Álgebra lineal con aplicaciones

| 1. Sistema de ecuaciones lineales | Ejercicios propuestos para el Capítulo 1.4 |

1.4  Una aplicación para el flujo de red

      Hay muchos tipos de problemas que afectan a una red de conductores a lo largo de la cual se observa algún tipo de flujo. Ejemplos de estos incluyen una red de riego y una red de calles o autopistas. A menudo, hay puntos en el sistema en los que un flujo neto entra o sale del sistema. El principio básico detrás del análisis de tales sistemas es que el flujo total hacia el sistema debe ser igual al flujo total hacia afuera. De hecho, aplicamos este principio en todas las uniones del sistema.

Regla de cruce

En cada una de las uniones de la red, el flujo total hacia esa unión debe ser igual al flujo total hacia afuera. ◊

Este requisito da una ecuación lineal que relaciona los flujos en los conductores que emanan de la unión.

Ejemplo ilustrativo 1.4.1

En el diagrama adjunto se muestra una red de calles de un solo sentido. La tasa de flujo de automóviles hacia la intersección A es de 500 automóviles por hora, y de B y C salen 400 y 100 automóviles por hora, respectivamente. Encuentra los posibles flujos a lo largo de cada calle.

De lo anterior se deducen las siguientes ecuaciones lineales en las seis variables f₁, f₂, …, f₆.

La reducción de la matriz aumentada es

Por lo tanto, cuando usamos f₄ f₅ y f₆ como parámetros, la solución general es

Esto da todas las soluciones al sistema de ecuaciones y, por tanto, todos los flujos posibles.

Por supuesto, no todas estas soluciones pueden ser aceptables en la situación real. Por ejemplo, los flujos f₁, f₂, …, f₆ son todos positivos en el contexto actual (si uno sale negativo, significaría que el tráfico fluye en la dirección opuesta). Esto impone restricciones a los flujos: f₁ ≥ 0 y f₃ ≥ 0 se convierten en

Se podrían imponer más restricciones insistiendo en valores máximos en el flujo en cada calle.