| 5.5 Integración por sustitución u |

Ejercicios propuestos para el Capítulo 5.5 

254. ¿Por qué se le llama “cambio de variable” a la sustitución u?

255. Si \(f = g \circ h\), al invertir la regla de la cadena, \(\frac{d}{dx}(g \circ h)(x) = g'(h(x))h'(x)\), ¿deberías tomar \(u = g(x)\) o \(u = h(x)\)?

En los siguientes ejercicios, verifica cada identidad usando la diferenciación. Luego, usando la sustitución \(u\) indicada, identifica \(f\) tal que la integral tome la forma \(\int f(u) du\):

256. \(\int x\sqrt{x + 1} dx = \frac{2}{15}(x + 1)^{3/2}(3x – 2) + C\); \(u = x + 1\)

257. Para \(x > 1\): \(\int \frac{x^2}{\sqrt{x – 1}} dx = \frac{2}{15} \sqrt{x – 1} (3x^2 + 4x + 8) + C\); \(u = x – 1\)

258. \(\int x\sqrt{4x^2 + 9} dx = \frac{1}{12} (4x^2 + 9)^{3/2} + C\); \(u = 4x^2 + 9\)

259. \(\int \frac{x}{\sqrt{4x^2 + 9}} dx = \frac{1}{4} \sqrt{4x^2 + 9} + C\); \(u = 4x^2 + 9\)

260. \(\int \frac{x}{(4x^2 + 9)^2} dx = -\frac{1}{8(4x^2 + 9)}\); \(u = 4x^2 + 9\)

      En los siguientes ejercicios, encuentre la antiderivada utilizando la sustitución indicada:

261. \(\int (x + 1)^4 dx\); \(u = x + 1\)

262. \(\int (x – 1)^5 dx\); \(u = x – 1\)

263. \(\int (2x – 3)^{-7} dx\); \(u = 2x – 3\)

264. \(\int (3x – 2)^{-11} dx\); \(u = 3x – 2\)

265. \(\int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} dx\); \(u = x^2 + 1\)

266. \(\int \frac{x}{\sqrt{1 – x^2}} dx\); \(u = 1 – x^2\)

267. \(\int (x – 1) (x^2 – 2x)^3 dx\); \(u = x^2 – 2x\)

268. \(\int (x^2 – 2x) (x^3 – 3x^2)^2 dx\); \(u = x^3 – 3x^2\)

269. \(\int \cos^3 \theta d\theta\); \(u = \sin \theta\) (Pista: \(\cos^2 \theta = 1 – \sin^2 \theta\))

270. \(\int \sin^3 \theta d\theta\); \(u = \cos \theta\) (Pista: \(\sin^2 \theta = 1 – \cos^2 \theta\))

        En los siguientes ejercicios, use un cambio de variables adecuado para determinar la integral indefinida:

271. \(\int x(1 – x)^{99} dx\)

272. \(\int t(1 – t^2)^{10} dt\)

273. \(\int (11x – 7)^{-3} dx\)

274. \(\int (7x – 11)^4 dx\)

275. \(\int \cos^3 \theta \sin \theta d\theta\)

276. \(\int \sin^7 \theta \cos \theta d\theta\)

277. \(\int \cos^2 (\pi t) \sin (\pi t) dt\)

278. \(\int \sin^2 x \cos^3 x dx\) (Pista: \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\))

279. \(\int t \sin (t^2) \cos (t^2) dt\)

280. \(\int t^2 \cos^2 (t^3) \sin (t^3) dt\)

281. \(\int \frac{x^2}{(x^3 – 3)^2} dx\)

282. \(\int \frac{x^3}{\sqrt{1 – x^2}} dx\)

283. \(\int \frac{y^5}{(1 – y^3)^{3/2}} dy\)

284. \(\int \cos \theta (1 – \cos \theta)^{99} \sin \theta d\theta\)

285. \(\int (1 – \cos^3 \theta)^{10} \cos^2 \theta \sin \theta d\theta\)

286. \(\int (\cos \theta – 1) (\cos^2 \theta – 2 \cos \theta)^3 \sin \theta d\theta\)

287. \(\int (\sin^2 \theta – 2 \sin \theta) (\sin^3 \theta – 3 \sin^2 \theta)^3 \cos \theta d\theta\)

      En los siguientes ejercicios, use una calculadora para estimar el área bajo la curva utilizando sumas de Riemann izquierdas con 50 términos, luego use la sustitución para resolver la respuesta exacta:

288. [T] \(y = 3(1 – x)^2\) en \([0, 2]\)

289. [T] \(y = x(1 – x^2)^3\) en \([-1, 2]\)

290. [T] \(y = \sin x (1 – \cos x)^2\) en \([0, \pi]\)

291. [T] \(y = \frac{x}{(x^2 + 1)^2}\) en \([-1, 1]\)

       En los siguientes ejercicios, use un cambio de variables para evaluar la integral definida:

292. \(\int_{0}^{1} x\sqrt{1 – x^2} dx\)

293. \(\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} dx\)

