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11.5 La regla de la cadena

Objetivos de aprendizaje

• 11.5.1 Enunciar las reglas de la cadena para una o dos variables independientes.
• 11.5.2 Utilizar diagramas de árbol como ayuda para comprender la regla de la cadena para varias variables independientes e intermedias.
• 11.5.3 Realizar diferenciación implícita de una función de dos o más variables.

En el cálculo de una sola variable, vimos que una de las reglas de diferenciación más útiles es la regla de la cadena, la cual nos permite hallar la derivada de la composición de dos funciones. Lo mismo ocurre en el cálculo multivariable, pero en este caso debemos tratar con más de una forma de la regla de la cadena. En esta sección estudiamos extensiones de la regla de la cadena y aprendemos a calcular derivadas de composiciones de funciones de más de una variable.

Reglas de la cadena para una o dos variables independientes

Recordemos que la regla de la cadena para la derivada de una composición de dos funciones se puede escribir de la forma

$$\frac{d}{dx}(f(g(x))) = f'(g(x))g'(x).$$

En esta ecuación, tanto $f(x)$ como $g(x)$ son funciones de una variable. Ahora supongamos que $f$ es una función de dos variables y $g$ es una función de una variable. O tal vez ambas son funciones de dos variables, o incluso más. ¿Cómo calcularíamos la derivada en estos casos? El siguiente teorema nos da la respuesta para el caso de una variable independiente.

Teorema 11.5.1. Regla de la cadena para una variable independiente

Supongamos que $x = g(t)$ y $y = h(t)$ son funciones derivables de $t$ y $z = f(x, y)$ es una función diferenciable de $x$ e $y$. Entonces $z = f(x(t), y(t))$ es una función derivable de $t$ y

$$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt}, \hspace{20pt} \text{(11.5.1)} $$

donde las derivadas ordinarias se evalúan en $t$ y las derivadas parciales se evalúan en $(x, y)$. ♦

Demostración:

La demostración de este teorema utiliza la definición de diferenciabilidad de una función de dos variables. Supongamos que $f$ es diferenciable en el punto $P(x_0, y_0)$, donde $x_0 = g(t_0)$ y $y_0 = h(t_0)$ para un valor fijo de $t_0$. Queremos demostrar que $z = f(x(t), y(t))$ es derivable en $t = t_0$ y que la Ecuación 11.5.1 también se cumple en ese punto.

Como $f$ es diferenciable en $P$, sabemos que

$$z(t) = f(x, y) = f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)(x – x_0) + f_y(x_0, y_0)(y – y_0) + E(x, y), \hspace{20pt} \text{(11.5.2)} $$

donde $\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} \frac{E(x,y)}{\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}} = 0$. Luego restamos $z_0 = f(x_0, y_0)$ de ambos lados de esta ecuación:

$$ \begin{aligned} z(t) – z(t_0) &= f(x(t), y(t)) – f(x(t_0), y(t_0)) \\ &= f_x(x_0, y_0)(x(t) – x(t_0)) + f_y(x_0, y_0)(y(t) – y(t_0)) + E(x(t), y(t)). \end{aligned} $$

A continuación, dividimos ambos lados por $t – t_0$:

$$\frac{z(t) – z(t_0)}{t – t_0} = f_x(x_0, y_0) \left( \frac{x(t) – x(t_0)}{t – t_0} \right) + f_y(x_0, y_0) \left( \frac{y(t) – y(t_0)}{t – t_0} \right) + \frac{E(x(t), y(t))}{t – t_0}.$$

Luego tomamos el límite cuando $t$ se acerca a $t_0$:

$$ \begin{aligned} \lim_{t \to t_0} \frac{z(t) – z(t_0)}{t – t_0} &= f_x(x_0, y_0) \lim_{t \to t_0} \left( \frac{x(t) – x(t_0)}{t – t_0} \right) + f_y(x_0, y_0) \lim_{t \to t_0} \left( \frac{y(t) – y(t_0)}{t – t_0} \right) \\ &+ \lim_{t \to t_0} \frac{E(x(t), y(t))}{t – t_0}. \end{aligned} $$

