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9.7.7 El método de Frobenius III
En las Secciones 9.7.5 y 9.7.6 discutimos métodos para encontrar soluciones de Frobenius de una ecuación lineal homogénea de segundo orden cerca de un punto singular regular en el caso donde la ecuación indicial tiene una raíz repetida o raíces reales distintas que no difieren en un entero. En esta sección consideramos el caso donde la ecuación indicial tiene raíces reales distintas que difieren en un número entero. Limitaremos nuestra discusión a las ecuaciones que se pueden escribir como
x2(α0 + α1x)y′′ + x(β0 + β1x)y′ + (γ0 + γ1x)y = 0 (9.7.7.1)
o
x2(α0 + α2x2)y′′ + x(β0 + β2x2)y′ + (γ0 + γ2x2)y = 0,
donde las raíces de la ecuación indicial difieren en un entero positivo.
Comenzamos con un teorema que proporciona un conjunto fundamental de soluciones de ecuaciones de la forma (9.7.7.1).
Teorema 9.7.7.1
Sea
Ly = x2(α0 + α1x)y′′ + x(β0 + β1x)y′ + (γ0 + γ1x)y,
donde α0 ≠ 0, y definir
p0(r) = α0r(r − 1) + β0r + γ0,
p1(r) = α1r(r − 1) + β1r + γ1.
Suponga que r es un número real tal que p0(n + r) es distinto de cero para todos los enteros positivos n, y defina
Sean r1 y r2 las raíces de la ecuación indicial p0(r) = 0, y supongamos que r1 = r2 + k, donde k es un entero positivo. Entonces
es una solución de Frobenius de Ly = 0. Además, si definimos
y
entonces
es también una solución de Ly = 0, y {y1, y2} es un conjunto fundamental de soluciones. ♦
Prueba:
El Teorema 9.7.5.3 implica que Ly1 = 0. Ahora mostraremos que Ly2 = 0. Dado que L es un operador lineal, esto equivale a demostrar que
Para verificar esto, mostraremos que
y
Esto implicará que Ly2 = 0, ya que sustituyendo (9.7.7.7) y (9.7.7.8) en (7.7.6) y usando (9.7.7.4) se obtiene
Probaremos (9.7.7.8) primero. Del Teorema 9.7.6.1,
Al establecer r = r1 y recordar que p0(r1) = 0 y y1 = y(x, r1) se obtiene
Dado que r1 y r2 son las raíces de la ecuación indicial, el polinomio indicial se puede escribir como
Diferenciando esto se obtiene
p′0(r) = α0(2r − r1 − r2).
Por lo tanto p′0(r1) = α0(r1 − r2) = kα0, entonces (9.7.7.9) implica (9.7.7.8).
Antes de probar (9.7.7.7), notamos primero que an(r2) está bien definida por (9.7.7.3) para 1 ≤ n ≤ k − 1, ya que p0(n + r2) ≠ 0 para estos valores de n. Sin embargo, no podemos definir an(r2) para n ≥ k con (9.7.7.3), ya que p0(k + r2) = p0(r1) = 0. Por conveniencia, definimos an(r2) = 0 para n ≥ k. Entonces, del Teorema 9.7.5.1
donde b0 = p0(r2) = 0 y
bn = p0(n + r2)an(r2) + p1(n + r2 − 1)an − 1(r2), n ≥ 1.
Si 1 ≤ n ≤ k − 1, entonces (9.7.7.3) implica que bn = 0. Si n ≥ k + 1, entonces bn = 0 porque an − 1(r2) = an(r2) = 0. Por lo tanto (9.7 .7.10) se reduce a
Como ak(r2) = 0 y k + r2 = r1, esto implica (9.7.7.7).
Dejamos como ejercicio la demostración de que {y1, y2} es un conjunto fundamental (Ejercicio 41). ♦
Ejemplo ilustrativo 9.7.7.1
Encuentre un conjunto fundamental de soluciones de Frobenius de
2x2(2 + x)y′′ − x(4 − 7x)y′ − (5 − 3x)y = 0
Dé fórmulas explícitas para los coeficientes en las soluciones.
Solución:
Para la ecuación dada, los polinomios definidos en el Teorema 9.7.7.1 son
Las raíces de la ecuación indicial son r1 = 5/2 y r2 = −1/2, entonces k = r1 − r2 = 3. Por lo tanto, el Teorema 9.7.7.1 implica que
y
(con C como en (9.7.7.4)) forman un conjunto fundamental de soluciones de Ly = 0. La fórmula de recurrencia (9.7.7.2) es
lo que implica que
Por lo tanto
Sustituyendo esto en (9.7.7.11) se obtiene
Para calcular los coeficientes a0(−1/2), a1(−1/2) y a2(−1/2) en y2, establecemos r = −1/2 en (9.7.7.13) y aplicamos la fórmula de recurrencia resultante para n = 1, 2; de este modo,
La última fórmula da como resultado
a1(−1/2) = 1/8 y a2(−1/2) = 3/32.
Sustituyendo r1 = 5/2, r2 = −1/2, k = 3 y α0 = 4 en (9.7.7.4) se obtiene C = −15/128. Por lo tanto, de (9.7.7.12),
Usamos diferenciación logarítmica para obtener a′n(r). De (9.7.7.14),
Por lo tanto
Derivando con respecto a r, se obtiene
Por lo tanto
Estableciendo r = 5/2 aquí y recordando (9.7.7.15) se obtiene
Ya que
Podemos reescribir (9.7.7.17) como
Si C = 0 en (9.7.7.4), no hay necesidad de calcular
en la fórmula (9.7.7.5) para y2. Por lo tanto, es mejor calcular C antes de calcular
Ejemplo ilustrativo 9.7.7.2
Encuentre un conjunto fundamental de soluciones de Frobenius de
x2(1 − 2x)y′′ + x(8 − 9x)y′ + (6 − 3x)y = 0.