294. \(\int_{0}^{2} \frac{t}{\sqrt{5 + t^2}} dt\)

295. \(\int_{0}^{1} \frac{t^2}{\sqrt{1 + t^3}} dt\)

296. \(\int_{0}^{\pi/4} \sec^2 \theta \tan \theta d\theta\)

297. \(\int_{0}^{\pi/4} \frac{\sin \theta}{\cos^4 \theta} d\theta\)

En los siguientes ejercicios, evalúa la integral indefinida \(\int f(x) dx\) con la constante \(C = 0\) usando la sustitución \(u\). Luego, grafica la función y la antiderivada sobre el intervalo indicado. Si es posible, estima un valor de \(C\) que necesitaría ser sumado a la antiderivada para hacerla igual a la integral definida \(F(x) = \int_a^x f(t) dt\), con \(a\) el extremo izquierdo del intervalo dado:

298. [T] \(\int (2x + 1) e^{x^2 + x – 6} dx\) en \([-3, 2]\)

299. [T] \(\int \frac{\cos (\ln (2x))}{x} dx\) en \([0, 2]\)

300. [T] \(\int \frac{3x^2 + 2x + 1}{\sqrt{x^3 + x^2 + x + 4}} dx\) en \([-1, 2]\)

301. [T] \(\int \frac{\sin x}{\cos^3 x} dx\) en \([-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}] \)

302. [T] \(\int (x + 2) e^{-x^2 – 4x + 3} dx\) en \([-5, 1]\)

303. [T] \(\int 3x^2 \sqrt{2x^3 + 1} dx\) en \([0, 1]\)

304. Si \(h(a) = h(b)\) en \(\int_a^b g'(h(x)) h'(x) dx\), ¿qué puedes decir sobre el valor de la integral?

305. ¿Es la sustitución \(u = 1 – x^2\) en la integral definida \(\int_0^2 \frac{x}{1 – x^2} dx\) correcta? Si no, ¿por qué no?

      En los siguientes ejercicios, use un cambio de variables para demostrar que cada integral definida es igual a cero:

306. \(\int_{0}^{\pi} \cos^2 (2\theta) \sin (2\theta) d\theta\)

307. \(\int_{0}^{\sqrt{\pi}} t \cos (t^2) \sin (t^2) dt\)

308. \(\int_{0}^{1} (1 – 2t) dt\)

309. \(\int_{0}^{1} \frac{1 – 2t}{1 + (t – \frac{1}{2})^2} dt\)

310. \(\int_{0}^{\pi} \sin \left( \left(t – \frac{\pi}{2} \right)^3 \right) \cos \left( t – \frac{\pi}{2} \right) dt\)

311. \(\int_{0}^{2} (1 – t) \cos (\pi t) dt\)

312. \(\int_{\pi/4}^{3\pi/4} \sin^2 t \cos t dt\)

313. Demuestra que el valor promedio de \(f(x)\) en un intervalo \([a, b]\) es el mismo que el valor promedio de \(f(cx)\) en el intervalo \([\frac{a}{c}, \frac{b}{c}]\) para \(c > 0\).

314. Encuentra el área bajo la gráfica de \(f(t) = \frac{t}{(1 + t^2)^a}\) entre \(t = 0\) y \(t = x\), donde \(a > 0\) y \(a \neq 1\) es fijo, y evalúa el límite cuando \(x \to \infty\).

315. Encuentra el área bajo la gráfica de \(g(t) = \frac{t}{(1 – t^2)^a}\) entre \(t = 0\) y \(t = x\), donde \(0 < x < 1\) y \(a > 0\) es fijo. Evalúa el límite cuando \(x \to 1\).

316. El área de un semicírculo de radio 1 puede expresarse como \(\int_{-1}^{1} \sqrt{1 – x^2} dx\). Usa la sustitución \(x = \cos t\) para expresar el área de un semicírculo como la integral de una función trigonométrica. No necesitas calcular la integral.

317. El área de la mitad superior de una elipse con un eje mayor que es el eje x desde \(x = -a\) hasta \(x = a\) y con un eje menor que es el eje y desde \(y = -b\) hasta \(y = b\) puede escribirse como \(\int_{-a}^{a} b \sqrt{1 – \frac{x^2}{a^2}} dx\). Usa la sustitución \(x = a \cos t\) para expresar esta área en términos de una integral de una función trigonométrica. No necesitas calcular la integral.

318. [T] La siguiente gráfica es de una función de la forma \(f(t) = a \sin(nt) + b \sin(mt)\). Estima los coeficientes \(a\) y \(b\), y los parámetros de frecuencia \(n\) y \(m\). Usa estas estimaciones para aproximar \(\int_{0}^{\pi} f(t) dt\).

319. [T] La siguiente gráfica es de una función de la forma \(f(x) = a \cos(nt) + b \cos(mt)\). Estima los coeficientes \(a\) y \(b\), y los parámetros de frecuencia \(n\) y \(m\). Usa estas estimaciones para aproximar \(\int_{0}^{\pi} f(t) dt\).