El lado izquierdo de esta ecuación es igual a $dz/dt$, lo que conduce a

$$\frac{dz}{dt} = f_x(x_0, y_0) \frac{dx}{dt} + f_y(x_0, y_0) \frac{dy}{dt} + \lim_{t \to t_0} \frac{E(x(t), y(t))}{t – t_0}.$$

El último término se puede reescribir como

$$ \begin{aligned} \lim_{t \to t_0} \frac{E(x(t), y(t))}{t – t_0} &= \lim_{t \to t_0} \left( \frac{E(x, y)}{\sqrt{(x – x_0)^2 + (y – y_0)^2}} \frac{\sqrt{(x – x_0)^2 + (y – y_0)^2}}{t – t_0} \right) \\ &= \lim_{t \to t_0} \left( \frac{E(x, y)}{\sqrt{(x – x_0)^2 + (y – y_0)^2}} \right) \lim_{t \to t_0} \left( \frac{\sqrt{(x – x_0)^2 + (y – y_0)^2}}{t – t_0} \right). \end{aligned} $$

A medida que $t$ se acerca a $t_0$, $(x(t), y(t))$ se acerca a $(x(t_0), y(t_0))$, por lo que podemos reescribir el último producto como

$$\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} \left( \frac{E(x, y)}{\sqrt{(x – x_0)^2 + (y – y_0)^2}} \right) \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} \left( \frac{\sqrt{(x – x_0)^2 + (y – y_0)^2}}{t – t_0} \right).$$

Dado que el primer límite es igual a cero, solo necesitamos mostrar que el segundo límite es finito:

$$ \begin{aligned} \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} \left( \frac{\sqrt{(x – x_0)^2 + (y – y_0)^2}}{t – t_0} \right) &= \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} \left( \sqrt{\frac{(x – x_0)^2 + (y – y_0)^2}{(t – t_0)^2}} \right) \\ &= \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} \left( \sqrt{\left( \frac{x – x_0}{t – t_0} \right)^2 + \left( \frac{y – y_0}{t – t_0} \right)^2} \right) \\ &= \sqrt{\left( \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} \left( \frac{x – x_0}{t – t_0} \right) \right)^2 + \left( \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} \left( \frac{y – y_0}{t – t_0} \right) \right)^2}. \end{aligned} $$

Como $x(t)$ y $y(t)$ son ambas funciones derivables de $t$, ambos límites dentro del último radical existen. Por lo tanto, este valor es finito. Esto demuestra la regla de la cadena en $t = t_0$; el resto del teorema se deduce de la suposición de que todas las funciones son derivables en sus dominios completos. ♦

Un examen más detenido de la Ecuación 11.5.1 revela un patrón interesante. El primer término de la ecuación es $\frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt}$ y el segundo término es $\frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt}$. Recordemos que al multiplicar fracciones, se puede utilizar la cancelación. Si tratamos estas derivadas como fracciones, cada producto se “simplifica” a algo que se asemeja a $\partial f / dt$. Las variables $x$ e $y$ que desaparecen en esta simplificación suelen denominarse variables intermedias: son variables independientes para la función $f$, pero son variables dependientes para la variable $t$. En el lado derecho de la fórmula aparecen dos términos, y $f$ es una función de dos variables. Este patrón también funciona con funciones de más de dos variables, como veremos más adelante en esta sección.

Ejemplo ilustrativo 11.5.1. Uso de la regla de la cadena

Calcule $dz/dt$ para cada una de las siguientes funciones:

1. $z = f(x, y) = 4x^2 + 3y^2,\; x = x(t) = \sin t,\; y = y(t) = \cos t$
2. $z = f(x, y) = \sqrt{x^2 – y^2},\; x = x(t) = e^{2t},\; y = y(t) = e^{-t}$

Solución:

a. Para usar la regla de la cadena, necesitamos cuatro cantidades: $\partial z/\partial x$, $\partial z/\partial y$, $dx/dt$ y $dy/dt$:

$$ \begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x} &= 8x & \frac{\partial z}{\partial y} &= 6y \\ \frac{dx}{dt} &= \cos t & \frac{dy}{dt} &= -\sin t \end{aligned} $$

