| 11. Diferenciación de funciones de varias variables | 11.5 La regla de la cadena |
Ejercicios propuestos para el Capítulo 11.5
Para los siguientes ejercicios, utilice la información proporcionada para resolver el problema.
215. Sea $w(x, y, z) = xy \cos z$, donde $x = t, y = t^2,$ y $z = \arcsin t$. Encuentre $\frac{dw}{dt}$.
216. Sea $w(t, v) = e^{tv}$ donde $t = r + s$ y $v = rs$. Encuentre $\frac{\partial w}{\partial r}$ y $\frac{\partial w}{\partial s}$.
217. Si $w = 5x^2 + 2y^2, x = -3s + t,$ y $y = s – 4t$, encuentre $\frac{\partial w}{\partial s}$ y $\frac{\partial w}{\partial t}$.
218. Si $w = xy^2, x = 5 \cos(2t),$ y $y = 5 \sin(2t)$, encuentre $\frac{dw}{dt}$.
219. Si $f(x, y) = xy, x = r \cos \theta,$ y $y = r \sin \theta$, encuentre $\frac{\partial f}{\partial r}$ y exprese la respuesta en términos de $r$ y $\theta$.
220. Suponga $f(x, y) = x + y$, donde $x = r \cos \theta$ y $y = r \sin \theta$. Encuentre $\frac{\partial f}{\partial \theta}$.
Para los siguientes ejercicios, encuentre $\frac{df}{dt}$ usando la regla de la cadena y por sustitución directa.
221. $f(x, y) = x^2 + y^2, \quad x = t, \quad y = t^2$
222. $f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad y = t^2, \quad x = t$
223. $f(x, y) = xy, \quad x = 1 – \sqrt{t}, \quad y = 1 + \sqrt{t}$
224. $f(x, y) = \frac{x}{y}, \quad x = e^t, \quad y = 2e^t$
225. $f(x, y) = \ln(x + y), \quad x = e^t, \quad y = e^t$
226. $f(x, y) = x^4, \quad x = t, \quad y = t$
227. Sea $w(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2, \quad x = \cos t, \quad y = \sin t, \text{ y } z = e^t$. Exprese $w$ como una función de $t$ y encuentre $\frac{dw}{dt}$ directamente. Luego, encuentre $\frac{dw}{dt}$ usando la regla de la cadena.
228. Sea $z = x^2y$, donde $x = t^2$ y $y = t^3$. Encuentre $\frac{dz}{dt}$.
229. Sea $u = e^x \sin y$, donde $x = -\ln 2t$ y $y = \pi t$. Encuentre $\frac{du}{dt}$ cuando $x = \ln 2$ y $y = \frac{\pi}{4}$.
Para los siguientes ejercicios, encuentre $\frac{dy}{dx}$ usando derivadas parciales.
230. $\sin(6x) + \tan(8y) + 5 = 0$
231. $x^3 + y^2x – 3 = 0$
232. $\sin(x + y) + \cos(x – y) = 4$
233. $x^2 – 2xy + y^4 = 4$
234. $xe^y + ye^x – 2x^2y = 0$
235. $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$
236. $x \cos(xy) + y \cos x = 2$
237. $e^{xy} + ye^y = 1$
238. $x^2y^3 + \cos y = 0$
239. Encuentre $\frac{dz}{dt}$ usando la regla de la cadena donde $z = 3x^2y^3, x = t^4, \text{ y } y = t^2$.
240. Sea $z = 3 \cos x – \sin(xy), x = \frac{1}{t}, \text{ y } y = 3t$. Encuentre $\frac{dz}{dt}$.
241. Sea $z = e^{1-xy}, x = t^{1/3}, \text{ y } y = t^3$. Encuentre $\frac{dz}{dt}$.
242. Encuentre $\frac{dz}{dt}$ por la regla de la cadena donde $z = \cosh^2(xy), x = \frac{1}{2}t, \text{ y } y = e^t$.
243. Sea $z = \frac{x}{y}, x = 2 \cos u, \text{ y } y = 3 \sin v$. Encuentre $\frac{\partial z}{\partial u}$ y $\frac{\partial z}{\partial v}$.
244. Sea $z = e^{x^2y}$, donde $x = \sqrt{uv}$ y $y = \frac{1}{v}$. Encuentre $\frac{\partial z}{\partial u}$ y $\frac{\partial z}{\partial v}$.
245. Si $z = xye^{x/y}, x = r \cos \theta, \text{ y } y = r \sin \theta$, encuentre $\frac{\partial z}{\partial r}$ y $\frac{\partial z}{\partial \theta}$ cuando $r = 2$ y $\theta = \frac{\pi}{6}$.
246. Encuentre $\frac{\partial w}{\partial s}$ si $w = 4x + y^2 + z^3, x = e^{rs^2}, y = \ln\left(\frac{r+s}{t}\right), \text{ y } z = rst^2$.
