| 7.9 Series de Taylor y de Maclaurin |

Ejercicios propuestos para el Capítulo 7.9

        En los siguientes ejercicios, encuentra los polinomios de Taylor de grado dos que aproximan la función dada centrada en el punto dado:

117. \(f(x) = 1 + x + x^2\) en \(a = -1\)
118. \(f(x) = \cos(2x)\) en \(a = \pi\)
119. \(f(x) = \sin(2x)\) en \(a = \frac{\pi}{2}\)
120. \(f(x) = \sqrt{x}\) en \(a = 4\)
121. \(f(x) = \ln x\) en \(a = 1\)
122. \(f(x) = \frac{1}{x}\) en \(a = 1\)
123. \(f(x) = e^x\) en \(a = 1\)

En los siguientes ejercicios, verifique que la elección dada de n en la estimación del residuo \(\vert R_{n}\vert\le\frac{M}{(n+1)!}(x-a)^{n+1},\) donde M es el valor máximo de \(|f^{(n+1)}(z)|\) en el intervalo entre a y el punto indicado, resulta en \(\vert R_{n}\vert\le\frac{1}{1000}.\) Encuentre el valor del polinomio de Taylor p_n de f en el punto indicado. Si \(|R_{n}|\) no es menor que 1/1000, determine cuál es:

124. [T] \(\sqrt{10}\); \(a=9, n=3\)
125. [T] \((28)^{1/3}\); \(a=27, n=1\)
126. [T] \(\sin(6)\); \(a=2\pi, n=5\)
127. [T] \(e^2\); \(a=0, n=9\)
128. [T] \(\cos(\frac{\pi}{5})\); \(a=0, n=4\)
129. [T] \(\ln(2)\); \(a=1, n=1000\)
130. Integre la aproximación \(\sin t \approx t – \frac{t^3}{6} + \frac{t^5}{120} – \frac{t^7}{5040}\) evaluada en \(\pi t\) para aproximar \(\int_{0}^{1} \frac{\sin \pi t}{\pi t} dt.\)
131. Integre la aproximación \(e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2} + \cdots + \frac{x^6}{720}\) evaluada en \(-x^2\) para aproximar \(\int_{0}^{1} e^{-x^2} dx.\)

En los siguientes ejercicios, encuentre el valor más pequeño de n tal que la estimación del residuo \(|R_{n}|\le\frac{M}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\), donde M es el valor máximo de \(|f^{(n+1)}(z)|\) en el intervalo entre a y el punto indicado, resulta en \(|R_{n}|\le\frac{1}{1000}\) en el intervalo indicado:

132. \(f(x) = \sin x\) en \([-\pi,\pi], a=0\)
133. \(f(x) = \cos x\) en \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}], a=0\)
134. \(f(x) = e^{-2x}\) en \([-1,1], a = 0\)
135. \(f(x) = e^{-x}\) en \([-3,3], a = 0\)

En los siguientes ejercicios, el máximo del lado derecho de la estimación del residuo \(|R_{1}|\le\frac{\text{max}|f^{\prime\prime}(z)|}{2}R^{2}\) en \([a-R, a+R]\) ocurre en \(a\) o en \(a\pm R\). Estime el valor máximo de \(R\) tal que \(\frac{\text{max}|f^{\prime\prime}(z)|}{2}R^{2}\le 0.1\) en \([a-R, a+R]\) graficando este máximo como una función de \(R\):

136. [T] \(e^x\) aproximada por \(1+x\), \(a=0\)
137. [T] \(\sin x\) aproximada por \(x\), \(a=0\)
138. [T] \(\ln x\) aproximada por \(x-1\), \(a=1\)
139. [T] \(\cos x\) aproximada por \(1\), \(a=0\)

En los siguientes ejercicios, encuentre la serie de Taylor de la función dada centrada en el punto indicado:

140. \(x^{4}\) en \(a=-1\)
141. \(1+x+x^{2}+x^{3}\) en \(a=-1\)
142. \(\sin x\) en \(a=\pi\)
143. \(\cos x\) en \(a=2\pi\)
144. \(\sin x\) en \(x=\frac{\pi}{2}\)
145. \(\cos x\) en \(x=\frac{\pi}{2}\)
146. \(e^{x}\) en \(a=-1\)
147. \(e^{x}\) en \(a=1\)
148. \(\frac{1}{(x-1)^{2}}\) en \(a=0\) (Pista: Derive \(\frac{1}{1-x}\).)
149. \(\frac{1}{(x-1)^{3}}\) en \(a=0\)
150. \(F(x)=\int_{0}^{x}\cos(\sqrt{t})dt; f(t)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{t^{n}}{(2n)!}\) en \(a=0\) (Nota: \(f\) es la serie de Taylor de \(\cos(\sqrt{t})\).)

