| 5.4 Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto |
Ejercicios propuestos para el Capítulo 5.4
Utilice fórmulas básicas de integración para calcular las siguientes antiderivadas o integrales definidas:
207. \( \int \left( \sqrt{x} – \frac{1}{\sqrt{x}} \right) \, dx \)
208. \( \int \left( e^{2x} – \frac{1}{2} e^{x/2} \right) \, dx \)
209. \( \int \frac{dx}{2x} \)
210. \( \int \frac{x – 1}{x^2} \, dx \)
211. \( \int_{0}^{\pi} (\sin x – \cos x) \, dx \)
212. \( \int_{0}^{\pi/2} (x – \sin x) \, dx \)
213. Escribe una integral que exprese el incremento en el perímetro \( P(s) \) de un cuadrado cuando la longitud de su lado \( s \) aumenta de 2 unidades a 4 unidades y evalúa la integral.
214. Escribe una integral que cuantifique el cambio en el área \( A(s) = s^2 \) de un cuadrado cuando la longitud del lado se duplica desde \( S \) unidades a \( 2S \) unidades y evalúa la integral.
215. Un \( N \)-gono regular (un polígono de \( N \) lados con lados que tienen la misma longitud \( s \), como un pentágono o un hexágono) tiene perímetro \( Ns \). Escribe una integral que exprese el incremento en el perímetro de un \( N \)-gono regular cuando la longitud de cada lado aumenta de 1 unidad a 2 unidades y evalúa la integral.
216. El área de un pentágono regular con longitud de lado \( a > 0 \) es \( pa^2 \) con \( p = \frac{1}{4} \sqrt{5 + \sqrt{5} + 2\sqrt{5}} \). El Pentágono en Washington, DC, tiene lados interiores de longitud 360 pies y lados exteriores de longitud 920 pies. Escribe una integral para expresar el área del techo del Pentágono de acuerdo con estas dimensiones y evalúa esta área.
217. Un dodecaedro es un sólido platónico con una superficie que consta de 12 pentágonos, cada uno de igual área. ¿En cuánto aumenta el área superficial de un dodecaedro a medida que la longitud del lado de cada pentágono se duplica de 1 unidad a 2 unidades?
218. Un icosaedro es un sólido platónico con una superficie que consta de 20 triángulos equiláteros. ¿En cuánto aumenta el área de la superficie de un icosaedro a medida que la longitud del lado de cada triángulo se duplica de \( a \) unidad a \( 2a \) unidades?
219. Escribe una integral que cuantifique el cambio en el área de la superficie de un cubo cuando la longitud de su lado se duplica de \( s \) unidad a \( 2s \) unidades y evalúa la integral.
220. Escribe una integral que cuantifique el aumento en el volumen de un cubo cuando la longitud del lado se duplica de \( s \) unidad a \( 2s \) unidades y evalúa la integral.
221. Escribe una integral que cuantifique el aumento en el área de la superficie de una esfera a medida que su radio se duplica de \( R \) unidad a \( 2R \) unidades y evalúa la integral.
222. Escribe una integral que cuantifique el aumento en el volumen de una esfera a medida que su radio se duplica de \( R \) unidad a \( 2R \) unidades y evalúa la integral.
223. Supón que una partícula se mueve a lo largo de una línea recta con velocidad \( v(t) = 4 – 2t \), donde \( 0 \leq t \leq 2 \) (en metros por segundo). Encuentra el desplazamiento en el tiempo \( t \) y la distancia total recorrida hasta \( t = 2 \).
224. Supón que una partícula se mueve a lo largo de una línea recta con velocidad definida por \( v(t) = t^2 – 3t – 18 \), donde \( 0 \leq t \leq 6 \) (en metros por segundo). Encuentra el desplazamiento en el tiempo \( t \) y la distancia total recorrida hasta \( t = 6 \).
225. Supón que una partícula se mueve a lo largo de una línea recta con velocidad definida por \( v(t) = |2t – 6| \), donde \( 0 \leq t \leq 6 \) (en metros por segundo). Encuentra el desplazamiento en el tiempo \( t \) y la distancia total recorrida hasta \( t = 6 \).
226. Supón que una partícula se mueve a lo largo de una línea recta con aceleración definida por \( a(t) = t – 3 \), donde \( 0 \leq t \leq 6 \) (en metros por segundo). Encuentra la velocidad y el desplazamiento en el tiempo \( t \) y la distancia total recorrida hasta \( t = 6 \) si \( v(0) = 3 \) y \( d(0) = 0 \).
227. Una bola se lanza hacia arriba desde una altura de 1.5 m a una velocidad inicial de 40 m/s. La aceleración resultante de la gravedad es de -9.8 m/s². Despreciando la resistencia del aire, resuelve para la velocidad \( v(t) \) y la altura \( h(t) \) de la bola \( t \) segundos después de ser lanzada y antes de que regrese al suelo.
228. Una bola se lanza hacia arriba desde una altura de 3 m a una velocidad inicial de 60 m/s. La aceleración resultante de la gravedad es de -9.8 m/s². Despreciando la resistencia del aire, resuelve para la velocidad \( v(t) \) y la altura \( h(t) \) de la bola \( t \) segundos después de ser lanzada y antes de que regrese al suelo.
229. El área \( A(t) \) de una forma circular está creciendo a una tasa constante. Si el área aumenta desde \( 4\pi \) unidades hasta \( 9\pi \) unidades entre los tiempos \( t = 2 \) y \( t = 3 \), encuentra el cambio neto en el radio durante ese tiempo.
230. Un globo esférico se está inflando a una tasa constante. Si el volumen del globo cambia de \( 36\pi \) in.³ a \( 288\pi \) in.³ entre los tiempos \( t = 30 \) y \( t = 60 \) segundos, encuentra el cambio neto en el radio del globo durante ese tiempo.
231. El agua fluye hacia un tanque cónico con un área de sección transversal de \( \pi x^2 \) a la altura \( x \) y un volumen de \( \frac{\pi x^3}{3} \) hasta la altura \( x \). Si el agua fluye hacia el tanque a una velocidad de 1 m³/min, encuentra la altura del agua en el tanque después de 5 minutos. Encuentra el cambio en la altura entre 5 min y 10 min.
232. Un tanque cilíndrico horizontal tiene un área de sección transversal \( A(x) = 4(6x – x^2) \) m² a la altura \( x \) metros por encima del fondo, donde \( x \leq 3 \).
a. El volumen \( V \) entre las alturas \( a \) y \( b \) es \( \int_{a}^{b} A(x) \, dx \). Encuentra el volumen a alturas entre 2 m y 3 m.
b. Supón que se está bombeando aceite al tanque a una velocidad de 50 L/min. Usando la regla de la cadena, \( \frac{dx}{dt} = \frac{dx}{dV} \frac{dV}{dt} \), ¿a cuántos metros por minuto está cambiando la altura del aceite en el tanque, expresado en términos de \( x \), cuando la altura es de \( x \) metros?
c. ¿Cuánto tiempo tarda en llenar el tanque hasta 3 m, comenzando con un nivel de llenado de 2 m?
233. La siguiente tabla enumera la energía eléctrica en gigavatios, la tasa a la que se consume energía, utilizada en una determinada ciudad para diferentes horas del día, en un período típico de 24 horas, con la hora 1 correspondiente de la medianoche a la 1 a.m.
| Hora | Potencia | Hora | Potencia |
|---|---|---|---|
| 1 | 28 | 13 | 48 |
| 2 | 25 | 14 | 49 |
| 3 | 24 | 15 | 49 |
| 4 | 23 | 16 | 50 |
| 5 | 24 | 17 | 50 |
| 6 | 27 | 18 | 50 |
| 7 | 29 | 19 | 46 |
| 8 | 32 | 20 | 43 |
| 9 | 34 | 21 | 42 |
| 10 | 39 | 22 | 40 |
| 11 | 42 | 23 | 37 |
| 12 | 46 | 24 | 34 |
Encuentra la cantidad total de energía en gigavatios-hora (gW-h) consumida por la ciudad en un período típico de 24 horas.
234. El uso promedio de energía eléctrica residencial (en cientos de vatios) por hora se proporciona en la siguiente tabla.
| Hora | Potencia | Hora | Potencia |
|---|---|---|---|
| 1 | 8 | 13 | 12 |
| 2 | 6 | 14 | 13 |
| 3 | 5 | 15 | 14 |
| 4 | 4 | 16 | 15 |
| 5 | 5 | 17 | 17 |
| 6 | 6 | 18 | 19 |
| 7 | 7 | 19 | 18 |
| 8 | 8 | 20 | 17 |
| 9 | 9 | 21 | 16 |
| 10 | 10 | 22 | 16 |
| 11 | 10 | 23 | 13 |
| 12 | 11 | 24 | 11 |
a. Calcula la energía total promedio utilizada en un día en kilovatios-hora (kWh).
b. Si una tonelada de carbón genera 1842 kWh, ¿cuánto tiempo le toma a una residencia promedio quemar una tonelada de carbón?
c. Explica por qué los datos podrían ajustarse a un gráfico de la forma \( p(t) = 11.5 – 7.5 \sin\left(\frac{\pi t}{12}\right) \).
235. Los datos en la siguiente tabla se utilizan para estimar la potencia promedio producida por Peter Sagan para cada uno de los últimos 18 segundos de la Etapa 1 del Tour de Francia de 2012.
| Segundo | Vatios | Segundo | Vatios |
|---|---|---|---|
| 1 | 600 | 10 | 1200 |
| 2 | 500 | 11 | 1170 |
| 3 | 575 | 12 | 1125 |
| 4 | 1050 | 13 | 1100 |
| 5 | 925 | 14 | 1075 |
| 6 | 950 | 15 | 1000 |
| 7 | 1050 | 16 | 950 |
| 8 | 950 | 17 | 900 |
| 9 | 1100 | 18 | 780 |
Estima la energía neta utilizada en kilojulios (kJ), teniendo en cuenta que 1 W = 1 J/s, y la potencia promedio generada por Sagan durante este intervalo de tiempo.
236. Los datos de la siguiente tabla se utilizan para estimar la potencia promedio producida por Peter Sagan para cada intervalo de 15 minutos de la Etapa 1 del Tour de Francia de 2012.
| Minutos | Vatios | Minutos | Vatios |
|---|---|---|---|
| 15 | 200 | 165 | 170 |
| 30 | 180 | 180 | 220 |
| 45 | 190 | 195 | 140 |
| 60 | 230 | 210 | 225 |
| 75 | 240 | 225 | 170 |
| 90 | 210 | 240 | 210 |
| 105 | 210 | 255 | 200 |
| 120 | 220 | 270 | 220 |
| 135 | 210 | 285 | 250 |
| 150 | 150 | 300 | 400 |
Estime la energía neta utilizada en kilojulios, teniendo en cuenta que 1W = 1 J/s.
237. La distribución de ingresos a partir de 2012 en los Estados Unidos en incrementos de $5000 se proporciona en la siguiente tabla. La fila k-ésima denota el porcentaje de hogares con ingresos entre \( \$5000xk \) y \( \$5000xk + 4999 \). La fila k = 40 contiene todos los hogares con ingresos entre $200,000 y $250,000.
| 0 | 3.5 | 11 | 3.5 | 21 | 1.5 | 31 | 0.6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 4.1 | 12 | 3.7 | 22 | 1.4 | 32 | 0.5 |
| 2 | 5.9 | 13 | 3.2 | 23 | 1.3 | 33 | 0.5 |
| 3 | 5.7 | 14 | 3.0 | 24 | 1.3 | 34 | 0.4 |
| 4 | 5.9 | 15 | 2.8 | 25 | 1.1 | 35 | 0.3 |
| 5 | 5.4 | 16 | 2.5 | 26 | 1.0 | 36 | 0.3 |
| 6 | 5.5 | 17 | 2.2 | 27 | 0.75 | 37 | 0.3 |
| 7 | 5.1 | 18 | 2.2 | 28 | 0.8 | 38 | 0.2 |
| 8 | 4.8 | 19 | 1.8 | 29 | 1.0 | 39 | 1.8 |
| 9 | 4.1 | 20 | 2.1 | 30 | 0.6 | 40 | 2.3 |
| 10 | 4.3 |
a. Estime el porcentaje de hogares estadounidenses en 2012 con ingresos menores a $55,000.
b. ¿Qué porcentaje de hogares tuvo ingresos superiores a $85,000?
c. Grafique los datos e intente ajustar su forma a la de una gráfica de la forma \( a(x+c)e^{-b(x+e)} \) para valores adecuados de \( a, b, c \).
238. La ley de gravitación de Newton establece que la fuerza gravitacional ejercida por un objeto de masa M y uno de masa m con centros que están separados por una distancia r es \( F = G \frac{mM}{r^2} \), con G una constante empírica \( G = 6.67 \times 10^{-11} \frac{m^3}{kg \cdot s^2} \). El trabajo realizado por una fuerza variable sobre un intervalo [a, b] se define como \( W = \int_a^b F(x) \, dx \). Si la Tierra tiene una masa de \( 5.97219 \times 10^{24} \) kg y un radio de 6371 km, calcule la cantidad de trabajo necesario para elevar un satélite meteorológico polar de 1400 kg a su altitud orbital de 850 km sobre la Tierra.
239. Para un vehículo de motor dado, la desaceleración máxima alcanzable al frenar es aproximadamente 7 m/s² sobre concreto seco. Sobre asfalto mojado, es aproximadamente 2.5 m/s². Dado que 1 mph corresponde a 0.447 m/s, calcule la distancia total que recorre un automóvil en metros sobre concreto seco después de aplicar los frenos hasta que se detiene por completo si la velocidad inicial es de 67 mph (30 m/s) o si la velocidad inicial de frenado es de 56 mph (25 m/s). Encuentre las distancias correspondientes si la superficie es asfalto resbaladizo y mojado.
240. John es un hombre de 25 años que pesa 160 lb. Quema \( 500 – 50t \) calorías/hora mientras anda en bicicleta durante t horas. Si una galleta de avena tiene 55 calorías y John come \( 4t \) galletas durante la hora t-ésima, ¿cuántas calorías netas ha perdido después de 3 horas andando en bicicleta?
241. Sandra es una mujer de 25 años que pesa 120 lb. Quema \( 300 – 50t \) calorías/hora mientras camina en su caminadora. Su ingesta calórica al beber Gatorade es de \( 100t \) calorías durante la hora t-ésima. ¿Cuál es su disminución neta de calorías después de caminar durante 3 horas?
242. Un vehículo de motor tiene una eficiencia máxima de 33 mpg a una velocidad de crucero de 40 mph. La eficiencia disminuye a una tasa de 0.1 mpg/mph entre 40 mph y 50 mph, y a una tasa de 0.4 mpg/mph entre 50 mph y 80 mph. ¿Cuál es la eficiencia en millas por galón si el automóvil está circulando a 50 mph? ¿Cuál es la eficiencia en millas por galón si el automóvil está circulando a 80 mph? Si la gasolina cuesta $3.50/gal, ¿cuál es el costo del combustible para conducir 50 millas a 40 mph, a 50 mph y a 80 mph?
243. Aunque algunos motores son más eficientes a una potencia dada que otros, en promedio, la eficiencia del combustible disminuye con la potencia a una tasa de \( \frac{1}{25} \) mpg/caballo de fuerza. Si un motor típico de 50 caballos de fuerza tiene una eficiencia de combustible promedio de 32 mpg, ¿cuál es la eficiencia de combustible promedio de un motor con la siguiente potencia: 150, 300, 450?
Supongamos que Steve acaba de recibir un aumento de $10,000. ¿Cuánto de este aumento le queda después de los impuestos federales si el salario de Steve antes de recibir el aumento era de $40,000? ¿Si era de $90,000? ¿Si era de $385,000?
244. [T] La siguiente tabla enumera la escala del impuesto federal sobre la renta de 2013 en función de la renta imponible.
| Rango de Ingreso Imponible | El Impuesto Es… | … Del Monto Excedente |
|---|---|---|
| $0–$8925 | 10% | $0 |
| $8925–$36,250 | $892.50 + 15% | $8925 |
| $36,250–$87,850 | $4,991.25 + 25% | $36,250 |
| $87,850–$183,250 | $17,891.25 + 28% | $87,850 |
| $183,250–$398,350 | $44,603.25 + 33% | $183,250 |
| $398,350–$400,000 | $115,586.25 + 35% | $398,350 |
| > $400,000 | $116,163.75 + 39.6% | $400,000 |
245. [T] La siguiente tabla proporciona datos hipotéticos sobre el nivel de servicio para una determinada carretera.
| Rango de Ingreso Imponible | El Impuesto Es … | … De la Cantidad Superior a |
|---|---|---|
| $0–$8925 | 10% | $0 |
| $8925–$36,250 | $892.50 + 15% | $8925 |
| $36,250–$87,850 | $4,991.25 + 25% | $36,250 |
| $87,850–$183,250 | $17,891.25 + 28% | $87,850 |
| $183,250–$398,350 | $44,603.25 + 33% | $183,250 |
| $398,350–$400,000 | $115,586.25 + 35% | $398,350 |
| > $400,000 | $116,163.75 + 39.6% | $400,000 |
- Grafique vehículos por hora por carril en el eje x y la velocidad de la carretera en el eje y.
- Calcule la disminución promedio de la velocidad (en millas por hora) por cada aumento unitario en la congestión (vehículos por hora por carril) a medida que esta última aumenta de 600 a 1000, de 1000 a 1500 y de 1500 a 2100. ¿Depende la disminución en millas por hora linealmente del aumento en vehículos por hora por carril?
- Grafique minutos por milla (60 veces el recíproco de millas por hora) como una función de vehículos por hora por carril. ¿Es esta función lineal?
Para los siguientes dos ejercicios, utilice los datos en la siguiente tabla, la cual muestra las poblaciones de águilas calvas desde 1963 hasta el año 2000 en los Estados Unidos continentales:
| Año | Población de Parejas Reproductoras de Águilas Calvas |
|---|---|
| 1963 | 487 |
| 1974 | 791 |
| 1981 | 1188 |
| 1986 | 1875 |
| 1992 | 3749 |
| 1996 | 5094 |
| 2000 | 6471 |
246. [T] El gráfico de abajo muestra la función cuadrática \(p(t) = 6.48t^2 – 80.31t + 585.69\) comparado con los datos de la tabla anterior, normalizado de manera que \(t = 0\) corresponde a 1963. Estimar el número promedio de águilas calvas por año durante los 37 años calculando el valor promedio de \(p\) en el intervalo \([0, 37]\).
247. [T] El gráfico de abajo muestra la función cúbica \(p(t) = 0.07t^3 + 2.42t^2 – 25.63t + 521.23\) comparado con los datos de la tabla anterior, normalizado de manera que \(t = 0\) corresponde a 1963. Estimar el número promedio de águilas calvas por año durante los 37 años calculando el valor promedio de \(p\) en el intervalo \([0, 37]\).
248. [T] Supón que haces un viaje por carretera y registras tu velocidad cada media hora, como se recopila en la siguiente tabla. El mejor ajuste cuadrático para los datos es \(q(t) = 5x^2 – 11x + 49\), que se muestra en el gráfico adjunto. Integra \(q\) para estimar la distancia total recorrida durante las 3 horas.
| Tiempo (hr) | Velocidad (mph) |
|---|---|
| 0 (inicio) | 50 |
| 1 | 40 |
| 2 | 50 |
| 3 | 60 |
A medida que un coche acelera, no lo hace a un ritmo constante; en cambio, la aceleración es variable. Para los siguientes ejercicios, utilice la siguiente tabla, que contiene la aceleración medida cada segundo mientras un conductor se incorpora a una autopista:
| Tiempo (seg) | Aceleración (mph/seg) |
|---|---|
| 1 | 11.2 |
| 2 | 10.6 |
| 3 | 8.1 |
| 4 | 5.4 |
| 5 | 0 |
249. [T] El gráfico adjunto muestra el mejor ajuste cuadrático, \(a(t) = -0.70t^2 + 1.44t + 10.44\), a los datos de la tabla anterior. Calcula el valor promedio de \(a(t)\) para estimar la aceleración promedio entre \(t = 0\) y \(t = 5\).
250. [T] Usando tu ecuación de aceleración del ejercicio anterior, encuentra la ecuación de velocidad correspondiente. Asumiendo que la velocidad inicial es 0 mph, encuentra la velocidad en el tiempo \(t = 0\).
251. [T] Usando tu ecuación de velocidad del ejercicio anterior, encuentra la ecuación de distancia correspondiente, asumiendo que tu distancia inicial es 0 mi. ¿Qué tan lejos viajaste mientras acelerabas tu coche? (Pista: Necesitarás convertir unidades de tiempo.)
252. [T] El número de hamburguesas vendidas en un restaurante a lo largo del día está dado en la siguiente tabla, con el gráfico adjunto mostrando el mejor ajuste cúbico a los datos, \(b(t) = 0.12t^3 – 2.13t^2 + 12.13t + 3.91\), con \(t = 0\) correspondiendo a las 9 a.m. y \(t = 12\) correspondiendo a las 9 p.m. Calcula el valor promedio de \(b(t)\) para estimar el número promedio de hamburguesas vendidas por hora.
| Horas Después de la Medianoche | No. de Hamburguesas Vendidas |
|---|---|
| 9 | 3 |
| 12 | 28 |
| 15 | 20 |
| 18 | 30 |
| 21 | 45 |
253. [T] Una atleta corre por un detector de movimiento, que registra su velocidad, como se muestra en la siguiente tabla. El mejor ajuste lineal para estos datos, \(\ell(t) = -0.068t + 5.14\), se muestra en el gráfico adjunto. Usa el valor promedio de \(\ell(t)\) entre \(t = 0\) y \(t = 40\) para estimar la velocidad promedio de la corredora.
| Minutos | Velocidad (m/seg) |
|---|---|
| 0 | 5 |
| 10 | 4.8 |
| 20 | 3.6 |
| 30 | 3.0 |
| 40 | 2.5 |
