| 10.8 Funciones vectoriales y curvas espaciales |

Ejercicios propuestos para el Capítulo 10.8

1. Dé las funciones componentes \(x = f(t)\) y \(y = g(t)\) para la función con valores vectoriales \(\mathbf{r}(t) = 3 \sec t \mathbf{i} + 2 \tan t \mathbf{j}\).
2. Dado \(\mathbf{r}(t) = 3 \sec t \mathbf{i} + 2 \tan t \mathbf{j}\), encuentre los siguientes valores (si es posible).
   1. \(\mathbf{r}\left(\frac{\pi}{4}\right)\)
   2. \(\mathbf{r}(\pi)\)
   3. \(\mathbf{r}\left(\frac{\pi}{2}\right)\)
3. Esboce la curva de la función con valores vectoriales \(\mathbf{r}(t) = 3 \sec t \mathbf{i} + 2 \tan t \mathbf{j}\) y dé la orientación de la curva. Esboce las asíntotas como guía para la gráfica.
4. Evalúe \(\displaystyle \lim_{t \to 0} \left\langle e^t, \frac{\sin t}{t}, e^{-t} \right\rangle\).
5. Dada la función con valores vectoriales \(\mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t \rangle\), encuentre los siguientes valores:
   1. \(\displaystyle \lim_{t \to \frac{\pi}{3}} \mathbf{r}(t)\)
   2. \(\mathbf{r}\left(\frac{\pi}{3}\right)\)
   3. ¿Es \(\mathbf{r}(t)\) continua en \(t = \frac{\pi}{3}\)?
   4. Grafique \(\mathbf{r}(t)\).

6. Dada la función con valores vectoriales \(\mathbf{r}(t) = \langle t, t^2 + 1 \rangle\), encuentre los siguientes valores:
   1. \(\displaystyle \lim_{t \to -3} \mathbf{r}(t)\)
   2. \(\mathbf{r}(-3)\)
   3. ¿Es \(\mathbf{r}(t)\) continua en \(x = -3\)?
   4. \(\mathbf{r}(t + 2) – \mathbf{r}(t)\)
7. Sea \(\mathbf{r}(t) = e^t \mathbf{i} + \sin t \mathbf{j} + \ln t \mathbf{k}\). Encuentre los siguientes valores:
   1. \(\mathbf{r}\left(\frac{\pi}{4}\right)\)
   2. \(\displaystyle \lim_{t \to \frac{\pi}{4}} \mathbf{r}(t)\)
   3. ¿Es \(\mathbf{r}(t)\) continua en \(t = \frac{\pi}{4}\)?

Encuentra el límite de las siguientes funciones vectoriales en el valor indicado de t.

8. \( \displaystyle \lim_{t \to 4} \left\langle \sqrt{t-3}, \frac{\sqrt{t}-2}{t-4}, \tan\left(\frac{\pi}{t}\right) \right\rangle \)
9. \( \displaystyle \lim_{t \to \frac{\pi}{2}} \mathbf{r}(t) \) para \( \mathbf{r}(t) = e^t \mathbf{i} + \sin t \mathbf{j} + \ln t \mathbf{k} \)
10. \( \displaystyle \lim_{t \to \infty} \left\langle e^{-2t}, \frac{2t+3}{3t-1}, \arctan(2t) \right\rangle \)
11. \( \displaystyle \lim_{t \to e^2} \left\langle t\ln(t), \frac{\ln t}{t^2}, \sqrt{\ln(t^2)} \right\rangle \)
12. \( \displaystyle \lim_{t \to \frac{\pi}{6}} \left\langle \cos^2 t, \sin^2 t, 1 \right\rangle \)
13. \( \displaystyle \lim_{t \to \infty} \mathbf{r}(t) \) para \( \mathbf{r}(t) = 2e^{-t} \mathbf{i} + e^{-t} \mathbf{j} + \ln(t-1) \mathbf{k} \)
14. Describe la curva definida por la función vectorial \( \mathbf{r}(t) = (1+t) \mathbf{i} + (2+5t) \mathbf{j} + (-1+6t) \mathbf{k} \).

Encuentra el dominio de las funciones vectoriales.

15. Dominio: \( \mathbf{r}(t) = \left\langle t^2, \tan t, \ln t \right\rangle \)
16. Dominio: \( \mathbf{r}(t) = \left\langle t^2, \sqrt{t-3}, \frac{3}{2t+1} \right\rangle \)
17. Dominio: \( \mathbf{r}(t) = \left\langle \csc(t), \frac{1}{\sqrt{t-3}}, \ln(t-2) \right\rangle \)

Sea \( \mathbf{r}(t) = \langle \cos t, t, \sin t \rangle \) y utilízala para responder las siguientes preguntas.