Dé fórmulas explícitas para los coeficientes en las soluciones.
Soluciones:
Para la ecuación dada, los polinomios definidos en el Teorema 9.7.7.1 son
Las raíces de la ecuación indicial son r1 = −1 y r2 = −6, entonces k = r1 − r2 = 5. Por lo tanto, el teorema 9.7.7.1 implica que
y
(con C como en (9.7.7.4)) forman un conjunto fundamental de soluciones de Ly = 0. La fórmula de recurrencia (9.7.7.2) es
lo que implica que
ya que
debido a cancelaciones, (9.7.7.21) se simplifica a
Por lo tanto
Sustituyendo esto en (9.7.7.18) se obtiene
Para calcular los coeficientes a0(−6), . . ., a4(−6) en y2, establecemos r = −6 en (9.7.7.20) y aplicamos la fórmula de recurrencia resultante para n = 1, 2, 3, 4; de este modo,
La última fórmula da como resultado
Como a4(−6) = 0, (9.7.7.4) implica que la constante C en (9.7.7.19) es cero. Por lo tanto (9.7.7.19) se reduce a
Consideremos ahora ecuaciones de la forma
x2(α0 + α2x2)y′′ + x(β0 + β2x2)y′ + (γ0 + γ2x2)y = 0,
donde las raíces de la ecuación indicial son reales y difieren en un número entero par. El caso en que las raíces son reales y difieren en un número entero impar puede manejarse con el método que se analiza en .
La demostración del siguiente teorema es similar a la demostración del Teorema 9.7.7.1 (Ejercicio 43).
Teorema 9.7.7.2
Sea
donde α0 ≠ 0, y definamos
Supongamos que r es un número real tal que p0(2m + r) es distinto de cero para todos los enteros positivos m, y definamos
Sean r1 y r2 las raíces de la ecuación indicial p0(r) = 0, y supongamos que r1 = r2 + 2k, donde k es un entero positivo. Entonces
es una solución de Frobenius de Ly = 0. Además, si definimos
y
entonces
es también una solución de Ly = 0, y {y1, y2} es un conjunto fundamental de soluciones. ♦
Ejemplo ilustrativo 9.7.7.3
Encuentre un conjunto fundamental de soluciones de Frobenius de
x2(1 + x2)y′′ + x(3 + 10x2)y′ − (15 − 14x2)y = 0.
Dé fórmulas explícitas para los coeficientes en las soluciones.
Solución:
Para la ecuación dada, los polinomios definidos en el Teorema 9.7.7.2 son
p0(r) = r(r − 1) + 3r − 15 = (r − 3)(r + 5)
p2(r) = r(r − 1) + 10r + 14 = (r + 2)(r + 7).
Las raíces de la ecuación indicial son r1 = 3 y r2 = −5, entonces k = (r1 − r2)/2 = 4. Por lo tanto, el Teorema 9.7.7.2 implica que
y
(con C como en (9.7.7.23)) forman un conjunto fundamental de soluciones de Ly = 0. La fórmula de recurrencia (9.7.7.22) es
lo que implica que
Por lo tanto
Sustituyendo esto en (9.7.7.25) se obtiene
Para calcular los coeficientes a2(−5), a4(−5) y a6(−5) en y2, establecemos r = −5 en (9.7.7.26) y aplicamos la fórmula de recurrencia resultante para m = 1, 2, 3; de este modo,
Esto produce
Sustituyendo r1 = 3, r2 = −5, k = 4 y α0 = 1 en (9.7.7.23) se obtiene C = −3/16. Por lo tanto, de (9.7.7.24),
Para obtener a′2m(r) usamos diferenciación logarítmica. De (9.7.7.27),
Por lo tanto
Derivando con respecto a r, se obtiene
Por lo tanto
Poniendo r = 3 aquí y recordando (9.7.7.28) se obtiene
dado que
Podemos reescribir (9.7.7.30) como
Sustituyendo esto en (9.7.7.29) se obtiene
Ejemplo ilustrativo 9.7.7.4
Encuentre un conjunto fundamental de soluciones de Frobenius de
x2(1 − 2x2)y′′ + x(7 − 13x2)y′ − 14x2y = 0.
Dé fórmulas explícitas para los coeficientes en las soluciones.
Solución:
Para la ecuación dada, los polinomios definidos en el Teorema 9.7.7.2 son
Las raíces de la ecuación indicial son r1 = 0 y r2 = −6, entonces k = (r1 − r2)/2 = 3. Por lo tanto, el Teorema 9.7.7.2 implica que
y
con C como en (9.7.7.23)) forman un conjunto fundamental de soluciones de Ly = 0. Las fórmulas de recurrencia (9.7.7.22) son
lo que implica que
Establecer r = 0 produce
Sustituyendo esto en (9.7.7.31) se obtiene
Para calcular los coeficientes a0(−6), a2(−6) y a4(−6) en y2, establecemos r = −6 en (7.7.33) y aplicamos la fórmula de recurrencia resultante para m = 1, 2; de este modo,
La última fórmula da como resultado
Como p2(−2) = 0, la constante C en (9.7.7.23) es cero. Por lo tanto (9.7.7.32) se reduce a