| 6.5 Aplicaciones físicas de la integral |

Ejercicios propuestos para el Capítulo 6.5

Para los siguientes ejercicios, encuentre el trabajo realizado:

218. Encuentre el trabajo realizado cuando una fuerza constante \(\mathit{F} = 12\) lb mueve una silla desde \(\mathit{x} = 0.9\) hasta \(\mathit{x} = 1.1\) ft.

219. ¿Cuánto trabajo se realiza cuando una persona levanta una caja de cómics de 50 lb hasta un camión que está a 3 ft del suelo?

220. ¿Cuál es el trabajo realizado al levantar a un niño de 20 kg desde el suelo hasta una altura de 2 m? (Nota: una masa de 1 kg pesa 9.8 N cerca de la superficie de la Tierra).

221. Encuentre el trabajo realizado cuando empuja una caja a lo largo del suelo 2 m, cuando aplica una fuerza constante de \(\mathit{F} = 100\) N.

222. Calcule el trabajo realizado para una fuerza \(\mathit{F} = 12/\mathit{x}^2\) N desde \(\mathit{x} = 1\) hasta \(\mathit{x} = 2\) m.

223. ¿Cuál es el trabajo realizado al mover una partícula desde \(\mathit{x} = 0\) hasta \(\mathit{x} = 1\) m si la fuerza que actúa sobre ella es \(\mathit{F} = 3\mathit{x}^2\) N?

Para los siguientes ejercicios, encuentre la masa del objeto unidimensional:

224. Un alambre que mide 2 ft de largo (comenzando en \(\mathit{x} = 0\)) y tiene una función de densidad de \(\rho(\mathit{x}) = \mathit{x}^2 + 2\mathit{x}\) lb/ft

225. Una antena de automóvil que mide 3 ft de largo (comenzando en \(\mathit{x} = 0\)) y tiene una función de densidad de \(\rho(\mathit{x}) = 3\mathit{x} + 2\) lb/ft

226. Una varilla de metal que mide 8 in de largo (comenzando en \(\mathit{x} = 0\)) y tiene una función de densidad de \(\rho(\mathit{x}) = e^{1/2\mathit{x}}\) lb/in.

227. Un lápiz que mide 4 in de largo (comenzando en \(\mathit{x} = 2\)) y tiene una función de densidad de \(\rho(\mathit{x}) = 5/\mathit{x}\) oz/in.

228. Una regla que mide 12 in de largo (comenzando en \(\mathit{x} = 5\)) y tiene una función de densidad de \(\rho(\mathit{x}) = \ln(\mathit{x}) + (1/2) \mathit{x}^2\) oz/in.

Para los siguientes ejercicios, encuentre la masa del objeto bidimensional que está centrado en el origen:

229. Un disco de hockey sobredimensionado de radio 2 in, con función de densidad \(\rho(\mathit{x}) = \mathit{x}^3 – 2\mathit{x} + 5\)

230. Un frisbee de radio 6 in, con función de densidad \(\rho(\mathit{x}) = e^{-\mathit{x}}\)

231. Una placa de radio 10 in, con función de densidad \(\rho(\mathit{x}) = 1 + \cos(\pi \mathit{x})\)

232. Una tapa de tarro de radio 3 in, con función de densidad \(\rho(\mathit{x}) = \ln(\mathit{x} + 1)\)

233. Un disco de radio 5 cm con función de densidad \(\rho(\mathit{x}) = \sqrt{3\mathit{x}}\)

234. Un resorte de 12 pulgadas se estira hasta 15 pulgadas mediante una fuerza de 75 lb. ¿Cuál es la constante del resorte?

235. Un resorte tiene una longitud natural de 10 cm. Se necesitan 2 J para estirar el resorte hasta 15 cm. ¿Cuánto trabajo se necesitaría para estirar el resorte de 15 cm a 20 cm?

236. Un resorte de 1 m requiere 10 J para estirarse hasta 1.1 m. ¿Cuánto trabajo se necesitaría para estirar el resorte de 1 m a 1.2 m?

