| 3.1 Definición de derivada |
Ejercicios propuestos para el Capítulo 3.1
Para los siguientes ejercicios, usa la Ecuación 3.1.1_1 para encontrar la pendiente de la recta secante entre los valores x1 y x2 para cada función y = f (x):
1. \(f(x) = 4x + 7; x_1 = 2, x_2 = 5\)
2. \(f(x) = 8x – 3; x_1 = -1, x_2 = 3\)
3. \(f(x) = x^2 + 2x + 1; x_1 = 3, x_2 = 3.5\)
4. \(f(x) = -x^2 + x + 2; x_1 = 0.5, x_2 = 1.5\)
5. \(f(x) = \frac{4}{3x – 1}; x_1 = 1, x_2 = 3\)
6. \(f(x) = \frac{x – 7}{2x + 1}; x_1 = 0, x_2 = 2\)
7. \(f(x) = \sqrt{x}; x_1 = 1, x_2 = 16\)
8. \(f(x) = \sqrt{x – 9}; x_1 = 10, x_2 = 13\)
9. \(f(x) = x^{1/3} + 1; x_1 = 0, x_2 = 8\)
10. \(f(x) = 6x^{2/3} + 2x^{1/3}; x_1 = 1, x_2 = 27\)
Para las siguientes funciones.
a. Use la Ecuación 3.1.2_4 para encontrar la pendiente de la recta tangente \(m_{tan} = f'(a)\).
b. Encuentre la ecuación de la recta tangente a \(f\) en \(x = a\):
11. \(f(x) = 3 – 4x, a = 2\)
12. \(f(x) = \frac{x}{5} + 6, a = -1\)
13. \(f(x) = x^2 + x, a = 1\)
14. \(f(x) = 1 – x – x^2, a = 0\)
15. \(f(x) = \frac{7}{x}, a = 3\)
16. \(f(x) = \sqrt{x + 8}, a = 1\)
17. \(f(x) = 2 – 3x^2, a = -2\)
18. \(f(x) = \frac{-3}{x – 1}, a = 4\)
19. \(f(x) = \frac{2}{x + 3}, a = -4\)
20. \(f(x) = \frac{3}{x^2}, a = 3\)
Para las siguientes funciones y = f (x), encuentra f ′(a) usando la Ecuación 31.3_5:
21. \(f(x) = 5x + 4, a = -1\)
22. \(f(x) = -7x + 1, a = 3\)
23. \(f(x) = x^2 + 9x, a = 2\)
24. \(f(x) = 3x^2 – x + 2, a = 1\)
25. \(f(x) = \sqrt{x}, a = 4\)
26. \(f(x) = \sqrt{x – 2}, a = 6\)
27. \(f(x) = \frac{1}{x}, a = 2\)
28. \(f(x) = \frac{1}{x – 3}, a = -1\)
29. \(f(x) = \frac{1}{x^3}, a = 1\)
30. \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}, a = 4\)
Para los siguientes ejercicios, dada la función \(y = f(x)\),
a. encuentre la pendiente de la recta secante \(PQ\) para cada punto \(Q(x, f(x))\) con valor de \(x\) dado en la tabla.
b. use las respuestas de a. para estimar el valor de la pendiente de la recta tangente en \(P\).
c. use la respuesta de b. para encontrar la ecuación de la recta tangente a \(f\) en el punto \(P\):
31. [T] \(f(x) = x^2 + 3x + 4, P(1, 8)\) (Redondear a 6 decimales.)
32. [T] \(f(x) = \frac{x + 1}{x^2 – 1}, P(0, -1)\)
33. [T] \(f(x) = 10e^{0.5x}, P(0, 10)\) (Redondear a 4 decimales.)
34. [T] \(f(x) = \tan(x), P(\pi, 0)\)
Para las siguientes funciones de posición \(y = s(t)\), un objeto se mueve a lo largo de una línea recta, donde \(t\) está en segundos y \(s\) está en metros. Encuentre:
a. la expresión simplificada para la velocidad promedio desde \(t=2\) hasta \(t=2+h\);
b. la velocidad promedio entre \(t=2\) y \(t=2+h\), donde (i) \(h=0.1\), (ii) \(h=0.01\), (iii) \(h=0.001\), y (iv) \(h=0.0001\); y
c. use la respuesta de a. para estimar la velocidad instantánea en \(t=2\) segundos.