En los siguientes ejercicios, calcule la serie de Taylor de cada función alrededor de \(x=1\):

151. \(f(x)=2-x\)
152. \(f(x)=x^{3}\)
153. \(f(x)=(x-2)^{2}\)
154. \(f(x)=\ln x\)
155. \(f(x)=\frac{1}{x}\)
156. \(f(x)=\frac{1}{2x-x^{2}}\)
157. \(f(x)=\frac{x}{4x-2x^{2}-1}\)
158. \(f(x)=e^{-x}\)
159. \(f(x)=e^{2x}\)

En los siguientes ejercicios, identifique el valor de \(x\) tal que la serie dada \(\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\) es el valor de la serie de Maclaurin de \(f(x)\) en \(x\). Aproxime el valor de \(f(x)\) usando \(S_{10}=\sum_{n=0}^{10}a_{n}\):

160. \(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\)
161. \(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!}\)
162. \(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(2\pi)^{2n}}{(2n)!}\)
163. \(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(2\pi)^{2n+1}}{(2n+1)!}\)

Los siguientes ejercicios utilizan las funciones \(S_{5}(x)=x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120}\) y \(C_{4}(x)=1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}\) en \([-\pi, \pi]\):

164. [T] Grafique \(\sin^{2}x-(S_{5}(x))^{2}\) en \([-\pi,\pi]\). Compare la diferencia máxima con el cuadrado de la estimación del residuo de Taylor para \(\sin x\).
165. [T] Grafique \(\cos^{2}x-(C_{4}(x))^{2}\) en \([-\pi,\pi]\). Compare la diferencia máxima con el cuadrado de la estimación del residuo de Taylor para \(\cos x\).
166. [T] Grafique \(|2S_{5}(x)C_{4}(x)-\sin(2x)|\) en \([-\pi,\pi].\)
167. [T] Compare \(\frac{S_{5}(x)}{C_{4}(x)}\) en \([-1,1]\) con \(\tan x\). Compare esto con la estimación del residuo de Taylor para la aproximación de \(\tan x\) por \(x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{2x^{5}}{15}\).
168. [T] Grafique \(e^{x}-e_{4}(x)\) donde \(e_{4}(x)=1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{4}}{24}\) en \([0, 2]\). Compare el error máximo con la estimación del residuo de Taylor.
169. (Aproximaciones de Taylor y búsqueda de raíces.) Recuerde que el método de Newton aproxima las soluciones de \(f(x)=0\) cerca de la entrada \(x_{0}\) con \(x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f^{\prime}(x_{n})}\).
     1. Si \(f\) y \(g\) son funciones inversas, explique por qué una solución de \(g(x)=a\) es el valor \(f(a)\) de \(f\).
     2. Sea \(p_{N}(x)\) el polinomio de Maclaurin de grado \(N\) de \(e^{x}\). Use el método de Newton para aproximar las soluciones de \(p_{N}(x)-2=0\) para \(N=4,5,6.\)
     3. Explique por qué las raíces aproximadas de \(p_{N}(x)-2=0\) son valores aproximados de \(\ln(2)\).

En los siguientes ejercicios, use el hecho de que si \(q(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}(x-c)^{n}\) converge en un intervalo que contiene a \(c\), entonces \(\lim_{x\to c}q(x)=a_{0}\) para evaluar cada límite usando series de Taylor:

170. \(\lim_{x\to 0}\frac{\cos x – 1}{x^{2}}\)
171. \(\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1-x^{2})}{x^{2}}\)
172. \(\lim_{x\to 0}\frac{e^{x^2}-x^2-1}{x^{4}}\)
173. \(\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\cos(\sqrt{x})-1}{2x}\)