| 3.5 Derivadas de las funciones trigonomètricas |
Ejercicios propuestos para el Capìtulo 3.5
Para los siguientes ejercicios, encuentra \(\frac{dy}{dx}\) para las funciones dadas.
175. \(y = x^2 – \sec x + 1\)
176. \(y = 3\csc x + \frac{5}{x}\)
177. \(y = x^2 \cot x\)
178. \(y = x – x^3 \sin x\)
179. \(y = \frac{\sec x}{x}\)
180. \(y = \sin x \tan x\)
181. \(y = (x + \cos x)(1 – \sin x)\)
182. \(y = \frac{\tan x}{1 – \sec x}\)
183. \(y = \frac{1 – \cot x}{1 + \cot x}\)
184. \(y = \cos x (1 + \csc x)\)
Para los siguientes ejercicios, encuentra la ecuación de la recta tangente a cada una de las funciones dadas en los valores indicados de x. A continuación, utiliza una calculadora para graficar tanto la función como la recta tangente para asegurarte de que la ecuación de la recta tangente sea correcta:
185. [T] \(f(x) = -\text{sen }x, x = 0\)
186. [T] \(f(x) = \csc x, x = \frac{\pi}{2}\)
187. [T] \(f(x) = 1 + \cos x, x = \frac{3\pi}{2}\)
188. [T] \(f(x) = \sec x, x = \frac{\pi}{4}\)
189. [T] \(f(x) = x^2 – \tan x, x = 0\)
190. [T] \(f(x) = 5\cot x, x = \frac{\pi}{4}\)
Para los siguientes ejercicios, encuentra \(\frac{d^2y}{dx^2}\) para las funciones dadas:
191. \(y = x \sin x – \cos x\)
192. \(y = \sin x \cos x\)
193. \(y = x – \frac{1}{2} \sin x\)
194. \(y = \frac{1}{x} + \tan x\)
195. \(y = 2 \csc x\)
196. \(y = \sec^2 x\)
197. Encuentra todos los valores de \(x\) en la gráfica de \(f(x) = -3 \sin x \cos x\) donde la recta tangente es horizontal.
198. Encuentra todos los valores de \(x\) en la gráfica de \(f(x) = x – 2 \cos x\) para \(0 < x < 2\pi\) donde la recta tangente tiene pendiente 2.
199. Sea \(f(x) = \cot x\). Determina los puntos en la gráfica de \(f\) para \(0 < x < 2\pi\) donde la(s) recta(s) tangente(s) es(son) paralela(s) a la recta \(y = -2x\).
200. [T] Una masa en un resorte rebota hacia arriba y hacia abajo en un movimiento armónico simple, modelado por la función \(s(t) = -6 \cos t\) donde \(s\) se mide en pulgadas y \(t\) se mide en segundos. Encuentra la tasa a la que el resorte está oscilando en \(t = 5\) s.
201. Sea la posición de un péndulo oscilante en movimiento armónico simple dada por \(s(t) = a \cos t + b \sin t\) donde \(a\) y \(b\) son constantes, \(t\) mide el tiempo en segundos y \(s\) mide la posición en centímetros. Si la posición es 0 cm y la velocidad es 3 cm/s cuando \(t = 0\), encuentra los valores de \(a\) y \(b\).
202. Después de que un buceador salta de un trampolín, el borde del trampolín oscila con una posición dada por \(s(t) = -5 \cos t\) cm a los \(t\) segundos después del salto.
a. Dibuja un período de la función de posición para \(t \ge 0\).
b. Encuentra la función de velocidad.
c. Dibuja un período de la función de velocidad para \(t \ge 0\).
d. Determina los tiempos cuando la velocidad es 0 durante un período.
e. Encuentra la función de aceleración.
f. Dibuja un período de la función de aceleración para \(t \ge 0\).
203. El número de hamburguesas vendidas en un restaurante de comida rápida en Pasadena, California, está dado por \(y = 10 + 5 \sin x\) donde \(y\) es el número de hamburguesas vendidas y \(x\) representa el número de horas después de que el restaurante abrió a las 11 a.m. hasta las 11 p.m., cuando cierra la tienda. Encuentra \(y’\) y determina los intervalos donde el número de hamburguesas que se venden está aumentando.
204. [T] La cantidad de lluvia por mes en Phoenix, Arizona, se puede aproximar mediante \(y(t) = 0.5 + 0.3 \cos t\), donde \(t\) son los meses desde enero. Encuentra \(y’\) y usa una calculadora para determinar los intervalos donde la cantidad de lluvia que cae está disminuyendo.
Para los siguientes ejercicios, usa la regla del cociente para derivar las ecuaciones dadas:
205. \(\frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x\)
206. \(\frac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x\)
207. \(\frac{d}{dx}(\csc x) = -\csc x \cot x\)
208. Usa la definición de derivada y la identidad
\[\cos(x+h) = \cos x \cos h – \sin x \sin h\]para probar que
\[\frac{d(\cos x)}{dx} = -\sin x.\]Para los siguientes ejercicios, encuentra la derivada de orden superior solicitada para las funciones dadas:
209. Encuentra \(\frac{d^3y}{dx^3}\) de \(y = 3\cos x\).
210. Encuentra \(\frac{d^2y}{dx^2}\) de \(y = 3\sin x + x^2 \cos x\).
211. Encuentra \(\frac{d^4y}{dx^4}\) de \(y = 5\cos x\).
212. Encuentra \(\frac{d^2y}{dx^2}\) de \(y = \sec x + \cot x\).
213. Encuentra \(\frac{d^3y}{dx^3}\) de \(y = x^{10} – \sec x\).