( y = 10t \), donde \( 0 \leq t \leq 1 \).
62. Evaluar la integral de línea \( \displaystyle \int_C (2x – y) \,dx + (x + 3y) \,dy \), donde C se encuentra a lo largo del eje x desde \( x = 0 \) hasta \( x = 5 \).
63. [T] Utilice un CAS para evaluar \( \displaystyle \int_C \frac{y}{2x^2 – y^2} \,ds \), donde C es \( x = t \), \( y = t \), \( 1 \leq t \leq 5 \).
64. [T] Utilice un CAS para evaluar \( \displaystyle \int_C xy \,ds \), donde C es \( x = t^2 \), \( y = 4t \), \( 0 \leq t \leq 1 \).

En los siguientes ejercicios, encuentra el trabajo realizado por el campo de fuerza F sobre un objeto que se mueve a lo largo del camino indicado.

65. \( \mathbf{F}(x, y) = -x\mathbf{i} – 2y\mathbf{j} \)
    C: \( y = x^3 \) desde (0, 0) hasta (2, 8)
66. \( \mathbf{F}(x, y) = 2x\mathbf{i} + y\mathbf{j} \)
    C: en sentido antihorario alrededor del triángulo con vértices (0, 0), (1, 0) y (1, 1)
67. \( \mathbf{F}(x, y, z) = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} – 5z\mathbf{k} \)
    C: \( \mathbf{r}(t) = 2\cos t\mathbf{i} + 2\sin t\mathbf{j} + t\mathbf{k} \), \( 0 \leq t \leq 2\pi \)
68. Sea F el campo vectorial \( \mathbf{F}(x, y) = (y^2 + 2xe^y + 1) \mathbf{i} + (2xy + x^2e^y + 2y) \mathbf{j} \). Calcule el trabajo de la integral \( \displaystyle \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \), donde C es el camino \( \mathbf{r}(t) = \sin t\mathbf{i} + \cos t\mathbf{j} \), \( 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2} \).
69. Calcule el trabajo realizado por la fuerza \( \mathbf{F}(x, y, z) = 2x\mathbf{i} + 3y\mathbf{j} – z\mathbf{k} \) a lo largo del camino \( \mathbf{r}(t) = t\mathbf{i} + t^2\mathbf{j} + t^3\mathbf{k} \), donde \( 0 \leq t \leq 1 \).
70. Evaluar \( \displaystyle \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \), donde \( \mathbf{F}(x, y) = \frac{1}{x + y} \mathbf{i} + \frac{1}{x + y} \mathbf{j} \) y C es el segmento del círculo unitario que va en sentido antihorario desde (1, 0) hasta (0, 1).

71. Fuerza \( \mathbf{F}(x, y, z) = zy\mathbf{i} + x\mathbf{j} + z^2x\mathbf{k} \) actúa sobre una partícula que viaja desde el origen hasta el punto (1, 2, 3).
    Calcular el trabajo realizado si la partícula viaja:
    1. a lo largo del camino (0, 0, 0) → (1, 0, 0) → (1, 2, 0) → (1, 2, 3) a lo largo de segmentos de línea recta que unen cada par de puntos extremos;
    2. a lo largo de la línea recta que une los puntos inicial y final.
    3. ¿Es el trabajo el mismo a lo largo de los dos caminos?

72. Encuentra el trabajo realizado por el campo vectorial \( \mathbf{F}(x, y, z) = x\mathbf{i} + 3xy\mathbf{j} – (x + z)\mathbf{k} \) sobre una partícula que se mueve a lo largo de un segmento de línea que va desde (1, 4, 2) hasta (0, 5, 1).
73. ¿Cuánto trabajo se requiere para mover un objeto en el campo vectorial \( \mathbf{F}(x, y) = y\mathbf{i} + 3x\mathbf{j} \) a lo largo de la parte superior de la elipse \( \frac{x^2}{4} + y^2 = 1 \) desde (2, 0) hasta (-2, 0)?
74. Un campo vectorial está dado por \( \mathbf{F}(x, y) = (2x + 3y)\mathbf{i} + (3x + 2y)\mathbf{j} \). Evalúe la integral de línea del campo alrededor de un círculo de radio unitario recorrido en sentido horario.
75. Evaluar la integral de línea de la función escalar \( xy \) a lo largo del camino parabólico \( y = x^2 \) que conecta el origen con el punto (1, 1).
76. Encuentra \( \displaystyle \int_C y^2 \,dx + (xy – x^2) \,dy \) a lo largo de C: \( y = 3x \) desde (0, 0) hasta (1, 3).
77. Encuentra \( \displaystyle \int_C y^2 \,dx + (xy – x^2) \,dy \) a lo largo de C: \( y^2 = 9x \) desde (0, 0) hasta (1, 3).

Para los siguientes ejercicios, use un CAS para evaluar las integrales de línea dadas.

78. [T] Evaluar \( \mathbf{F}(x, y, z) = x^2z \mathbf{i} + 6y \mathbf{j} + yz^2 \mathbf{k} \), donde C está representada por \( \mathbf{r}(t) = t\mathbf{i} + t^2\mathbf{j} + \ln t\mathbf{k} \), \( 1 \leq t \leq 3 \).
79. [T] Evaluar la integral de línea \( \displaystyle \int_\gamma xe^y ds \) donde γ es el arco de la curva \( x = e^y \) de (1, 0) a (e, 1).
80. [T] Evaluar la integral \( \displaystyle \int_\gamma xy^2 ds \) donde γ es un triángulo con vértices (0, 1, 2), (1, 0, 3) y (0, -1, 0).
81. [T] Evaluar la integral de línea \( \displaystyle \int_\gamma (y^2 – xy) ds \) donde γ es la curva \( y = \ln x \) desde (1, 0) hacia (e, 1).
82. [T] Evaluar la integral de línea \( \displaystyle \int_\gamma xy^4 ds \) donde γ es la mitad derecha del círculo \( x^2 + y^2 = 16 \).
83. [T] Evaluar \( \displaystyle \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \), donde \( \mathbf{F}(x, y, z) = x^2y\mathbf{i} + (x – z)\mathbf{j} + xyz\mathbf{k} \) y
    C: \( \mathbf{r}(t) = t\mathbf{i} + t^2\mathbf{j} + 2\mathbf{k} \), \( 0 \leq t \leq 1 \).

