| 9. Ecuaciones diferenciales | 9.9. Ecuaciones lineales de orden superior | 9.9.2 Ecuaciones homogéneas de coeficientes constantes de orden superior |

Ejercicios propuestos para la sección 9.9.2

      En los ejercicios 1 a 14 encuentre la solución general.

        En los ejercicios 15 a 27, resuelva el problema del valor inicial. Donde lo indique C/G, grafique la solución.

28. Encuentre un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación dada y verifique que sea un conjunto fundamental evaluando su Wronskiano en x = 0.

      En los ejercicios 29 a 38 encuentre un conjunto fundamental de soluciones.

39. Se puede demostrar que

       (A)

donde el lado izquierdo es el determinante de Vandermonde y el lado derecho es el producto de todos los factores de la forma (aj − ai) con i y j entre 1 y n e i < j.

(a) Verifique (A) para n = 2 y n = 3.
(b) Encuentre el wronskiano de {e^a₁x, e^a₂x, . . .,e^a_nx}.

40. Un teorema del álgebra dice que si P₁ y P₂ son polinomios sin factores comunes, entonces existen polinomios Q₁ y Q₂ tales que

Q₁P₁ + Q₂P₂ = 1.

Esto implica que

Q₁(D)P₁(D)y + Q₂(D)P₂(D)y = y

para cada función y con suficientes derivadas para que se defina el lado izquierdo.

(a) Utilice esto para demostrar que si P₁ y P₂ no tienen factores comunes y

P₁(D)y = P₂(D)y = 0

entonces y = 0.

(b) Suponga que P₁ y P₂ son polinomios sin factores comunes. Sean u₁, . . . , u_r soluciones linealmente independientes de P₁(D)y = 0 y sean v₁, . . . , v_s soluciones linealmente independientes de P₂(D)y = 0. Utilice (a) para demostrar que {u₁, . . ., u_r, v₁, . . ., v_s} es un conjunto linealmente independiente.

(c) Suponga el polinomio característico de la ecuación de coeficientes constantes

a₀y⁽ⁿ⁾ + a₁y^{(n − 1)} + · · · + a_ny = 0         (A)

tiene la factorización

p(r) = a₀p₁(r)p₂(r) · · · p_k(r),

donde cada p_j es de la forma

y no hay dos de los polinomios p₁, p₂, . . . , p_k que tengan un factor común. Demuestre que podemos encontrar un conjunto fundamental de soluciones {y₁, y₂, . . ., y_n} de (A) encontrando un conjunto fundamental de soluciones de cada una de las ecuaciones

p_j(D)y = 0,   1 ≤ j ≤ k,

y tomando {y₁, y₂, . . ., y_n} como el conjunto de todas las funciones en estos conjuntos fundamentales separados.

41. (a) Demuestre que si

z = p(x) cosωx + q(x) senωx,         (A)

donde p y q son polinomios de grado ≤ k, entonces

(D² + ω²)z = p₁(x) cosωx + q₁(x) senωx,

donde p₁ y q₁ son polinomios de grado ≤ k − 1.

(b) Aplique (a) m veces para demostrar que si z es de la forma (A) donde p y q son polinomios de grado ≤ m − 1, entonces

(D² + ω²)^mz = 0.         (B)

(c) Utilice la ecuación. (9.9.2.17) para demostrar que si y = e^λxz entonces

[(D − λ)² + ω²]^my = e^λx(D² + ω²)^mz.

(d) Concluya de (b) y (c) que si p y q son polinomios arbitrarios de grado ≤ m − 1 entonces

y = e^λx(p(x) cosωx + q(x) senωx)

es una solución de

[(D − λ)² + ω²]^my = 0.         (C)

(e) Concluir de (d) que las funciones

         (D)

son todas soluciones de (C).

(f) Complete la demostración del teorema 9.9.2.2 demostrando que las funciones en (D) son linealmente independientes.

42. (a) Utilice las identidades trigonométricas

para mostrar que

(cosA + isenA)(cosB + isenB) = cos(A + B) + isen(A + B).

(b) Aplique (a) repetidamente para demostrar que si n es un entero positivo entonces

(c) Inferir de (b) que si n es un número entero positivo entonces

(cosθ + isenθ)ⁿ = cosnθ + isennθ.         (A)

(d) Demuestre que (A) también se cumple si n = 0 o un entero negativo. SUGERENCIA: Verifique mediante cálculo directo que

(cosθ + isenθ)⁻¹ = (cos θ − isenθ).

Luego reemplace θ por −θ en (A).

(e) Supongamos ahora que n es un número entero positivo. Infiera de (A) que si

y

entonces

  y 

(¿Por qué no consideramos también otros valores enteros para k?)

(f) Sea ρ un número positivo. Utilice (e) para demostrar que

y

43. Utilice (e) del ejercicio 42 para encontrar un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación dada.

44. Una ecuación de la forma

a₀xⁿy⁽ⁿ⁾ + a₁x^{n − 1}y^{(n − 1)} + · · · + a_{n − 1}xy′ + a_ny = 0,  x > 0,        (A)

donde a₀, a₁, . . . , a_n son constantes, se denomina una ecuación de Euler o equidimensional.

Demuestre que si

x = e^t   y   Y(t) = y(x(t)),         (B)

entonces

En general, se puede demostrar que si r es cualquier número entero ≥ 2 entonces

donde A_1r, . . . , A_{r − 1, r} son números enteros. Utilice estos resultados para demostrar que la sustitución (B) transforma (A) en una ecuación de coeficientes constantes para Y en función de t.

45. Utilice el ejercicio 44 para demostrar que una función y = y(x) satisface la ecuación

a₀x³y′′′ + a₁x²y′′ + a₂xy′ + a₃y = 0,          (A)

en (0, ∞) si y sólo si la función Y(t) = y(e^t) satisface

Suponiendo que a₀, a₁, a₂, a₃ son reales y a₀ ≠ 0, encuentre las formas posibles para la solución general de (A).