Factores lineales repetidos
Para algunas aplicaciones, necesitamos integrar expresiones racionales que tengan denominadores con factores lineales repetidos, es decir, funciones racionales con al menos un factor de la forma (ax + b)ⁿ, donde n es un entero positivo mayor o igual a 2 Si el denominador contiene el factor lineal repetido (ax + b)ⁿ, entonces la descomposición debe contener
Como veremos en nuestro próximo ejemplo, la técnica básica utilizada para resolver los coeficientes es la misma, pero requiere más álgebra para determinar los valores de los numeradores de las fracciones parciales.
Ejemplo ilustrativo 5.11_5 Fracciones parciales con factores lineales repetidos
Solución:
Tenemos que grado (x − 2) < grado ((2x − 1)² (x − 1)), por lo que podemos proceder con la descomposición. Dado que (2x − 1)² es un factor lineal repetido, incluya
en la descomposición Así,
Después de obtener un denominador común e igualar los numeradores, tenemos
Luego usamos el método de igualar coeficientes para encontrar los valores de A, B y C.
Los igualación de coeficientes produce 2A + 4C = 0, −3A + B − 4C = 1 y A − B + C = −2. La solución de este sistema es A = 2, B = 3 y C = −1.
Alternativamente, podemos usar el método de sustitución estratégica. En este caso, la sustitución de x = 1 y x = 1/2 en la ecuación produce fácilmente los valores B = 3 y C = −1. En este punto, puede parecer que nos hemos quedado sin buenas opciones para x, sin embargo, dado que ya tenemos valores para B y C, podemos sustituir estos valores y elegir cualquier valor para x que no se haya utilizado previamente. El valor x = 0 es una buena opción. En este caso, obtenemos la ecuación −2 = A(−1)(−1) + 3(−1) + (−1)(−1)² o, de manera equivalente, A = 2.
Ahora que tenemos los valores para A, B y C, reescribimos la integral original y la evaluamos:
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El método general
Ahora que estamos comenzando a tener la idea de cómo funciona la técnica de descomposición en fracciones parciales, describamos el método básico en la siguiente estrategia de resolución de problemas.
ESTRATEGIA DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS: DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES
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Para descomponer la función racional P(x)/Q(x) en una suma de fracciones parciales, utilice los siguientes pasos: 1. Asegúrese de que el grado (P(x)) < grado (Q(x)). Si no, realice una división larga de polinomios. 2. Factoriza Q(x) en el producto de factores cuadráticos lineales e irreductibles. Un cuadrático irreducible es un cuadrático que no tiene ceros reales. 3. Suponiendo que el grado (P(x)) < grado (Q(x)), los factores de Q(x) determinan la forma de la descomposición de P(x)/Q(x). a. Si Q(x) se puede factorizar como (a₁x + b₁) (a₂x + b₂) … (anx + bn), donde cada factor lineal es distinto, entonces es posible encontrar constantes A₁, A₂, … An satisfaciendo b. Si Q(x) contiene el factor lineal repetido (ax + b)ⁿ, entonces la descomposición debe contener c. Para cada factor cuadrático irreducible ax² + bx + c que contiene Q(x), la descomposición debe incluir d. Para cada factor cuadrático irreducible repetido (ax² + bx + c)ⁿ, la descomposición debe incluir e. Después de determinar la descomposición apropiada, obtenga el valor numérico de las constantes. f. Por último, reescriba la integral en su forma de descomposición en fracciones parciales y evalúela utilizando técnicas desarrolladas previamente o fórmulas de integración. |
Factores cuadráticos simples
Ahora echemos un vistazo a la integración de una expresión racional en la que el denominador contiene un factor cuadrático irreducible. Recuerde que el trinomio ax² + bx + c es irreducible en los reales si la ecuación ax² + bx + c = 0 no tiene ceros reales, es decir, si b² − 4ac < 0.
Ejemplo ilustrativo 5.11_6 Expresiones racionales con un factor cuadrático irreducible
Evalúe
Solución:
Como grado (2x − 3) < grado (x³ + x), factorice el denominador y proceda con la descomposición en fracciones parciales. Como x³ + x = x(x² + 1) contiene el factor cuadrático irreducible x² + 1, incluya el término
como parte de la descomposición, junto con C/x para el término lineal x. Por lo tanto, la descomposición tiene la forma
Después de obtener un denominador común e igualar los numeradores, obtenemos la ecuación
Resolviendo para A, B y C, obtenemos A = 3, B = 2 y C = −3.
Así,
Sustituyendo de nuevo en la integral, obtenemos
Nota: Podemos reescribir ln∣x² + 1∣ = ln(x² + 1), si deseamos hacerlo, ya que x² + 1 > 0. ◊
Ejemplo ilustrativo 5.11_7 Fracciones parciales con un factor cuadrático irreducible
Evaluar
Solución:
Podemos comenzar factorizando x³ − 8 = (x − 2)(x² + 2x + 4). Vemos que el factor cuadrático x² + 2x + 4 es irreducible ya que 2² − 4 (1)(4) = – 12 < 0. Usando la descomposición descrita en la estrategia de resolución de problemas, obtenemos
Después de obtener un denominador común y equiparar los numeradores, esto se convierte en
Aplicando cualquiera de estos métodos, obtenemos A = 1/12, B = −1/12 y C = −1/3.
Reescribiendo la integral dada, obtenemos
Podemos observar inmediatamente que
pero con la integral
se requiere un poco más de esfuerzo. Comencemos completando el
cuadrado en x² + 2x + 4 para obtener
Al dejar u = x + 1 y consecuentemente du = dx, vemos que
Sustituir de nuevo en la integral original y simplificar da
Aquí nuevamente, podemos omitir el valor absoluto si lo deseamos, ya que x² + 2x + 4 > 0 para todo x. ◊
Ejemplo ilustrativo 5.11_8 Encontrar un volumen
Encuentre el volumen del sólido de revolución obtenido al girar la región encerrada en la gráfica de
y el eje x sobre el intervalo [0, 1] alrededor del eje y.
Solución:
Comencemos dibujando la región a girar (ver Figura 5.11_1). Del boceto, vemos que el método de rebanadas es una buena opción para resolver este problema.
El volumen del sólido viene dado por
Dado que grado ((x² + 1)²) = 4 > 3 = grado (x³), podemos proceder con la descomposición en fracciones parciales. Tenga en cuenta que (x² + 1)² es una cuadrática irreducible repetida. Usando la descomposición descrita en la estrategia de resolución de problemas, obtenemos
Encontrar un denominador común y equiparar los numeradores da
Resolviendo, obtenemos A = 1, B = 0, C = −1 y D = 0. Sustituyendo de nuevo en la integral, tenemos
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