| 7.8 Propiedades de las series de potencias |

Ejercicios propuestos para el Capítulo 7.8

63. Si \(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\) y \(g(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^n}{n!}\), encuentra la serie de potencias de \(\frac{1}{2}(f(x) + g(x))\) y de \(\frac{1}{2}(f(x) – g(x))\).

64. Si \(C(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}\) y \(S(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\), encuentra las series de potencias de \(C(x) + S(x)\) y de \(C(x) – S(x)\).

      En los siguientes ejercicios, usa fracciones parciales para encontrar la serie de potencias de cada función:

65. \(\frac{4(x – 3)}{x + 1}\)

66. \(\frac{3}{(x + 2)(x – 1)}\)

67. \(\frac{5}{(x^2 + 4)(x^2 – 1)}\)

68. \(\frac{30}{(x^2 + 1)(x^2 – 9)}\)

      En los siguientes ejercicios, expresa cada serie como una función racional:

69. \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{x^n}\)

70. \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{x^{2n}}\)

71. \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(x – 3)^{2n – 1}}\)

72. \(\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{(x – 3)^{2n – 1}} – \frac{1}{(x – 2)^{2n – 1}}\right)\)

      Los siguientes ejercicios exploran aplicaciones de anualidades:

73. Calcula los valores presentes P de una anualidad en la que se pagarán $10,000 anualmente durante un período de 20 años, asumiendo tasas de interés de r = 0.03, r = 0.05, y r = 0.07.

74. Calcula los valores presentes P de anualidades en las que se pagarán $9,000 anualmente de manera perpetua, asumiendo tasas de interés de r = 0.03, r = 0.05 y r = 0.07.

75. Calcula los pagos anuales C que se darán durante 20 años en anualidades con un valor presente de $100,000, asumiendo tasas de interés de r = 0.03, r = 0.05 y r = 0.07.

76. Calcula los pagos anuales C que se darán de manera perpetua en anualidades con un valor presente de $100,000, asumiendo tasas de interés de r = 0.03,  r = 0.05 y r = 0.07.

77. Supongamos que una anualidad tiene un valor presente de P = 1 millón de dólares. ¿Qué tasa de interés r permitiría pagos anuales perpetuos de $50,000?

78. Supongamos que una anualidad tiene un valor presente de P = 10 millones de dólares. ¿Qué tasa de interés r permitiría pagos anuales perpetuos de $100,000?

      En los siguientes ejercicios, expresa la suma de cada serie de potencias en términos de series geométricas, y luego expresa la suma como una función racional:

79. \(x + x^2 – x^3 + x^4 + x^5 – x^6 + \cdots\)

(Pista: Agrupa las potencias \(x^{3k}\), \(x^{3k-1}\) y \(x^{3k-2}\).)

80. \(x + x^2 – x^3 – x^4 + x^5 + x^6 – x^7 – x^8 + \cdots\) (Pista: Agrupa las potencias \(x^{4k}\), \(x^{4k-1}\), etc.)

81. \(x – x^2 – x^3 + x^4 – x^5 – x^6 + x^7 – \cdots\) (Pista: Agrupa las potencias \(x^{3k}\), \(x^{3k-1}\) y \(x^{3k-2}\).)

82. \(\frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} – \frac{x^3}{8} + \frac{x^4}{16} + \frac{x^5}{32} – \frac{x^6}{64} + \cdots\) (Pista: Agrupa las potencias \(\left(\frac{x}{2}\right)^{3k}\), \(\left(\frac{x}{2}\right)^{3k-1}\) y \(\left(\frac{x}{2}\right)^{3k-2}\).)

      En los siguientes ejercicios, encuentre la serie de potencias de f(x)g(x), dados f y g como se definen:

82. \(\frac{x^2}{1} + \frac{x^2}{4} – \frac{x^3}{8} + \frac{x^4}{16} + \frac{x^5}{32} – \frac{x^6}{64} + \cdots\) (Pista: Agrupa las potencias \(\left(\frac{x}{2}\right)^{3k}\), \(\left(\frac{x}{2}\right)^{3k-1}\) y \(\left(\frac{x}{2}\right)^{3k-2}\).)

83. \(f(x)=2\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}, \quad g(x)=\sum_{n=0}^{\infty}nx^{n}\)

84. \(f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}x^{n}, \quad g(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}x^{n}\). Expresar los coeficientes de \(f(x)g(x)\) en términos de \(H_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\).

85. \(f(x)=g(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x}{2}\right)^{n}\)

86. \(f(x)=g(x)=\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n}\)

        En los siguientes ejercicios, diferencia la expansión en series dada de f término por término para obtener la expansión en series correspondiente de la derivada de f :

87. \(f(x)=\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}\)

88. \(f(x)=\frac{1}{1-x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{2n}\)

      En los siguientes ejercicios, integra la expansión en serie dada de f término a término de cero a x para obtener la expansión en serie correspondiente a la integral indefinida de f :

89. \(f(x)=\frac{2x}{(1+x^{2})^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}(2n)x^{2n-1}\)

90. \(f(x)=\frac{2x}{1+x^{2}}=2\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n+1}\)

       En los siguientes ejercicios, evalúa cada serie infinita identificándola como el valor de una derivada o integral de series geométricas:

91. Evalúa \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}\) como \(f'(1/2)\), donde \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty x^n\).

92. Evalúa \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{3^n}\) como \(f’\left(\frac{1}{3}\right)\), donde \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty x^n\).