247. Si $w = \sin(xyz), x = 1 – 3t, y = e^{1-t}, \text{ y } z = 4t$, encuentre $\frac{\partial w}{\partial t}$.
Para los siguientes ejercicios, utilice esta información: Se dice que una función $f(x, y)$ es homogénea de grado $n$ si $f(tx, ty) = t^n f(x, y)$. Para todas las funciones homogéneas de grado $n$, la siguiente ecuación es verdadera: $x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} = nf(x, y)$. Demuestre que la función dada es homogénea y verifique que $x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} = nf(x, y)$.
248. $f(x, y) = 3x^2 + y^2$
249. $f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}$
250. $f(x, y) = x^2y – 2y^3$
251. El volumen de un cilindro circular recto está dado por $V(x, y) = \pi x^2y$, donde $x$ es el radio del cilindro e $y$ es la altura del cilindro. Suponga que $x$ e $y$ son funciones de $t$ dadas por $x = \frac{1}{2}t$ e $y = \frac{1}{3}t$ de modo que tanto $x$ como $y$ aumentan con el tiempo. ¿Qué tan rápido aumenta el volumen cuando $x = 2$ e $y = \frac{4}{3}$?
252. La presión $P$ de un gas está relacionada con el volumen y la temperatura por la fórmula $PV = kT$, donde la temperatura se expresa en kelvins. Exprese la presión del gas como una función tanto de $V$ como de $T$. Encuentre $\frac{dP}{dt}$ cuando $k = 1, \frac{dV}{dt} = 2 \text{ cm}^3/\text{min}, \frac{dT}{dt} = \frac{1}{2} \text{ K/min}, V = 20 \text{ cm}^3, \text{ y } T = 20^\circ\text{F}$.
253. El radio de un cono circular recto aumenta a $3 \text{ cm/min}$ mientras que la altura del cono disminuye a $2 \text{ cm/min}$. Encuentre la tasa de cambio del volumen del cono cuando el radio es $13 \text{ cm}$ y la altura es $18 \text{ cm}$.
254. El volumen de un tronco de cono está dado por la fórmula $V = \frac{1}{3} \pi z (x^2 + y^2 + xy)$, donde $x$ es el radio del círculo menor, $y$ es el radio del círculo mayor, y $z$ es la altura del tronco (ver figura). Encuentre la tasa de cambio del volumen de este tronco cuando $x = 10 \text{ pulg}, y = 12 \text{ pulg}, \text{ y } z = 18 \text{ pulg}$ si $\frac{dz}{dt} = -5, \frac{dx}{dt} = 1, \frac{dy}{dt} = 1$ (todo en $\text{pulg/min}$).
255. Una caja cerrada tiene la forma de un sólido rectangular con dimensiones $x, y, \text{ y } z$. (Las dimensiones están en pulgadas). Suponga que cada dimensión está cambiando a una tasa de $0.5 \text{ pulg/min}$. Encuentre la tasa de cambio del área superficial total de la caja cuando $x = 2 \text{ pulg}, y = 3 \text{ pulg}, \text{ y } z = 1 \text{ pulg}$.
256. La resistencia total en un circuito que tiene tres resistencias individuales representadas por $x, y, \text{ y } z$ está dada por la fórmula $R(x, y, z) = \frac{xyz}{yz + xz + xy}$. Suponga que en un momento dado la resistencia $x$ es $100 \Omega$, la resistencia $y$ es $200 \Omega$, y la resistencia $z$ es $300 \Omega$. Además, suponga que la resistencia $x$ está cambiando a una tasa de $2 \Omega/\text{min}$, la resistencia $y$ está cambiando a una tasa de $1 \Omega/\text{min}$, y la resistencia $z$ no tiene cambios. Encuentre la tasa de cambio de la resistencia total en este circuito en este momento.
257. La temperatura $T$ en un punto $(x, y)$ es $T(x, y)$ y se mide usando la escala Celsius. Una mosca se desplaza de modo que su posición después de $t$ segundos está dada por $x = \sqrt{1 + t}$ y $y = 2 + \frac{1}{3}t$, donde $x$ e $y$ se miden en centímetros. La función de temperatura satisface $T_x(2, 3) = 4$ y $T_y(2, 3) = 3$. ¿Qué tan rápido está aumentando la temperatura en la trayectoria de la mosca después de 3 segundos?
258. Las componentes $x$ e $y$ de un fluido moviéndose en dos dimensiones están dadas por las siguientes funciones: $u(x, y) = 2y$ y $v(x, y) = -2x$; $x \geq 0; y \geq 0$. La rapidez del fluido en el punto $(x, y)$ es $s(x, y) = \sqrt{u(x, y)^2 + v(x, y)^2}$. Encuentre $\frac{\partial s}{\partial x}$ y $\frac{\partial s}{\partial y}$ usando la regla de la cadena.
259. Sea $u = u(x, y, z)$, donde $x = x(w, t), y = y(w, t), z = z(w, t), w = w(r, s), \text{ y } t = t(r, s)$. Use un diagrama de árbol y la regla de la cadena para encontrar una expresión para $\frac{\partial u}{\partial r}$.