| 6.9 Cálculo de las Funciones Hiperbólicas |
Ejercicios propuestos para el Capítulo 6.9
377. [T] Encuentre expresiones para \( \cosh x + \sinh x \) y \( \cosh x – \sinh x \). Use una calculadora para graficar estas funciones y asegúrese de que su expresión sea correcta.
378. A partir de las definiciones de \( \cosh(x) \) y \( \sinh(x) \), encuentre sus antiderivadas.
379. Demuestre que \( \cosh(x) \) y \( \sinh(x) \) satisfacen \( y” = y \).
380. Use la regla del cociente para verificar que \( \tanh(x)’ = \operatorname{sech}^2(x) \).
381. Derive \( \cosh^2(x) + \sinh^2(x) = \cosh(2x) \) a partir de la definición.
382. Tome la derivada de la expresión anterior para encontrar una expresión para \( \sinh(2x) \).
383. Demuestre \( \sinh(x+y) = \sinh(x) \cosh(y) + \cosh(x) \sinh(y) \) cambiando la expresión a exponenciales.
384. Tome la derivada de la expresión anterior para encontrar una expresión para \( \cosh(x+y) \).
Para los siguientes ejercicios, encuentre las derivadas de las funciones dadas y grafíquelas junto con la función para asegurarse de que su respuesta sea correcta:
385. [T] \( \cosh (3x + 1) \)
386. [T] \( \sinh (x^2) \)
387. [T] \( \frac{1}{\cosh(x)} \)
388. [T] \( \sinh (\ln (x)) \)
389. [T] \( \cosh^2(x) + \sinh^2(x) \)
390. [T] \( \cosh^2(x) – \sinh^2(x) \)
391. [T] \( \tanh \left( \sqrt{x^2 + 1} \right) \)
392. [T] \( \frac{1 + \tanh(x)}{1 – \tanh(x)} \)
393. [T] \( \sinh^6(x) \)
394. [T] \( \ln (\operatorname{sech}(x) + \tanh(x)) \)
Para los siguientes ejercicios, encuentre las antiderivadas para las funciones dadas:
395. \( \cosh (2x + 1) \)
396. \( \tanh (3x + 2) \)
397. \( x \cosh (x^2) \)
398. \( 3x^3 \tanh (x^4) \)
399. \( \cosh^2(x) \sinh(x) \)
400. \( \tanh^2(x) \operatorname{sech}^2(x) \)
401. \( \frac{\sinh(x)}{1 + \cosh(x)} \)
402. \( \coth(x) \)
403. \( \cosh(x) + \sinh(x) \)
404. \( (\cosh(x) + \sinh(x))^n \)
Para los siguientes ejercicios, encuentre las derivadas para las funciones:
405. \( \tanh^{-1}(4x) \)
406. \( \sinh^{-1}(x^2) \)
407. \( \sinh^{-1}(\cosh(x)) \)
408. \( \cosh^{-1}(x^3) \)
409. \( \tanh^{-1}(\cos(x)) \)
410. \( e^{\sinh^{-1}(x)} \)
411. \( \ln(\tanh^{-1}(x)) \)
Para los siguientes ejercicios, encuentre las antiderivadas para las funciones:
412. \( \int \frac{dx}{4 – x^2} \)
413. \( \int \frac{dx}{a^2 – x^2} \)
414. \( \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 1}} \)
415. \( \int \frac{x \, dx}{\sqrt{x^2 + 1}} \)
416. \( \int – \frac{dx}{x \sqrt{1 – x^2}} \)
417. \( \int \frac{e^x \, dx}{\sqrt{e^{2x} – 1}} \)
418. \( \int – \frac{2x}{x^4 – 1} \, dx \)
Para los siguientes ejercicios, use el hecho de que un cuerpo que cae con una fricción igual a la velocidad al cuadrado obedece la ecuación \( dv/dt = g – v^2 \):
419. Muestre que \( v(t) = \sqrt{g} \tanh \left( \left( \sqrt{g} \right) t \right) \) satisface esta ecuación.
420. Derive la expresión anterior para \( v(t) \) integrando \( \frac{dv}{g – v^2} = dt \).
421. [T] Estime qué tan lejos ha caído un cuerpo en 12 segundos encontrando el área debajo de la curva de \( v(t) \).
Para los siguientes ejercicios, use este escenario: Un cable que cuelga bajo su propio peso tiene una pendiente \( S = dy/dx \) que satisface \( dS/dx = c\sqrt{1 + S^2} \). La constante *c* es la relación entre la densidad del cable y la tensión:
422. Muestre que \( S = \sinh(cx) \) satisface esta ecuación.
423. Integre \( dy/dx = \sinh(cx) \) para encontrar la altura del cable \( y(x) \) si \( y(0) = 1/c \).
424. Dibuje el cable y determine cuánto se hunde en \( x = 0 \).
Para los siguientes ejercicios, resuelva cada problema.
425. [T] Una cadena cuelga de dos postes separados por 2 m para formar una catenaria descrita por la ecuación \( y = 2 \cosh(x/2) – 1 \). Encuentre la pendiente de la catenaria en el poste de la cerca izquierdo.
426. [T] Una cadena cuelga de dos postes separados por cuatro metros para formar una catenaria descrita por la ecuación \( y = 4 \cosh(x/4) – 3 \). Encuentre la longitud total de la catenaria (longitud del arco).
427. [T] Una línea de energía de alto voltaje es una catenaria descrita por \( y = 10 \cosh(x/10) \). Encuentre la razón del área bajo la catenaria a la longitud de su arco. ¿Qué nota?
428. Una línea telefónica es una catenaria descrita por \( y = a \cosh(x/a) \). Encuentre la razón del área bajo la catenaria a la longitud de su arco. ¿Esto confirma su respuesta para la pregunta anterior?
429. Pruebe la fórmula para la derivada de \( y = \sinh^{-1}(x) \) diferenciando \( x = \sinh(y) \). (Pista: Use identidades trigonométricas hiperbólicas.)
430. Pruebe la fórmula para la derivada de \( y = \cosh^{-1}(x) \) diferenciando \( x = \cosh(y) \). (Pista: Use identidades trigonométricas hiperbólicas.)
431. Pruebe la fórmula para la derivada de \( y = \operatorname{sech}^{-1}(x) \) diferenciando \( x = \operatorname{sech}(y) \). (Pista: Use identidades trigonométricas hiperbólicas.)
432. Pruebe que \( (\cosh(x) + \sinh(x))^n = \cosh(nx) + \sinh(nx) \).
433. Pruebe la expresión para \( \sinh^{-1}(x) \). Multiplique \( x = \sinh(y) = (1/2)(e^y + e^{-y}) \) por \( 2e^y \) y resuelva para y. ¿Su expresión coincide con el libro de texto?
434. Pruebe la expresión para \( \cosh^{-1}(x) \). Multiplique \( x = \cosh(y) = (1/2)(e^y + e^{-y}) \) por \( 2e^y \) y resuelva para y. ¿Su expresión coincide con el libro de texto?