18. ¿Para qué valores de t es \( \mathbf{r}(t) \) continua?
19. Esboza la gráfica de \( \mathbf{r}(t) \).
20. Encuentra el dominio de \( \mathbf{r}(t) = 2e^{-t} \mathbf{i} + e^{-t} \mathbf{j} + \ln(t-1) \mathbf{k} \).
21. ¿Para qué valores de t es \( \mathbf{r}(t) = 2e^{-t} \mathbf{i} + e^{-t} \mathbf{j} + \ln(t-1) \mathbf{k} \) continua?

Elimina el parámetro t, escribe la ecuación en coordenadas cartesianas y luego esboza las gráficas de las funciones vectoriales.

22. \( \mathbf{r}(t) = 2t \mathbf{i} + t^2 \mathbf{j} \) (Sugerencia: Sea \( x = 2t \) e \( y = t^2 \). Despeja la primera ecuación para x en términos de t y sustituye este resultado en la segunda ecuación.)
23. \( \mathbf{r}(t) = t^3 \mathbf{i} + 2t \mathbf{j} \)
24. \( \mathbf{r}(t) = 2(\sinh t) \mathbf{i} + 2(\cosh t) \mathbf{j} \), \( t > 0 \)
25. \( \mathbf{r}(t) = 3(\cos t) \mathbf{i} + 3(\sin t) \mathbf{j} \)
26. \( \mathbf{r}(t) = \langle 3\sin t, 3\cos t \rangle \)

Usa una herramienta de graficación para esbozar cada una de las siguientes funciones vectoriales:

27. [T] \( \mathbf{r}(t) = (2 \cos^2 t) \mathbf{i} + (2 – \sqrt{t}) \mathbf{j} \)
28. [T] \( \mathbf{r}(t) = \langle e^{\cos(3t)}, e^{-\sin(t)} \rangle \)
29. [T] \( \mathbf{r}(t) = \langle 2 – \sin(2t), 3 + 2\cos t \rangle \)
30. \( 4x^2 + 9y^2 = 36 \); en sentido horario y antihorario.
31. \( \mathbf{r}(t) = \langle t, t^2 \rangle \); de izquierda a derecha.
32. La línea que pasa por P y Q donde P es (1, 4, -2) y Q es (3, 9, 6).

Considera la curva descrita por la función vectorial \( \mathbf{r}(t) = (50e^{-t}\cos t) \mathbf{i} + (50e^{-t}\sin t) \mathbf{j} + (5 – 5e^{-t}) \mathbf{k} \).

33. ¿Cuál es el punto inicial de la trayectoria correspondiente a \( \mathbf{r}(0) \)?
34. ¿Cuál es \( \displaystyle \lim_{t \to \infty} \mathbf{r}(t) \)?
35. [T] Usa tecnología para esbozar la curva.
36. Elimina el parámetro t para mostrar que \( z = 5 – \frac{r}{10} \) donde \( r^2 = x^2 + y^2 \).
37. [T] Sea \( \mathbf{r}(t) = \cos t \mathbf{i} + \sin t \mathbf{j} + 0.3\sin(2t) \mathbf{k} \). Usa tecnología para graficar la curva (llamada la curva de montaña rusa) sobre el intervalo \( [0, 2\pi] \). Elige al menos dos vistas para determinar los picos y los valles.
38. [T] Usa el resultado del problema anterior para construir una ecuación de una montaña rusa con una caída pronunciada desde el pico y una inclinación pronunciada desde el “valle”. Luego, usa tecnología para graficar la ecuación.
39. Usa los resultados de los dos problemas anteriores para construir una ecuación de un camino de una montaña rusa con más de dos puntos de inflexión (picos y valles).
40. 1. Grafica la curva \( \mathbf{r}(t) = (4 + \cos(18t))\cos(t) \mathbf{i} + (4 + \cos(18t))\sin(t) \mathbf{j} + 0.3\sin(18t) \mathbf{k} \) usando dos ángulos de visión de tu elección para ver la forma general de la curva.
    2. ¿La curva se asemeja a un “slinky”?
    3. ¿Qué cambios en la ecuación deberían hacerse para aumentar el número de espirales del slinky?