ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES
Longitud del arco en curvas polares
Aquí derivamos una fórmula para la longitud de arco de una curva definida en coordenadas polares.
En coordenadas rectangulares, la longitud de arco de una curva parametrizada (x(t), y(t)) para a ≤ t ≤ b está dada por
En coordenadas polares definimos la curva por la ecuación r = f (θ), donde α ≤ θ ≤ β. Para adaptar la fórmula de longitud de arco para una curva polar, usamos las ecuaciones
x = rcosθ = f (θ)cosθ y y = rsenθ = f (θ)senθ,
y reemplazamos el parámetro t por θ. Luego
dx/dθ = f ′(θ)cosθ − f (θ)senθ
dy/dθ = f ′(θ)senθ + f (θ)cosθ.
Reemplazamos dt por dθ, y los límites inferior y superior de integración son α y β, respectivamente. Entonces la fórmula de la longitud del arco se convierte en
Esto nos da el siguiente teorema.
TEOREMA 8.4.2 Longitud de arco de una curva definida por una función polar
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Sea f una función cuya derivada es continua en un intervalo α ≤ θ ≤ β. La longitud de la gráfica de r = f (θ) de θ = α a θ = β es
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Ejemplo ilustrativo 8.4_3 Encontrar la longitud de arco de una curva polar
Encuentre la longitud de arco del cardioide r = 2 + 2cosθ.
Solución:
Cuando θ = 0, r = 2 + 2cos0 = 4. Además, cuando θ va de 0 a 2π, el cardioide se traza exactamente una vez. Por tanto, estos son los límites de la integración. Usando f (θ) = 2 + 2cosθ, α = 0 y β = 2π, la ecuación dada en el Teorema 8.4.2 se convierte en
Luego, usando la identidad cos(2α) = 2cos²α − 1, sume 1 a ambos lados y multiplique por 2. Esto da 2 + 2cos(2α) = 4cos2α. Sustituyendo α = θ/2 da 2 + 2cosθ = 4cos2 (θ/2), entonces la integral se convierte en
El valor absoluto es necesario porque el coseno es negativo para algunos valores en su dominio. Para resolver este problema, cambie los límites de 0 a π y duplique la respuesta. Esta estrategia funciona porque el coseno es positivo entre 0 y π/2. Así,
Ejercicio de control 8.4_3
Encuentre la longitud total de arco de r = 3senθ.