Ejercicios propuestos para el Capítulo 5.14
Evalúe las siguientes integrales. Si la integral no es convergente, responda “divergente”:
- \(\int_{2}^{4} \frac{dx}{(x-3)^2}\)
- \(\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{4 + x^2} dx\)
- \(\int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{4 – x^2}} dx\)
- \(\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x \ln x} dx\)
- \(\int_{1}^{+\infty} x e^{-x} dx\)
- \(\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x}{x^2 + 1} dx\)
- Sin integrar, determine si la integral \(\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x^3 + 1}} \, dx\) converge o diverge comparando la función \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^3 + 1}}\) con \(g(x) = \frac{1}{\sqrt{x^3}}\).
- Sin integrar, determine si la integral \(\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x + 1}} \, dx\) converge o diverge.
Determine si las integrales impropias convergen o divergen. Si es posible, determine el valor de las integrales que convergen:
- \(\int_{0}^{+\infty} e^{-x} \cos x \, dx\)
- \(\int_{1}^{+\infty} \frac{\ln x}{x} \, dx\)
- \(\int_{0}^{1} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \, dx\)
- \(\int_{0}^{1} \ln x \, dx\)
- \(\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{x^2 + 1} \, dx\)
- \(\int_{1}^{5} \frac{dx}{\sqrt{x – 1}}\)
- \(\int_{-2}^{2} \frac{dx}{(1 + x)^2}\)
- \(\int_{0}^{+\infty} e^{-x} \, dx\)
- \(\int_{0}^{+\infty} \sin x \, dx\)
- \(\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^x}{1 + e^{2x}} \, dx\)
- \(\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt[3]{x}}\)
- \(\int_{0}^{2} \frac{dx}{x^3}\)
- \(\int_{-1}^{2} \frac{dx}{x^3}\)
- \(\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1 – x^2}}\)
- \(\int_{0}^{3} \frac{1}{x – 1} \, dx\)
- \(\int_{1}^{+\infty} \frac{5}{x^3} \, dx\)
- \(\int_{3}^{5} \frac{5}{(x – 4)^2} \, dx\)
Determine la convergencia de cada una de las siguientes integrales por comparación con la integral dada. Si la integral converge, encuentre el número al que converge:
- \(\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x^2 + 4x}\); compare con \(\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x^2}\).
- \(\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{\sqrt{x} + 1}\); compare con \(\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{2\sqrt{x}}\).
Evalúe las integrales. Si la integral diverge, responda “diverge”:
- \(\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x^e}\)
- \(\int_{0}^{1} \frac{dx}{x^\pi}\)
- \(\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1 – x}}\)
- \(\int_{0}^{1} \frac{dx}{1 – x}\)
- \(\int_{-\infty}^{0} \frac{dx}{x^2 + 1}\)
- \(\int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1 – x^2}}\)
- \(\int_{0}^{1} \frac{\ln x}{x} \, dx\)
- \(\int_{0}^{e} \ln(x) \, dx\)
- \(\int_{0}^{+\infty} xe^{-x} \, dx\)
- \(\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x}{(x^2 + 1)^2} \, dx\)
- \(\int_{0}^{+\infty} e^x \, dx\)
Evalúe las integrales impropias. Cada una de estas integrales tiene una discontinuidad infinita ya sea en un punto extremo o en un punto interior del intervalo:
- \(\int_{0}^{9} \frac{dx}{\sqrt{9 – x}}\)
- \(\int_{-27}^{1} \frac{dx}{x^{2/3}}\)
- \(\int_{0}^{3} \frac{dx}{\sqrt{9 – x^2}}\)
- \(\int_{6}^{24} \frac{dt}{t\sqrt{t^2 – 36}}\)
- \(\int_{0}^{4} x \ln(4x) \, dx\)
- \(\int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{9 – x^2}} \, dx\)
- Evalúe \(\int_{.5}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1 – x^2}}\). (¡Ten cuidado!) (Exprese su respuesta usando tres decimales.)
- Evalúe \(\int_{1}^{4} \frac{dx}{\sqrt{x^2 – 1}}\). (Exprese la respuesta en forma exacta.)
- Evalúe \(\int_{2}^{+\infty} \frac{dx}{(x^2 – 1)^{3/2}}\).
- Encuentre el área de la región en el primer cuadrante entre la curva \(y = e^{-6x}\) y el eje x.
- Encuentre el área de la región delimitada por la curva \(y = \frac{7}{x^2}\), el eje x, y a la izquierda por \(x = 1\).
- Encuentre el área debajo de la curva \(y = \frac{1}{(x+1)^{3/2}}\), delimitada a la izquierda por \(x = 3\).
- Encuentre el área debajo de \(y = \frac{5}{1+x^2}\) en el primer cuadrante.
- Encuentre el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje x la región debajo de la curva \(y = \frac{3}{x}\) desde \(x = 1\) hasta \(x = \infty\).
- Encuentre el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje y la región debajo de la curva \(y = 6e^{-2x}\) en el primer cuadrante.
- Encuentre el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje x el área debajo de la curva \(y = 3e^{-x}\) en el primer cuadrante.
La transformada de Laplace de una función continua sobre el intervalo \([0, \infty)\) se define por \[ F(s) = \int_{0}^{+\infty} e^{-sx} f(x) \, dx \] (ver el Proyecto Estudiantil). Esta definición se usa para resolver algunos problemas importantes de valor inicial en ecuaciones diferenciales, como se discutirá más adelante. El dominio de \(F\) es el conjunto de todos los números reales \(s\) tales que la integral impropia converge. Encuentre la transformada de Laplace \(F\) de cada una de las siguientes funciones y dé el dominio de \(F\).
- \(f(x) = 1\)
- \(f(x) = x\)
- \(f(x) = \cos(2x)\)
- \(f(x) = e^{ax}\)
- Use la fórmula para la longitud de arco para demostrar que la circunferencia del círculo \(x^2 + y^2 = 1\) es \(2\pi\).
Una función no negativa es una función de densidad de probabilidad si satisface la siguiente definición: \[\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \, dt = 1.\] La probabilidad de que una variable aleatoria \(x\) se encuentre entre \(a\) y \(b\) está dada por \[P(a \leq x \leq b) = \int_{a}^{b} f(t) \, dt.\]
- Muestre que \[ f(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0 \\ 7e^{-7x} & \text{si } x \geq 0 \end{cases} \] es una función de densidad de probabilidad.
- Encuentre la probabilidad de que \(x\) esté entre 0 y 0.3. (Use la función definida en el problema anterior.) Use una precisión decimal de cuatro lugares.