Ahora, sustituimos cada una de estas en la Ecuación 11.5.1:

$$ \begin{aligned} \frac{dz}{dt} &= \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt} \\ &= (8x)(\cos t) + (6y)(-\sin t) \\ &= 8x \cos t – 6y \sin t. \end{aligned} $$

Esta respuesta tiene tres variables. Para reducirla a una sola variable, usamos el hecho de que $x(t) = \sin t$ y $y(t) = \cos t$. Obtenemos:

$$ \begin{aligned} \frac{dz}{dt} &= 8x \cos t – 6y \sin t \\ &= 8(\sin t) \cos t – 6(\cos t) \sin t \\ &= 2 \sin t \cos t. \end{aligned} $$

Esta derivada también se puede calcular sustituyendo primero $x(t)$ y $y(t)$ en $f(x, y)$, y luego derivando con respecto a $t$:

$$ \begin{aligned} z &= f(x, y) \\ &= f(x(t), y(t)) \\ &= 4(x(t))^2 + 3(y(t))^2 \end{aligned} $$

Entonces

$$ \begin{aligned} \frac{dz}{dt} &= 2(4 \sin t)(\cos t) + 2(3 \cos t)(-\sin t) \\ &= 8 \sin t \cos t – 6 \sin t \cos t \\ &= 2 \sin t \cos t, \end{aligned} $$

que es la misma solución. Sin embargo, puede que no siempre sea así de fácil derivar en esta forma.

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b. Para usar la regla de la cadena, nuevamente necesitamos cuatro cantidades: $\partial z/\partial x$, $\partial z/\partial y$, $dx/dt$ y $dy/dt$:

$$ \begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x} &= \frac{x}{\sqrt{x^2 – y^2}} & \frac{\partial z}{\partial y} &= \frac{-y}{\sqrt{x^2 – y^2}} \\ \frac{dx}{dt} &= 2e^{2t} & \frac{dy}{dt} &= -e^{-t} \end{aligned} $$

Sustituimos cada una de estas en la Ecuación 11.5.1:

$$ \begin{aligned} \frac{dz}{dt} &= \frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt} \\ &= \left( \frac{x}{\sqrt{x^2 – y^2}} \right) (2e^{2t}) + \left( \frac{-y}{\sqrt{x^2 – y^2}} \right) (-e^{-t}) \\ &= \frac{2xe^{2t} + ye^{-t}}{\sqrt{x^2 – y^2}}. \end{aligned} $$

Para reducir esto a una sola variable, usamos el hecho de que $x(t) = e^{2t}$ y $y(t) = e^{-t}$. Por lo tanto,

$$ \begin{aligned} \frac{dz}{dt} &= \frac{2xe^{2t} + ye^{-t}}{\sqrt{x^2 – y^2}} \\ &= \frac{2(e^{2t})e^{2t} + (e^{-t})e^{-t}}{\sqrt{e^{4t} – e^{-2t}}} \\ &= \frac{2e^{4t} + e^{-2t}}{\sqrt{e^{4t} – e^{-2t}}}. \end{aligned} $$

Para eliminar los exponentes negativos, multiplicamos el numerador por $e^{2t}$ y el denominador por $\sqrt{e^{4t}}$:

$$ \begin{aligned} \frac{dz}{dt} &= \frac{2e^{4t} + e^{-2t}}{\sqrt{e^{4t} – e^{-2t}}} \cdot \frac{e^{2t}}{\sqrt{e^{4t}}} \\ &= \frac{2e^{6t} + 1}{\sqrt{e^{8t} – e^{2t}}} \\ &= \frac{2e^{6t} + 1}{\sqrt{e^{2t}(e^{6t} – 1)}} \\ &= \frac{2e^{6t} + 1}{e^t \sqrt{e^{6t} – 1}}. \end{aligned} $$

