| 9. Ecuaciones diferenciales | 9.5 Ecuaciones lineales de segundo orden | 9.5.2 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes |
Ejercicios propuestos para el Capítulo 9.5.2
En los Ejercicios 1–12 encuentre la solución general.
En los Ejercicios 13–17 resuelve el problema de valor inicial.
En los Ejercicios 18–21, resuelva el problema de valor inicial y grafique la solución.
22. (a) Suponga que y es una solución de la ecuación homogénea con coeficientes constantes
ay″ + by′ + cy = 0. (A)
Sea z(x) = y(x − x0), donde x0 es un número real arbitrario. Muestre que
az″ + bz′ + cz = 0.
(b) Sean z1(x) = y1(x − x0) y z2(x) = y2(x − x0), donde {y1, y2} es un conjunto fundamental de soluciones de (A). Muestre que {z1, z2} es también un conjunto fundamental de soluciones de (A).
(c) El enunciado del Teorema 9.5.2.1 es conveniente para resolver un problema de valor inicial
ay″ + by′ + cy = 0, y(0) = k0, y′(0) = k1,
donde las condiciones iniciales se imponen en x0 = 0. Sin embargo, si el problema de valor inicial es
ay″ + by′ + cy = 0, y(x0) = k0, y′(x0) = k1, (B)
donde x0 ≠ 0, luego determinando las constantes en
y = c1er1x + c2er2x, y = er1x(c1 + c2x), o y = eλx(c1cosωx + c2senωx)
(lo que sea aplicable) es más complicado. Use (b) para reformular el Teorema 9.5.2.1 en una forma más conveniente para resolver (B).
En los ejercicios 23 a 28, use un método sugerido en el ejercicio 22 para resolver el problema de valor inicial.
29. Demostrar: Si la ecuación característica de
ay″ + by′ + cy = 0. (A)
tiene una raíz negativa repetida o dos raíces con partes reales negativas, entonces toda solución de (A) tiende a cero cuando x → ∞.
30. Suponga que el polinomio característico de ay″ + by′ + cy = 0 tiene distintas raíces reales r1 y r2. Use un método sugerido por el ejercicio 22 para encontrar una fórmula para la solución de
ay″ + by′ + cy = 0, y(x0) = k0, y′(x0) = k1.
31. Suponga que el polinomio característico de ay″ + by′ + cy = 0 tiene una raíz real repetida r1. Use un método sugerido por el ejercicio 22 para encontrar una fórmula para la solución de
ay″ + by′ + cy = 0, y(x0) = k0, y′(x0) = k1.
32. Suponga que el polinomio característico de ay″ + by′ + cy = 0 tiene raíces conjugadas complejas λ ± iω. Use un método sugerido por el ejercicio 22 para encontrar una fórmula para la solución de
ay″ + by′ + cy = 0, y(x0) = k0, y′(x0) = k1.
33. Suponga que la ecuación característica de
ay″ + by′ + cy = 0. (A)
tiene una raíz real repetida r1. Temporalmente, piense en erx como una función de dos variables reales x y r.
(a) Demuestre que
(B)
(b) Derive (B) con respecto a r para obtener
(C)
(c) Invierta el orden de las derivaciones parciales en los dos primeros términos del lado izquierdo de (C) para obtener
(D)
(d) Haga r = r1 en (B) y (D) para ver que y1 = er1x y y2 = xer1x son soluciones de (A)
34. En cálculo aprendiste que eu, cosu y senu pueden representarse mediante las series infinitas
(A)
(B)
y
(C)
para todos los valores reales de u. Aunque previamente ha considerado (A) solo para valores reales de u, podemos establecer u = iθ, donde θ es real, para obtener
(D)
Dados los antecedentes adecuados en la teoría de series infinitas con términos complejos, se puede demostrar que la serie en (D) converge para todo θ real.
1, i, −1, −i, 1, i, −1, −i, 1, i,−1, −i, 1, i, −1,−i, · · · .
Use esto para agrupar los términos en (D) como
Al comparar este resultado con (B) y (C), concluya que
eiθ = cosθ + isenθ. (E)
Esta es es la identidad de Euler.
(b) A partir de
junta la parte real (los términos no multiplicados por i) y la parte imaginaria (los términos multiplicados por i) a la derecha, y usa las identidades trigonométricas
para verificar que
como cabría esperar del uso de la notación exponencial eiθ.
(c) Si α y β son números reales, defina
(F)
Demuestre que si z1 = α1 + iβ1 y z2 = α2 + iβ2 entonces
ez1 + z2 = ez1ez2.
(d) Sean a, b y c números reales, con a ≠ 0. Sea z = u + iv donde u y v son funciones de x con valores reales. Entonces decimos que z es una solución de
ay″ + by′ + cy = 0. (G)
si u y v son ambas soluciones de (G). Use el Teorema 9.5.2.1(c) para verificar que si la ecuación característica de (G) tiene raíces conjugadas complejas λ ± iω entonces z1 = e(λ + iω)x y z2 = e(λ − iω)x son ambas soluciones de (G).