35. \(s(t) = \frac{1}{3}t + 5\)
36. \(s(t) = t^2 – 2t\)
37. \(s(t) = 2t^3 + 3\)
38. \(s(t) = \frac{16}{t^2} – \frac{4}{t}\)
39. Use la siguiente gráfica para evaluar a. \(f'(1)\) y b. \(f'(6)\).
40. Use la siguiente gráfica para evaluar a. \(f'(-3)\) y b. \(f'(1.5)\).
Para los siguientes ejercicios, usa la definición de límite de la derivada para demostrar que la derivada no existe en x = a para cada una de las funciones dadas:
41. \(f(x) = x^{1/3}, x = 0\)
42. \(f(x) = x^{2/3}, x = 0\)
43. \(f(x) = \begin{cases} 1, & x < 1 \\ x, & x \ge 1 \end{cases}, x = 1\)
44. \(f(x) = \frac{|x|}{x}, x = 0\)
45. [T] La posición en pies de un coche de carreras a lo largo de una pista recta después de \(t\) segundos está modelada por la función \(s(t) = 8t^2 – \frac{1}{16}t^3\).
a. Encuentre la velocidad promedio del vehículo durante los siguientes intervalos de tiempo con cuatro decimales:
i. [4, 4.1]
ii. [4, 4.01]
iii. [4, 4.001]
iv. [4, 4.0001]
b. Use a. para sacar una conclusión sobre la velocidad instantánea del vehículo en \(t = 4\) segundos.
46. [T] La distancia en pies que una bola recorre por un plano inclinado está modelada por la función \(s(t) = 14t^2\), donde \(t\) representa los segundos después de que la bola comienza a rodar.
a. Calcule la velocidad promedio de la bola en los siguientes intervalos de tiempo:
i. [5, 5.1]
ii. [5, 5.01]
iii. [5, 5.001]
iv. [5, 5.0001]
b. Use las respuestas de a. para sacar una conclusión sobre la velocidad instantánea de la bola en \(t = 5\) segundos.
47. Dos vehículos comienzan viajando uno al lado del otro a lo largo de una carretera recta. Sus funciones de posición, que se muestran en la siguiente gráfica, están dadas por \(s = f(t)\) y \(s = g(t)\), donde \(s\) se mide en pies y \(t\) se mide en segundos.
Con base en la gráfica (que debe ser incluida), responda:
a. ¿Qué vehículo ha viajado más lejos en \(t=2\) segundos?
b. ¿Cuál es la velocidad aproximada de cada vehículo en \(t=3\) segundos?
c. ¿Qué vehículo viaja más rápido en \(t=4\) segundos?
d. ¿Qué es cierto acerca de las posiciones de los vehículos en \(t=4\) segundos?
48. [T] El costo total \(C(x)\), en cientos de dólares, para producir \(x\) frascos de mayonesa está dado por \(C(x) = 0.000003x^3 + 4x + 300\).
a. Calcule el costo promedio por frasco en los siguientes intervalos:
i. [100, 100.1]
ii. [100, 100.01]
iii. [100, 100.001]
iv. [100, 100.0001]
b. Use las respuestas de a. para estimar el costo promedio de producir 100 frascos de mayonesa.
49. [T] Para la función \(f(x) = x^3 – 2x^2 – 11x + 12\), realice lo siguiente:
a. Use una calculadora gráfica para graficar \(f\) en una ventana de visualización adecuada.
b. Use la función ZOOM de la calculadora para aproximar los dos valores de \(x = a\) para los cuales \(m_{\text{tan}} = f'(a) = 0\).
50. [T] Para la función \(f(x) = \frac{x}{1 + x^2}\), realice lo siguiente:
a. Use una calculadora gráfica para graficar \(f\) en una ventana de visualización adecuada.
b. Use la función ZOOM de la calculadora para aproximar los valores de \(x = a\) para los cuales \(m_{\text{tan}} = f'(a) = 0\).
51. Suponga que \(N(x)\) calcula el número de galones de gasolina utilizados por un vehículo que viaja \(x\) millas. Suponga que el vehículo rinde 30 mpg.
a. Encuentre una expresión matemática para \(N(x)\).
b. ¿Cuál es el valor de \(N(100)\)? Explique su significado físico.
c. ¿Cuál es el valor de \(N'(100)\)? Explique su significado físico.
52. [T] Para la función \(f(x) = x^4 – 5x^2 + 4\), haga lo siguiente:
a. Use una calculadora gráfica para graficar \(f\) en una ventana de visualización apropiada.
b. Use la función nDeriv, que encuentra numéricamente la derivada, en una calculadora gráfica para estimar \(f'(-2), f'(-0.5), f'(1.7)\) y \(f'(2.718)\).
53. [T] Para la función \(f(x) = \frac{x^2}{x^2 + 1}\), haga lo siguiente:
a. Use una calculadora gráfica para graficar \(f\) en una ventana de visualización apropiada.
b. Use la función nDeriv en una calculadora gráfica para encontrar \(f'(-4), f'(-2), f'(2)\) y \(f'(4)\).