Nuevamente, esta derivada también se puede calcular sustituyendo primero $x(t)$ y $y(t)$ en $f(x, y)$, y luego derivando con respecto a $t$:

$$ \begin{aligned} z &= f(x, y) \\ &= f(x(t), y(t)) \\ &= \sqrt{(x(t))^2 – (y(t))^2} \\ &= \sqrt{e^{4t} – e^{-2t}} \\ &= (e^{4t} – e^{-2t})^{1/2}. \end{aligned} $$

Entonces

$$ \begin{aligned} \frac{dz}{dt} &= \frac{1}{2}(e^{4t} – e^{-2t})^{-1/2}(4e^{4t} + 2e^{-2t}) \\ &= \frac{2e^{4t} + e^{-2t}}{\sqrt{e^{4t} – e^{-2t}}}. \end{aligned} $$

Esta es la misma solución. ♦

Ejercicio de control 11.5.1

Calcule $dz/dt$ dadas las siguientes funciones. Exprese la respuesta final en términos de $t$.

$$z = f(x, y) = x^2 – 3xy + 2y^2, \quad x = x(t) = 3 \sin 2t, \quad y = y(t) = 4 \cos 2t $$ ♦

A menudo resulta útil crear una representación visual de la Ecuación 9.5.1 para la regla de la cadena. Esto se denomina un diagrama de árbol de la regla de la cadena para funciones de una variable y proporciona una manera de recordar la fórmula (Figura 9.5.1). Este diagrama puede ampliarse para funciones de más de una variable, como veremos en breve.

Figura 9.5.1 Diagrama de árbol para el caso $\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt}$.

En este diagrama, la esquina del extremo izquierdo corresponde a $z = f(x, y)$. Como $f$ tiene dos variables independientes, hay dos líneas que salen de esta esquina. La rama superior corresponde a la variable $x$ y la rama inferior corresponde a la variable $y$. Dado que cada una de estas variables depende a su vez de una variable $t$, sale una rama de $x$ y otra de $y$. Por último, cada una de las ramas en el extremo derecho tiene una etiqueta que representa la trayectoria recorrida para llegar a esa rama. A la rama superior se llega siguiendo la rama $x$ y luego la rama $t$; por lo tanto, se etiqueta como $(\partial z/\partial x) \times (dx/dt)$. La rama inferior es similar: primero la rama $y$, luego la rama $t$. Esta rama se etiqueta como $(\partial z/\partial y) \times (dy/dt)$. Para obtener la fórmula de $dz/dt$, se suman todos los términos que aparecen en el lado derecho del diagrama. Esto nos da la Ecuación 11.5.1.

En la Regla de la Cadena para Dos Variables Independientes, $z = f(x, y)$ es una función de $x$ e $y$, y tanto $x = g(u, v)$ como $y = h(u, v)$ son funciones de las variables independientes $u$ y $v$.

Teorema 11.5.2. Regla de la cadena para dos variables independientes

Suponga que $x = g(u, v)$ y $y = h(u, v)$ son funciones diferenciables de $u$ y $v$, y $z = f(x, y)$ es una función diferenciable de $x$ e $y$. Entonces, $z = f(g(u, v), h(u, v))$ es una función diferenciable de $u$ y $v$, y

$$\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} \hspace{20pt} \text{(11.5.3)} $$

y

$$\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v}. \hspace{20pt} \text{(11.5.4)} $$

♦

También podemos dibujar un diagrama de árbol para cada una de estas fórmulas, como se muestra a continuación.

Figura 9.5.2 Diagrama de árbol para $\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial u}$ y $\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial v}$.

Para derivar la fórmula de $\partial z/\partial u$, comience desde el lado izquierdo del diagrama, luego siga únicamente las ramas que terminan en $u$ y sume los términos que aparecen al final de dichas ramas. Para la fórmula de $\partial z/\partial v$, siga únicamente las ramas que terminan en $v$ y sume los términos que aparecen al final de esas ramas.

