| 3.9 Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas |
Ejercicios propuestos para el Capítulo 3.9
Para los siguientes ejercicios, encuentra \(f'(x)\) para cada función:
331. \(f(x) = x^2 e^x\)
332. \(f(x) = \frac{e^{-x}}{x}\)
333. \(f(x) = e^{x^3 \ln x}\)
334. \(f(x) = \sqrt{e^{2x} + 2x}\)
335. \(f(x) = \frac{e^x – e^{-x}}{e^x + e^{-x}}\)
336. \(f(x) = \frac{10^x}{\ln 10}\)
337. \(f(x) = 2^{4x} + 4x^2\)
338. \(f(x) = 3^{\sin 3x}\)
339. \(f(x) = x^\pi \cdot \pi^x\)
340. \(f(x) = \ln(4x^3 + x)\)
341. \(f(x) = \ln\sqrt{5x – 7}\)
342. \(f(x) = x^2 \ln 9x\)
343. \(f(x) = \log(\sec x)\)
344. \(f(x) = \log_7(6x^4 + 3)^5\)
345. \(f(x) = 2^x \cdot \log_3 7^{x^2 – 4}\)
Para los siguientes ejercicios, usa la diferenciación logarítmica para encontrar \(\frac{dy}{dx}\):
346. \(y = x^{\sqrt{x}}\)
347. \(y = (\sin 2x)^{4x}\)
348. \(y = (\ln x)^{\ln x}\)
349. \(y = x^{\log_2 x}\)
350. \(y = (x^2 – 1)^{\ln x}\)
351. \(y = x^{\cot x}\)
352. \(y = \frac{x + 11}{\sqrt[3]{x^2 – 4}}\)
353. \(y = x^{-1/2}(x^2 + 3)^{2/3}(3x – 4)^4\)
354. [T] Encuentra una ecuación de la recta tangente a la gráfica de \(f(x) = 4xe^{(x^2 – 1)}\) en el punto donde \(x = -1\). Grafica tanto la función como la recta tangente.
355. [T] Encuentra la ecuación de la recta que es normal a la gráfica de \(f(x) = x \cdot 5^x\) en el punto donde \(x = 1\). Grafica tanto la función como la recta normal.
356. [T] Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \(x^3 – x \ln y + y^3 = 2x + 5\) en el punto \((2, 1)\). (Pista: Usa diferenciación implícita para encontrar \(\frac{dy}{dx}\).) Grafica tanto la curva como la recta tangente.
357. Considera la función \(y = x^{1/x}\) para \(x > 0\).
a. Determina los puntos en la gráfica donde la recta tangente es horizontal.
b. Determina los puntos en la gráfica donde \(y’ > 0\) y aquellos donde \(y’ < 0\).
358. La fórmula \(I(t) = \frac{\sin t}{e^t}\) es la fórmula para una corriente alterna decreciente.
a. Completa la siguiente tabla con los valores apropiados.
b. Usando solo los valores de la tabla, determina dónde la recta tangente a la gráfica de \(I(t)\) es horizontal.
359. [T] La población de Toledo, Ohio, en el año 2000 era aproximadamente de 500,000 habitantes. Asume que la población está aumentando a una tasa del 5% anual.
a. Escribe la función exponencial que relaciona la población total como una función de \(t\).
b. Usa a. para determinar la tasa a la que la población está aumentando en \(t\) años.
c. Usa b. para determinar la tasa a la que la población está aumentando en 10 años.
360. [T] Un isótopo del elemento erbio tiene una vida media de aproximadamente 12 horas. Inicialmente hay 9 gramos del isótopo presentes.
a. Escribe la función exponencial que relaciona la cantidad de sustancia restante como una función de \(t\), medida en horas.
b. Usa a. para determinar la tasa a la que la sustancia se está desintegrando en \(t\) horas.
c. Usa b. para determinar la tasa de desintegración en \(t = 4\) horas.
361. [T] El número de casos de influenza en la ciudad de Nueva York desde principios de 1960 hasta principios de 1964 se modela mediante la función
\[ N(t) = 5.3e^{0.093t^2 – 0.87t}, \quad (0 \le t \le 4), \]donde \(N(t)\) da el número de casos (en miles) y \(t\) se mide en años, con \(t = 0\) correspondiendo a principios de 1960.
a. Muestra el trabajo que evalúa \(N(0)\) y \(N(4)\). Describe brevemente lo que estos valores indican sobre la enfermedad en la ciudad de Nueva York.
b. Muestra el trabajo que evalúa \(N'(0)\) y \(N'(3)\). Describe brevemente lo que estos valores indican sobre la enfermedad en la ciudad de Nueva York.
362. [T] La tasa de cambio relativa de una función diferenciable \(y = f(x)\) está dada por \(\frac{100 \cdot f'(x)}{f(x)} \%\). Un modelo para el crecimiento de la población es una función de crecimiento de Gompertz, dada por \(P(x) = ae^{-be^{-cx}}\) donde \(a\), \(b\) y \(c\) son constantes.
a. Encuentra la fórmula de la tasa de cambio relativa para la función genérica de Gompertz.
b. Usa a. para encontrar la tasa de cambio relativa de una población en \(x = 20\) meses cuando \(a = 204\), \(b = 0.0198\) y \(c = 0.15\).
c. Interpreta brevemente lo que significa el resultado de b.
Para los siguientes ejercicios, utiliza la población de la ciudad de Nueva York desde 1790 hasta 1860, dada en la siguiente tabla:
363. [T] Usando un programa de computadora o una calculadora, ajusta una curva de crecimiento a los datos de la forma \(p = ab^t\).
364. [T] Usando el mejor ajuste exponencial para los datos, escribe una tabla que contenga las derivadas evaluadas en cada año.
365. [T] Usando el mejor ajuste exponencial para los datos, escribe una tabla que contenga las segundas derivadas evaluadas en cada año.
366. [T] Usando las tablas de las primeras y segundas derivadas y el mejor ajuste, responde las siguientes preguntas:
a. ¿Será preciso el modelo para predecir la población futura de la ciudad de Nueva York? ¿Por qué sí o por qué no?
b. Estima la población en 2010. ¿Fue correcta la predicción de a.?