| 8.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares |
Ejercicios propuesto del Capítulo 8.4
Para los siguientes ejercicios, determine una integral definida que represente el área.
188. Región delimitada por r = 4
189. Región encerrada por r = 3senθ
190. Región en el primer cuadrante dentro del cardioide r = 1 + senθ
191. Región encerrada por un pétalo de r = 8sen(2θ)
192. Región encerrada por un pétalo de r = cos(3θ)
193. Región debajo del eje polar y encerrada por r = 1 − senθ
194. Región en el primer cuadrante encerrada por r = 2 − cosθ
195. Región encerrada por el bucle interno de r = 2 − 3senθ
196. Región encerrada por el bucle interior de r = 3 − 4cosθ
197. Región encerrada por r = 1−2cosθ y fuera del bucle interno
198. Región común a r = 3senθ y r = 2 − senθ
199. Región común a r = 2 y r = 4cosθ
200. Región común a r = 3cosθ y r = 3senθ
Para los siguientes ejercicios, busque el área de la región descrita.
201. Entre r = 6senθ
202. Por encima del eje polar encerrado por r = 2 + senθ
203. Por debajo del eje polar y encerrado por r = 2 − cosθ
204. Encerrado por un pétalo de r = 4cos (3θ)
205. Encerrado por un pétalo de r = 3cos (2θ)
206. Encerrado por r = 1 + senθ
207. Encerrado por el bucle interior de r = 3 + 6cosθ
208. Delimitado por r = 2 + 4cosθ y fuera del bucle interior
209. Interior común de r = 4sen (2θ) y r = 2
210. Interior común de r = 3−2senθ y r = −3 + 2senθ
211. Interior común de r = 6senθ y r = 3
212. Dentro de r = 1 + cosθ y fuera de r = cosθ
213. Interior común de r = 2 + 2cosθ y r = 2senθ
Para los siguientes ejercicios, encuentre una integral definida que represente la longitud de arco.
214. r = 4cosθ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π/2
215. r = 1 + senθ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ 2π
216. r = 2 secθ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π/3
217. r = eᶿ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ 1
Para los siguientes ejercicios, encuentre la longitud de la curva en el intervalo dado.
218. r = 6 en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π/2
219. r = e³ᶿ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ 2
220. r = 6cosθ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π/2
221. r = 8 + 8cosθ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π
222. r = 1 − senθ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ 2π
Para los siguientes ejercicios, use las capacidades de integración de una calculadora para aproximar la longitud de la curva.
223. [T] r = 3θ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π/2
224. [T] r = 2/θ en el intervalo π ≤ θ ≤ 2π
225. [T] r = sen²(θ/2) en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π
226. [T] r = 2θ² en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π
227. [T] r = sen(3cosθ) en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π
Para los siguientes ejercicios, use la fórmula familiar de la geometría para encontrar el área de la región descrita y luego confirme usando la integral definida.
228. r = 3senθ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π
229. r = senθ + cosθ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π
230. r = 6senθ + 8cosθ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π
Para los siguientes ejercicios, use la fórmula familiar de geometría para encontrar la longitud de la curva y luego confirme usando la integral definida.
231. r = 3senθ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π
232. r = senθ + cosθ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π
233. r = 6senθ + 8cosθ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π
234. Verifique que si y = rsenθ = f (θ)senθ entonces dy/dθ = f ′(θ)senθ + f (θ)cosθ.
Para los siguientes ejercicios, encuentre la pendiente de una recta tangente a una curva polar r = f(θ). Sea x = rcosθ = f(θ)cosθ y y = rsenθ = f(θ)senθ, entonces la ecuación polar r = f(θ) ahora se escribe en forma paramétrica.
235. Use la definición de la derivada dy/dx = (dy/dθ)/(dx/dθ) y la regla del producto para deducir la derivada de una ecuación polar.
236. r = 1 − senθ; (1/2, π/6)
237. r = 4cosθ; (2, π/3)
238. r = 8senθ; (4, 5π/6)
239. r = 4 + senθ; (3, 3π/2)
240. r = 6 + 3cosθ; (3, π)
241. r = 4cos(2θ); puntas de las hojas
242. r = 2sen(3θ); puntas de las hojas
243. r = 2θ; (π/2, π/4)
244. Encuentre los puntos en el intervalo −π ≤ θ ≤ π en el que el cardioide r = 1 − cosθ tiene una recta tangente vertical u horizontal.
245. Para el cardioide r = 1 + senθ, encuentre la pendiente de la recta tangente cuando θ = π/3.
Para los siguientes ejercicios, encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva polar dada en el punto dado por el valor de θ.
246. r = 3cosθ, θ = π/3
247. r = θ, θ = π/2
248. r = lnθ, θ = e
249. [T] Usar tecnología: r = 2 + 4cosθ en θ = π/6
Para los siguientes ejercicios, encuentre los puntos en los que las siguientes curvas polares tienen una recta tangente horizontal o vertical.
250. r = 4cosθ
251. r² = 4cos(2θ)
252. r = 2sen(2θ)
253. El cardioide r = 1 + senθ
254. Demuestre que la curva r = senθtanθ (llamada cisoide de Diocles) tiene la recta x = 1 como asíntota vertical.