Existe una diferencia importante entre estos dos teoremas de la regla de la cadena. En la Regla de la Cadena para Una Variable Independiente, el lado izquierdo de la fórmula para la derivada no es una derivada parcial, pero en la Regla de la Cadena para Dos Variables Independientes sí lo es. La razón es que, en la Regla de la Cadena para Una Variable Independiente, $z$ es en última instancia una función únicamente de $t$, mientras que en la Regla de la Cadena para Dos Variables Independientes, $z$ es una función tanto de $u$ como de $v$.

Ejemplo ilustrativo 11.5.2. Uso de la regla de la cadena para dos variables

Calcule $\partial z/\partial u$ y $\partial z/\partial v$ utilizando las siguientes funciones:

$$z = f(x, y) = 3x^2 – 2xy + y^2, \quad x = x(u, v) = 3u + 2v, \quad y = y(u, v) = 4u – v.$$

Solución:

Para implementar la regla de la cadena para dos variables, necesitamos seis derivadas parciales: $\partial z/\partial x$, $\partial z/\partial y$, $\partial x/\partial u$, $\partial x/\partial v$, $\partial y/\partial u$ y $\partial y/\partial v$:

$$ \begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x} &= 6x – 2y & \frac{\partial z}{\partial y} &= -2x + 2y \\ \frac{\partial x}{\partial u} &= 3 & \frac{\partial x}{\partial v} &= 2 \\ \frac{\partial y}{\partial u} &= 4 & \frac{\partial y}{\partial v} &= -1. \end{aligned} $$

Para hallar $\partial z/\partial u$, utilizamos la Ecuación 11.5.3:

$$ \begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial u} &= \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} \\ &= 3(6x – 2y) + 4(-2x + 2y) \\ &= 10x + 2y. \end{aligned} $$

A continuación, sustituimos $x(u, v) = 3u + 2v$ y $y(u, v) = 4u – v$:

$$ \begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial u} &= 10x + 2y \\ &= 10(3u + 2v) + 2(4u – v) \\ &= 38u + 18v. \end{aligned} $$

Para hallar $\partial z/\partial v$, utilizamos la Ecuación 11.5.4:

$$ \begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial v} &= \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} \\ &= 2(6x – 2y) + (-1)(-2x + 2y) \\ &= 14x – 6y. \end{aligned} $$

Luego sustituimos $x(u, v) = 3u + 2v$ y $y(u, v) = 4u – v$:

$$ \begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial v} &= 14x – 6y \\ &= 14(3u + 2v) – 6(4u – v) \\ &= 18u + 34v. \end{aligned} $$

♦

Ejercicio de control 11.5.2

Calcule $\partial z/\partial u$ y $\partial z/\partial v$ dadas las siguientes funciones:

$$z = f(x, y) = \frac{2x – y}{x + 3y}, \quad x(u, v) = e^{2u} \cos 3v, \quad y(u, v) = e^{2u} \sin 3v. $$ ♦

La regla de la cadena generalizada

Ahora que hemos visto cómo extender la regla de la cadena original a funciones de dos variables, es natural preguntarse: ¿podemos extender la regla a más de dos variables? La respuesta es sí, como lo establece la regla de la cadena generalizada.

Teorema 11.5.3. Regla de la cadena generalizada

Sea $w = f(x_1, x_2, \dots, x_m)$ una función diferenciable de $m$ variables independientes, y para cada $i \in \{1, \dots, m\}$, sea $x_i = x_i(t_1, t_2, \dots, t_n)$ una función diferenciable de $n$ variables independientes. Entonces

$$\frac{\partial w}{\partial t_j} = \frac{\partial w}{\partial x_1} \frac{\partial x_1}{\partial t_j} + \frac{\partial w}{\partial x_2} \frac{\partial x_2}{\partial t_j} + \dots + \frac{\partial w}{\partial x_m} \frac{\partial x_m}{\partial t_j} \hspace{20pt} \text{(11.5.5)} $$

para cualquier $j \in \{1, 2, \dots, n\}$. ♦

En el siguiente ejemplo calculamos la derivada de una función de tres variables independientes en la que cada una de las tres variables depende de otras dos variables.

