Fracciones parciales

Factores lineales repetidos

Para algunas aplicaciones, necesitamos integrar expresiones racionales que tengan denominadores con factores lineales repetidos, es decir, funciones racionales con al menos un factor de la forma (ax + b), donde n es un entero positivo mayor o igual a 2 Si el denominador contiene el factor lineal repetido (ax + b), entonces la descomposición debe contener

Como veremos en nuestro próximo ejemplo, la técnica básica utilizada para resolver los coeficientes es la misma, pero requiere más álgebra para determinar los valores de los numeradores de las fracciones parciales.

Ejemplo ilustrativo 5.11_5 Fracciones parciales con factores lineales repetidos

Solución:
Tenemos que grado (x − 2) < grado ((2x − 1)² (x − 1)), por lo que podemos proceder con la descomposición. Dado que (2x − 1)² es un factor lineal repetido, incluya

en la descomposición Así,

Después de obtener un denominador común e igualar los numeradores, tenemos

Luego usamos el método de igualar coeficientes para encontrar los valores de A, B y C.

Los igualación de coeficientes produce 2A + 4C = 0, −3A + B − 4C = 1 y AB + C = −2. La solución de este sistema es A = 2, B = 3 y C = −1.

Alternativamente, podemos usar el método de sustitución estratégica. En este caso, la sustitución de x = 1 y x = 1/2 en la ecuación Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-358.png produce fácilmente los valores B = 3 y C = −1. En este punto, puede parecer que nos hemos quedado sin buenas opciones para x, sin embargo, dado que ya tenemos valores para B y C, podemos sustituir estos valores y elegir cualquier valor para x que no se haya utilizado previamente. El valor x = 0 es una buena opción. En este caso, obtenemos la ecuación −2 = A(−1)(−1) + 3(−1) + (−1)(−1)² o, de manera equivalente, A = 2.
Ahora que tenemos los valores para A, B y C, reescribimos la integral original y la evaluamos:

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-360.png

El método general

Ahora que estamos comenzando a tener la idea de cómo funciona la técnica de descomposición en fracciones parciales, describamos el método básico en la siguiente estrategia de resolución de problemas.

ESTRATEGIA DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS: DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES

Para descomponer la función racional P(x)/Q(x) en una suma de fracciones parciales, utilice los siguientes pasos:

1.  Asegúrese de que el grado (P(x)) < grado (Q(x)). Si no, realice una división larga de polinomios.

2. Factoriza Q(x) en el producto de factores cuadráticos lineales e irreductibles. Un cuadrático irreducible es un cuadrático que no tiene ceros reales.

3. Suponiendo que el grado (P(x)) < grado (Q(x)), los factores de Q(x) determinan la forma de la descomposición de P(x)/Q(x).

    a.  Si Q(x) se puede factorizar como (ax + b₁) (ax + b₂) … (anx + bn), donde cada factor lineal es distinto, entonces es posible encontrar constantes A₁, A₂, … An satisfaciendoEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-362.png

     b.  Si Q(x) contiene el factor lineal repetido (ax + b), entonces la descomposición debe contenerEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-363.png

     c.  Para cada factor cuadrático irreducible ax² + bx + c que contiene Q(x), la descomposición debe incluirEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-364.png

     d.  Para cada factor cuadrático irreducible repetido (ax² + bx + c), la descomposición debe incluirEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-365.png

     e. Después de determinar la descomposición apropiada, obtenga el valor numérico de las constantes.

     f. Por último, reescriba la integral en su forma de descomposición en fracciones parciales y evalúela utilizando técnicas desarrolladas previamente o fórmulas de integración.

Factores cuadráticos simples

Ahora echemos un vistazo a la integración de una expresión racional en la que el denominador contiene un factor cuadrático irreducible. Recuerde que el trinomio ax² + bx + c es irreducible en los reales si la ecuación ax² + bx + c = 0 no tiene ceros reales, es decir, si b² − 4ac < 0.

Ejemplo ilustrativo 5.11_6 Expresiones racionales con un factor cuadrático irreducible

Evalúe

Solución:
Como grado (2x − 3) < grado (x³ + x), factorice el denominador y proceda con la descomposición en fracciones parciales. Como x³ + x = x(x² + 1) contiene el factor cuadrático irreducible x² + 1, incluya el término

como parte de la descomposición, junto con C/x para el término lineal x. Por lo tanto, la descomposición tiene la forma

Después de obtener un denominador común e igualar los numeradores, obtenemos la ecuación

Resolviendo para A, B y C, obtenemos A = 3, B = 2 y C = −3.
Así,

Sustituyendo de nuevo en la integral, obtenemos

Nota: Podemos reescribir ln∣x² + 1∣ = ln(x² + 1), si deseamos hacerlo, ya que x² + 1 > 0. ◊

Ejemplo ilustrativo 5.11_7 Fracciones parciales con un factor cuadrático irreducible

Evaluar

Solución:
Podemos comenzar factorizando x³ − 8 = (x − 2)(x² + 2x + 4). Vemos que el factor cuadrático x² + 2x + 4 es irreducible ya que 2² − 4 (1)(4) = – 12 < 0. Usando la descomposición descrita en la estrategia de resolución de problemas, obtenemos

Después de obtener un denominador común y equiparar los numeradores, esto se convierte en

Aplicando cualquiera de estos métodos, obtenemos A = 1/12, B = −1/12 y C = −1/3.
Reescribiendo la integral dada, obtenemos

Podemos observar inmediatamente que

pero con la integral

se requiere un poco más de esfuerzo. Comencemos completando el
cuadrado en x² + 2x + 4 para obtener

Al dejar u = x + 1 y consecuentemente du = dx, vemos que

Sustituir de nuevo en la integral original y simplificar da

Aquí nuevamente, podemos omitir el valor absoluto si lo deseamos, ya que x² + 2x + 4 > 0 para todo x.  ◊

Ejemplo ilustrativo 5.11_8  Encontrar un volumen

Encuentre el volumen del sólido de revolución obtenido al girar la región encerrada en la gráfica de

y el eje x sobre el intervalo [0, 1] alrededor del eje y.

Solución:
Comencemos dibujando la región a girar (ver Figura 5.11_1). Del boceto, vemos que el método de rebanadas es una buena opción para resolver este problema.

Figura 5.11_1 Podemos usar el método de rebanadas para encontrar el volumen de revolución obtenido al girar la región que se muestra alrededor del eje y.

El volumen del sólido viene dado por

Dado que grado ((x² + 1)²) = 4 > 3 = grado (x³), podemos proceder con la descomposición en fracciones parciales. Tenga en cuenta que (x² + 1)² es una cuadrática irreducible repetida. Usando la descomposición descrita en la estrategia de resolución de problemas, obtenemos

Encontrar un denominador común y equiparar los numeradores da

Resolviendo, obtenemos A = 1, B = 0, C = −1 y D = 0. Sustituyendo de nuevo en la integral, tenemosEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-390.png

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada.