| 4.4 El teorema del valor medio |

Ejercicios propuestos para el Capítulo 4.4

148. ¿Por qué se necesita continuidad para aplicar el Teorema del Valor Medio? Construye un contraejemplo.

149. ¿Por qué se necesita diferenciabilidad para aplicar el Teorema del Valor Medio? Encuentra un contraejemplo.

150. ¿Cuándo son equivalentes el teorema de Rolle y el Teorema del Valor Medio?

151. Si tienes una función con una discontinuidad, ¿sigue siendo posible que \(f'(c)(b – a) = f(b) – f(a)\)? Dibuja un ejemplo o prueba por qué no.

Para los siguientes ejercicios, determina sobre qué intervalos (si existen) se aplica el Teorema del Valor Medio. Justifica tu respuesta:

152. \(y = \sin(\pi x)\)

153. \(y = \frac{1}{x^3}\)

154. \(y = \sqrt{4 – x^2}\)

155. \(y = \sqrt{x^2 – 4}\)

156. \(y = \ln(3x – 5)\)

Para los siguientes ejercicios, grafica las funciones en una calculadora y dibuja la recta secante que conecta los puntos extremos. Estima el número de puntos \(c\) tales que \(f'(c)(b – a) = f(b) – f(a)\).

157. [T] \(y = 3x^3 + 2x + 1\) sobre \([-1, 1]\)

158. [T] \(y = \tan\left(\frac{\pi}{4}x\right)\) sobre \(\left[-\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right]\)

159. [T] \(y = x^2\cos(\pi x)\) sobre \([-2, 2]\)

160. [T] \(y = x^6 – \frac{3}{4}x^5 – \frac{9}{8}x^4 + \frac{15}{16}x^3 + \frac{3}{32}x^2 + \frac{3}{16}x + \frac{1}{32}\) sobre \([-1, 1]\)

Para los siguientes ejercicios, usa el Teorema del Valor Medio y encuentra todos los puntos \(0 < c < 2\) tales que

\[ f(2) – f(0) = f'(c)(2 – 0). \]

161. \(f(x) = x^3\)

162. \(f(x) = \sin(\pi x)\)

163. \(f(x) = \cos(2\pi x)\)

164. \(f(x) = 1 + x + x^2\)

165. \(f(x) = (x – 1)^{10}\)

166. \(f(x) = (x – 1)^9\)

Para los siguientes ejercicios, muestra que no existe \(c\) tal que \(f(1) − f(−1) = f′(c)(2)\). Explica por qué el Teorema del Valor Medio no se aplica en el intervalo \([−1,1]\).

167. \(f(x) = \lvert x − 12 \rvert\)

168. \(f(x) = \frac{1}{x^2}\)

169. \(f(x) = \sqrt{\lvert x \rvert}\)

170. \(f(x) = \lfloor x \rfloor\) (Pista: Esta es la función piso y se define de manera que \(f(x)\) es el entero más grande menor o igual a \(x\).)

Para los siguientes ejercicios, determina si el Teorema del Valor Medio se aplica para las funciones sobre el intervalo dado \([a, b]\). Justifica tu respuesta.

171. \(y = e^x\) sobre \([0, 1]\)

172. \(y = \ln(2x + 3)\) sobre \(\left[-\frac{3}{2}, 0\right]\)

173. \(f(x) = \tan(2\pi x)\) sobre \([0, 2]\)

174. \(y = \sqrt{9 – x^2}\) sobre \([-3, 3]\)

175. \(y = \frac{1}{|x + 1|}\) sobre \([0, 3]\)

176. \(y = x^3 + 2x + 1\) sobre \([0, 6]\)

177. \(y = \frac{x^2 + 3x + 2}{x}\) sobre \([-1, 1]\)

178. \(y = \frac{x}{\sin(\pi x) + 1}\) sobre \([0, 1]\)

179. \(y = \ln(x + 1)\) sobre \([0, e – 1]\)

180. \(y = x\sin(\pi x)\) sobre \([0, 2]\)

181. \(y = 5 + |x|\) sobre \([-1, 1]\)

Para los siguientes ejercicios, considera las raíces de la ecuación:

182. Muestra que la ecuación \(y = x^3 + 4x + 16\) tiene exactamente una raíz real. ¿Cuál es?

183. Encuentra las condiciones para que la ecuación \(y = x^2 + bx + c\) tenga exactamente una raíz (raíz doble).

184. Encuentra las condiciones para que \(y = e^x – b\) tenga una raíz. ¿Es posible tener más de una raíz?

Para los siguientes ejercicios, usa una calculadora para graficar la función sobre el intervalo \([a, b]\) y grafica la recta secante desde \(a\) hasta \(b\). Usa la calculadora para estimar todos los valores de \(c\) garantizados por el Teorema del Valor Medio. Luego, encuentra el valor exacto de \(c\), si es posible, o escribe la ecuación final y usa una calculadora para estimar con cuatro dígitos.

185. [T] \(y = an(\pi x)\) sobre \([-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}]\)

186. [T] \(y = \frac{1}{\sqrt{x + 1}}\) sobre \([0, 3]\)

187. [T] \(y = |x^2 + 2x – 4|\) sobre \([-4, 0]\)

188. [T] \(y = x + \frac{1}{x}\) sobre \([\frac{1}{2}, 4]\)

189. [T] \(y = \sqrt{x + 1} + \frac{1}{x^2}\) sobre \([3, 8]\)

190. A las 10:17 a.m., pasas un coche de policía a 55 mph que está detenido en la autopista. Pasas un segundo coche de policía a 55 mph a las 10:53 a.m., que se encuentra a 39 millas del primer coche de policía. Si el límite de velocidad es de 60 mph, ¿puede la policía multarte por exceso de velocidad?

191. Dos coches conducen desde un semáforo hasta el siguiente, saliendo al mismo tiempo y llegando al mismo tiempo. ¿Hay algún momento en el que vayan a la misma velocidad? Demuéstralo o refútalo.

192. Muestra que \(y = \sec^2 x\) e \(y = \tan^2 x\) tienen la misma derivada. ¿Qué puedes decir sobre

\[ y = \sec^2 x – \tan^2 x? \]

193. Muestra que \(y = \csc^2 x\) e \(y = \cot^2 x\) tienen la misma derivada. ¿Qué puedes decir sobre

\[ y = \csc^2 x – \cot^2 x? \]