93. Evalúa \(\sum_{n=2}^\infty \frac{n(n-1)}{2^n}\) como \(f”\left(\frac{1}{2}\right)\), donde \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty x^n\).

94. Evalúa \(\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}\) como \(\int_0^1 f(t) \, dt\), donde \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^{2n} = \frac{1}{1+x^2}\).

En los siguientes ejercicios, dado que \(\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n\), utiliza la diferenciación o integración término a término para encontrar las series de potencias de cada función centrada en el punto dado.

95. \(f(x) = \ln x\), centrada en \(x = 1\) (Sugerencia: \(x = 1 – (1 – x)\))

96. \(\ln(1 – x)\), en \(x = 0\)

97. \(\ln(1 – x^2)\), en \(x = 0\)

98. \(f(x) = \frac{2x}{(1 – x^2)^2}\), en \(x = 0\)

99. \(f(x) = \tan^{-1}(x^2)\), en \(x = 0\)

100. \(f(x) = \ln(1 + x^2)\), en \(x = 0\)

101. \( f(x) = \int_0^x \ln(t) \, dt \), donde \( \ln(x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{(x-1)^n}{n} \)

102. [T] Evaluar la expansión en serie de potencias \( \ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} \) en \( x = 1 \) para mostrar que \( \ln(2) \) es la suma de la serie armónica alternante. Usar la prueba de series alternantes para determinar cuántos términos de la suma se necesitan para estimar \( \ln(2) \) con una precisión de 0.001, y encontrar tal aproximación.

103. [T] Restar la serie infinita de \( \ln(1-x) \) de \( \ln(1+x) \) para obtener una serie de potencias para \( \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) \). Evaluar en \( x = \frac{1}{3} \). ¿Cuál es el valor más pequeño de \( N \) tal que la \( N \)-ésima suma parcial de esta serie aproxima \( \ln(2) \) con un error menor a 0.001?

      En los siguientes ejercicios, usando una sustitución si se indica, expresa cada serie en términos de funciones elementales y encuentra el radio de convergencia de la suma:

104. \( \sum_{k=0}^\infty (x^k – x^{2k+1}) \)

105. \( \sum_{k=1}^\infty \frac{x^{3k}}{6^k} \)

106. \( \sum_{k=1}^\infty (1+x^2)^{-k} \) usando \( y = \frac{1}{1+x^2} \)

107. \( \sum_{k=1}^\infty 2^{-kx} \) usando \( y = 2^{-x} \)

108. Demuestra que, hasta las potencias \( x^3 \) y \( y^3 \), \( E(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \) satisface \( E(x+y) = E(x)E(y) \).

109. Diferencia la serie \( E(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \) término a término para demostrar que \( E(x) \) es igual a su derivada.

110. Demuestra que si \( f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n \) es una suma de potencias pares, es decir, \( a_n = 0 \) si \( n \) es impar, entonces \( F = \int_0^x f(t) \, dt \) es una suma de potencias impares, mientras que si \( f \) es una suma de potencias impares, entonces \( F \) es una suma de potencias pares.

111. [T] Supón que los coeficientes \( a_n \) de la serie \( \sum_{n=0}^\infty a_n x^n \) están definidos por la relación de recurrencia \( a_n = \frac{a_{n-1}}{n} + \frac{a_{n-2}}{n(n-1)} \). Para \( a_0 = 0 \) y \( a_1 = 1 \), calcula y grafica las sumas \( S_N = \sum_{n=0}^N a_n x^n \) para \( N = 2, 3, 4, 5 \) en el intervalo \([−1, 1]\).

112. [T] Supón que los coeficientes \( a_n \) de la serie \( \sum_{n=0}^\infty a_n x^n \) están definidos por la relación de recurrencia \( a_n = \frac{a_{n-1}}{\sqrt{n}} – \frac{a_{n-2}}{\sqrt{n(n-1)}} \). Para \( a_0 = 1 \) y \( a_1 = 0 \), calcula y grafica las sumas \( S_N = \sum_{n=0}^N a_n x^n \) para \( N = 2, 3, 4, 5 \) en el intervalo \([−1, 1]\).

113. [T] Dada la expansión en serie de potencias \( \ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} \), determina cuántos términos \( N \) de la suma evaluada en \( x = -\frac{1}{2} \) se necesitan para aproximar \( \ln(2) \) con una precisión de \( 1/1000 \). Evalúa la suma parcial correspondiente \( \sum_{n=1}^N (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} \).

114. [T] Dada la expansión en serie de potencias \( \tan^{-1}(x) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{2k+1} \), utiliza la prueba de la serie alternante para determinar cuántos términos \( N \) de la suma evaluada en \( x = 1 \) se necesitan para aproximar \( \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4} \) con una precisión de \( 1/1000 \). Evalúa la suma parcial correspondiente \( \sum_{k=0}^N (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{2k+1} \).

115. [T] Recuerde que \( \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6} \). Suponiendo un valor exacto de \( \frac{1}{\sqrt{3}} \), estime \( \frac{\pi}{6} \) evaluando las sumas parciales \( S_N\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \) de la expansión en serie de potencias \( \tan^{-1}(x) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{2k+1} \) en \( x = \frac{1}{\sqrt{3}} \). ¿Cuál es el menor número \( N \) tal que \( 6S_N\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \) aproxima \( \pi \) con una precisión de \( 0.001 \)? ¿Cuántos términos se necesitan para una precisión de \( 0.00001 \)?