237. Un resorte requiere 5 J para estirar el resorte de 8 cm a 12 cm, y 4 J adicionales para estirar el resorte de 12 cm a 14 cm. ¿Cuál es la longitud natural del resorte?

238. Un amortiguador se comprime 1 in. con un peso de 1 t. ¿Cuál es la constante del resorte?

239. Una fuerza de \(\mathit{F} = 20\mathit{x} – \mathit{x}^3\) N estira un resorte no lineal \(\mathit{x}\) metros. ¿Qué trabajo se requiere para estirar el resorte de \(\mathit{x} = 0\) a \(\mathit{x} = 2\) m?

240. Encuentre el trabajo realizado al enrollar un cable colgante de longitud 100 ft y densidad de peso 5 lb/ft.

241. Para el cable en el ejercicio anterior, ¿cuánto trabajo se realiza para levantar el cable 50 ft?

242. Para el cable en el ejercicio anterior, ¿cuánto trabajo adicional se realiza al colgar un peso de 200 lb al final del cable?

243. [T] Una pirámide de altura 500 ft tiene una base cuadrada de 800 ft por 800 ft. Encuentre el área \(\mathit{A}\) a una altura \(\mathit{h}\). Si la roca utilizada para construir la pirámide pesa aproximadamente \(\mathit{w} = 100\) lb/ft³, ¿cuánto trabajo se necesitó para levantar toda la roca?

244. [T] Para la pirámide en el ejercicio anterior, asuma que hubo 1000 trabajadores trabajando 10 horas al día, 5 días a la semana, 50 semanas al año. Si los trabajadores, en promedio, levantaron 10 rocas de 100 lb a 2 ft/hr, ¿cuánto tiempo tomó construir la pirámide?

245. [T] La fuerza de gravedad sobre una masa \(\mathit{m}\) es \(\mathit{F} = -(\mathit{G}\mathit{M}\mathit{m})/\mathit{x}^2\) newtons. Para un cohete de masa \(\mathit{m} = 1000\) kg, calcule el trabajo para levantar el cohete desde \(\mathit{x} = 6400\) hasta \(\mathit{x} = 6500\) km. Indique sus respuestas con tres cifras significativas. (Nota: \(\mathit{G} = 6.67 \times 10^{-11}\) N m²/kg² y \(\mathit{M} = 6 \times 10^{24}\) kg.)

246. [T] Para el cohete en el ejercicio anterior, encuentre el trabajo para levantar el cohete desde \(\mathit{x} = 6400\) hasta \(\mathit{x} = \infty\).

247. [T] Una presa rectangular tiene 40 ft de altura y 60 ft de ancho. Asuma que la densidad del peso del agua es 62.5 lb/ft³. Calcule la fuerza total \(\mathit{F}\) sobre la presa cuando:

a. la superficie del agua está en la parte superior de la presa, y

b. la superficie del agua está a la mitad de la presa.

248. [T] Encuentre el trabajo requerido para bombear toda el agua fuera de un cilindro que tiene una base circular de radio 5 ft y altura 200 ft. Use el hecho de que la densidad del agua es 62 lb/ft³.

249. [T] Encuentre el trabajo requerido para bombear toda el agua fuera del cilindro en el ejercicio anterior si el cilindro está solo medio lleno.

250. [T] ¿Cuánto trabajo se requiere para bombear el agua de una piscina si el área de la base es 800 ft², el agua tiene 4 ft de profundidad y la parte superior está 1 ft por encima del nivel del agua? Asuma que la densidad del agua es 62 lb/ft³.

251. Un cilindro de profundidad \(\mathit{H}\) y área de sección transversal \(\mathit{A}\) está lleno de agua con densidad \(\rho\). Calcule el trabajo para bombear toda el agua hasta la parte superior.

252. Para el cilindro en el ejercicio anterior, calcule el trabajo para bombear toda el agua hasta la parte superior si el cilindro está solo medio lleno.

253. Un tanque con forma de cono tiene un área de sección transversal que aumenta con su profundidad: \(\mathit{A} = (\pi \mathit{r}^2 \mathit{h}^2) / \mathit{H}^3\). Muestre que el trabajo para vaciarlo es la mitad del trabajo para un cilindro con la misma altura y base.