84. Evaluar \( \displaystyle \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \), donde \( \mathbf{F}(x, y) = 2x \sin(y)\mathbf{i} + (x^2\cos(y) – 3y^2)\mathbf{j} \) y C es cualquier camino desde (-1, 0) hasta (5, 1).
85. Hallar la integral de línea de \( \mathbf{F}(x, y, z) = 12x^2\mathbf{i} – 5xy\mathbf{j} + xz\mathbf{k} \) sobre el camino C definido por \( y = x^2 \), \( z = x^3 \) desde el punto (0, 0, 0) hasta el punto (2, 4, 8).
86. Hallar la integral de línea de \( \displaystyle \int_C (1 + x^2y) \,ds \), donde C es la elipse \( \mathbf{r}(t) = 2 \cos t\mathbf{i} + 3 \sin t\mathbf{j} \) desde \( 0 \leq t \leq \pi \).

Para los siguientes ejercicios, encuentra el flujo.

87. Calcular el flujo de \( \mathbf{F} = x^2 \mathbf{i} + y \mathbf{j} \) a través de un segmento de línea desde (0, 0) hasta (1, 2).
88. Sea \( \mathbf{F} = 5\mathbf{i} \) y sea C la curva \( y = 0 \), \( 0 \leq x \leq 4 \). Encuentra el flujo a través de C.
89. Sea \( \mathbf{F} = 5\mathbf{j} \) y sea C la curva \( y = 0 \), \( 0 \leq x \leq 4 \). Encuentra el flujo a través de C.
90. Sea \( \mathbf{F} = -y \mathbf{i} + x \mathbf{j} \) y sea C: \( \mathbf{r}(t) = \cos t \mathbf{i} + \sin t \mathbf{j} \) (\( 0 \leq t \leq 2\pi \)). Calcular el flujo a través de C.
91. Sea \( \mathbf{F} = (x^2 + y^3) \mathbf{i} + (2xy) \mathbf{j} \). Calcular el flujo F orientado en sentido antihorario a través de la curva C: \( x^2 + y^2 = 9 \).

92. Encuentra la integral de línea de \( \displaystyle \int_C z^2 \,dx + y \,dy + 2y \,dz \), donde C consta de dos partes: \(C_1\) y \(C_2\). \(C_1\) es la intersección del cilindro \( x^2 + y^2 = 16 \) y el plano \( z = 3 \) desde (0, 4, 3) hasta (-4, 0, 3). \(C_2\) es un segmento de línea desde (-4, 0, 3) hasta (0, 1, 5).
93. Un resorte está hecho de un alambre delgado retorcido en la forma de una hélice circular \( x = 2 \cos t \), \( y = 2 \sin t \), \( z = t \). Encuentre la masa de dos vueltas del resorte si el alambre tiene una densidad de masa constante.
94. Un alambre delgado se dobla en forma de semicírculo de radio a. Si la densidad de masa lineal en el punto P es directamente proporcional a su distancia desde la línea a través de los puntos extremos, encuentra la masa del alambre.
95. Un objeto se mueve en el campo de fuerza \( \mathbf{F}(x, y, z) = y^2\mathbf{i} + 2(x + 1)y\mathbf{j} \) en sentido antihorario desde el punto (2, 0) a lo largo de la ruta elíptica \( x^2 + 4y^2 = 4 \) hasta (-2, 0), y de vuelta al punto (2, 0) a lo largo del eje x. ¿Cuánto trabajo realiza el campo de fuerza sobre el objeto?
96. Encuentra el trabajo realizado cuando un objeto se mueve en el campo de fuerza \( \mathbf{F}(x, y, z) = 2x\mathbf{i} – (x + z)\mathbf{j} + (y – x)\mathbf{k} \) a lo largo del camino dado por \( \mathbf{r}(t) = t^2\mathbf{i} + (t^2 – t)\mathbf{j} + 3\mathbf{k} \), \( 0 \leq t \leq 1 \).
97. Si un campo de fuerza inverso F está dado por \( \mathbf{F}(x, y, z) = \frac{k}{\|\mathbf{r}\|^3} \mathbf{r} \), donde k es una constante, encuentra el trabajo realizado por F a medida que su punto de aplicación se mueve a lo largo del eje x desde A(1, 0, 0) hasta B(2, 0, 0).
98. David y Sandra planean evaluar la integral de línea \( \displaystyle \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \) a lo largo de un camino en el plano xy desde (0, 0) hasta (1, 1). El campo de fuerza es \( \mathbf{F}(x, y) = (x + 2y)\mathbf{i} + (-x + y^2)\mathbf{j} \). David elige el camino que corre a lo largo del eje x desde (0, 0) hasta (1, 0) y luego corre a lo largo de la línea vertical \( x = 1 \) desde (1, 0) hasta el punto final (1, 1). Sandra elige el camino directo a lo largo de la línea diagonal \( y = x \) desde (0, 0) hasta (1, 1). ¿Cuya integral de línea es mayor y por cuánto?