Ejemplo ilustrativo 11.5.3. Uso de la regla de la cadena generalizada

Calcule $\partial w/\partial u$ y $\partial w/\partial v$ utilizando las siguientes funciones:

$$ \begin{aligned} w &= f(x, y, z) = 3x^2 – 2xy + 4z^2 \\ x &= x(u, v) = e^u \sin v \\ y &= y(u, v) = e^u \cos v \\ z &= z(u, v) = e^u. \end{aligned} $$

Solución:

Las fórmulas para $\partial w/\partial u$ y $\partial w/\partial v$ son:

$$ \begin{aligned} \frac{\partial w}{\partial u} &= \frac{\partial w}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial w}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial u} + \frac{\partial w}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial u} \\ \frac{\partial w}{\partial v} &= \frac{\partial w}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial w}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial v} + \frac{\partial w}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial v}. \end{aligned} $$

Por lo tanto, hay nueve derivadas parciales distintas que deben calcularse y sustituirse. Necesitamos calcular cada una de ellas:

$$ \begin{aligned} \frac{\partial w}{\partial x} &= 6x – 2y & \frac{\partial w}{\partial y} &= -2x & \frac{\partial w}{\partial z} &= 8z \\ \frac{\partial x}{\partial u} &= e^u \sin v & \frac{\partial y}{\partial u} &= e^u \cos v & \frac{\partial z}{\partial u} &= e^u \\ \frac{\partial x}{\partial v} &= e^u \cos v & \frac{\partial y}{\partial v} &= -e^u \sin v & \frac{\partial z}{\partial v} &= 0. \end{aligned} $$

Ahora, sustituimos cada una de ellas en la primera fórmula para calcular $\partial w/\partial u$:

$$ \begin{aligned} \frac{\partial w}{\partial u} &= \frac{\partial w}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial w}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial u} + \frac{\partial w}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial u} \\ &= (6x – 2y) e^u \sin v – 2x e^u \cos v + 8z e^u, \end{aligned} $$

luego sustituimos $x(u, v) = e^u \sin v$, $y(u, v) = e^u \cos v$ y $z(u, v) = e^u$ en esta ecuación:

$$ \begin{aligned} \frac{\partial w}{\partial u} &= (6x – 2y) e^u \sin v – 2x e^u \cos v + 8z e^u \\ &= (6e^u \sin v – 2e^u \cos v) e^u \sin v – 2(e^u \sin v) e^u \cos v + 8e^{2u} \\ &= 6e^{2u} \sin^2 v – 4e^{2u} \sin v \cos v + 8e^{2u} \\ &= 2e^{2u} (3 \sin^2 v – 2 \sin v \cos v + 4). \end{aligned} $$

A continuación, calculamos $\partial w/\partial v$:

$$ \begin{aligned} \frac{\partial w}{\partial v} &= \frac{\partial w}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial w}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial v} + \frac{\partial w}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial v} \\ &= (6x – 2y) e^u \cos v – 2x (-e^u \sin v) + 8z(0), \end{aligned} $$

luego sustituimos $x(u, v) = e^u \sin v$, $y(u, v) = e^u \cos v$ y $z(u, v) = e^u$ en esta ecuación:

$$ \begin{aligned} \frac{\partial w}{\partial v} &= (6x – 2y) e^u \cos v – 2x (-e^u \sin v) \\ &= (6e^u \sin v – 2e^u \cos v) e^u \cos v + 2(e^u \sin v) (e^u \sin v) \\ &= 2e^{2u} \sin^2 v + 6e^{2u} \sin v \cos v – 2e^{2u} \cos^2 v \\ &= 2e^{2u} (\sin^2 v + 3 \sin v \cos v – \cos^2 v). \end{aligned} $$

♦

Ejercicio de control 11.5.3

Calcule $\partial w/\partial u$ y $\partial w/\partial v$ dadas las siguientes funciones:

$$ \begin{aligned} w &= f(x, y, z) = \frac{x + 2y – 4z}{2x – y + 3z} \\ x &= x(u, v) = e^{2u} \cos 3v \\ y &= y(u, v) = e^{2u} \sin 3v \\ z &= z(u, v) = e^{2u}. \end{aligned} $$

♦

Ejemplo ilustrativo 11.5.4. Trazado de un diagrama de árbol

Comenzando por la izquierda, la función 𝑓 tiene tres variables independientes: 𝑥,𝑦,y 𝑧. Por lo tanto, deben emanar tres ramas del primer nodo. Cada una de estas tres ramas también tiene tres ramas, para cada una de las variables 𝑡,𝑢,y 𝑣.

Las tres fórmulas generales para las derivadas de $w$ son:

$$ \begin{aligned} \frac{\partial w}{\partial t} &= \frac{\partial w}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial w}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial t} + \frac{\partial w}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial t} \\ \frac{\partial w}{\partial u} &= \frac{\partial w}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial w}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} + \frac{\partial w}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial u} \\ \frac{\partial w}{\partial v} &= \frac{\partial w}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial w}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} + \frac{\partial w}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial v} \end{aligned} $$

♦

Ejercicio de control 11.5.4

Cree un diagrama de árbol para el caso en que

$$w = f (x,y) , x = x (t,u,v) , y = y (t,u,v)$$

y escriba las fórmulas para las tres derivadas parciales de $w$. ♦

Diferenciación implícita

Recuerde de la Diferenciación Implícita que la diferenciación implícita proporciona un método para encontrar $dy/dx$ cuando $y$ se define implícitamente como una función de $x$. El método consiste en diferenciar ambos lados de la ecuación que define la función con respecto a $x$, y luego despejar $dy/dx$. Las derivadas parciales proporcionan una alternativa a este método.

Considere la elipse definida por la ecuación $x^2 + 3y^2 + 4y – 4 = 0$ de la siguiente manera.

Figura 9.5.4 Gráfica de la elipse definida por $x^2 + 3y^2 + 4y – 4 = 0$.

Esta ecuación define implícitamente a $y$ como una función de $x$. Como tal, podemos encontrar la derivada $dy/dx$ usando el método de diferenciación implícita:

$$ \begin{aligned} \frac{d}{dx} (x^2 + 3y^2 + 4y – 4) &= \frac{d}{dx} (0) \\ 2x + 6y \frac{dy}{dx} + 4 \frac{dy}{dx} &= 0 \\ (6y + 4) \frac{dy}{dx} &= -2x \\ \frac{dy}{dx} &= -\frac{x}{3y + 2} \end{aligned} $$

También podemos definir una función $z = f(x, y)$ utilizando el lado izquierdo de la ecuación que define la elipse. Entonces $f(x, y) = x^2 + 3y^2 + 4y – 4$. La elipse $x^2 + 3y^2 + 4y – 4 = 0$ puede entonces describirse mediante la ecuación $f(x, y) = 0$. El uso de esta función y el siguiente teorema nos proporciona un enfoque alternativo para calcular $dy/dx$.

Teorema 11.5.4. Diferenciación implícita de una función de dos o más variables

Suponga que la función $z = f(x, y)$ define a $y$ implícitamente como una función $y = g(x)$ de $x$ a través de la ecuación $f(x, y) = 0$. Entonces

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{\partial f / \partial x}{\partial f / \partial y} \hspace{20pt} \text{(11.5.6)} $$

siempre que $f_y(x, y) \neq 0$.

Si la ecuación $f(x, y, z) = 0$ define a $z$ implícitamente como una función diferenciable de $x$ e $y$, entonces

$$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{\partial f / \partial x}{\partial f / \partial z} \quad \text{y} \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{\partial f / \partial y}{\partial f / \partial z} \hspace{20pt} \text{(11.5.7)} $$

siempre que $f_z(x, y, z) \neq 0$. ♦

La Ecuación 11.5.6 es una consecuencia directa de la Ecuación 11.5.3. En particular, si asumimos que $y$ está definida implícitamente como una función de $x$ a través de la ecuación $f(x, y) = 0$, podemos aplicar la regla de la cadena para encontrar $dy/dx$:

$$ \begin{aligned} \frac{d}{dx} f(x, y) &= \frac{d}{dx} (0) \\ \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dx} + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} &= 0 \\ \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} &= 0 \end{aligned} $$

Al resolver esta ecuación para $dy/dx$ se obtiene la Ecuación 11.5.6. La Ecuación 11.5.7 puede derivarse de manera similar.

Regresemos ahora al problema que comenzamos antes del teorema anterior. Usando la Diferenciación Implícita de una Función de Dos o Más Variables y la función $f(x, y) = x^2 + 3y^2 + 4y – 4$, obtenemos:

$$ \begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x} &= 2x \\ \frac{\partial f}{\partial y} &= 6y + 4 \end{aligned} $$

Entonces, la Ecuación 11.5.6 da:

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{\partial f / \partial x}{\partial f / \partial y} = -\frac{2x}{6y + 4} = -\frac{x}{3y + 2}$$

que es el mismo resultado obtenido mediante el uso anterior de la diferenciación implícita.

Ejemplo ilustrativo 11.5.5. Diferenciación implícita mediante derivadas parciales

1. Calcule $dy/dx$ si $y$ está definida implícitamente como una función de $x$ a través de la ecuación $3x^2 – 2xy + y^2 + 4x – 6y – 11 = 0$. ¿Cuál es la ecuación de la recta tangente a la gráfica de esta curva en el punto $(2, 1)$?
2. Calcule $\partial z/\partial x$ y $\partial z/\partial y$, dado que $x^2e^y – yze^x = 0$.

Solución:

a. Defina $f(x, y) = 3x^2 – 2xy + y^2 + 4x – 6y – 11 = 0$, luego calcule $f_x$ y $f_y$:
$f_x = 6x – 2y + 4$
$f_y = -2x + 2y – 6$

La derivada está dada por

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{\partial f / \partial x}{\partial f / \partial y} = -\frac{6x – 2y + 4}{-2x + 2y – 6} = \frac{3x – y + 2}{x – y + 3}$$

La pendiente de la recta tangente en el punto $(2, 1)$ está dada por

$$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{(x,y)=(2,1)} = \frac{3(2) – 1 + 2}{2 – 1 + 3} = \frac{7}{4}$$

Para encontrar la ecuación de la recta tangente, utilizamos la forma punto-pendiente:

$$ \begin{aligned} y – y_0 &= m(x – x_0) \\ y – 1 &= \frac{7}{4}(x – 2) \\ y &= \frac{7}{4}x – \frac{7}{2} + 1 \\ y &= \frac{7}{4}x – \frac{5}{2} \end{aligned} $$

Figura 11.5.5 Gráfica de la elipse rotada definida por $3x^2 – 2xy + y^2 + 4x – 6y – 11 = 0$.

b. Tenemos $f(x, y, z) = x^2e^y – yze^x$. Por lo tanto,

$$ \begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x} &= 2xe^y – yze^x \\ \frac{\partial f}{\partial y} &= x^2e^y – ze^x \\ \frac{\partial f}{\partial z} &= -ye^x \end{aligned} $$

Usando la Ecuación 11.5.7,

$$ \begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x} &= -\frac{\partial f / \partial x}{\partial f / \partial z} & \text{y} & \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{\partial f / \partial y}{\partial f / \partial z} \\ &= -\frac{2xe^y – yze^x}{-ye^x} & & \quad = -\frac{x^2e^y – ze^x}{-ye^x} \\ &= \frac{2xe^y – yze^x}{ye^x} & & \quad = \frac{x^2e^y – ze^x}{ye^x} \end{aligned} $$

♦

Ejercicio de control 11.5.5

Encuentre $dy/dx$ si $y$ está definida implícitamente como una función de $x$ mediante la ecuación $x^2 + xy – y^2 + 7x – 3y – 26 = 0$. ¿Cuál es la ecuación de la recta tangente a la gráfica de esta curva en el punto $(3, -2)$? ♦