| 6.8 Crecimiento y Decaimiento Exponencial |

Ejercicios propuestos para el Capítulo 6.8

Verdadero o Falso? Si es verdadero, pruébalo. Si es falso, encuentra la respuesta correcta:

348. El tiempo de duplicación para \( y = e^{ct} \) es \( \frac{\ln (2)}{\ln (c)} \).

349. Si inviertes $500, una tasa de interés anual del 3% produce más dinero en el primer año que una tasa de interés continua del 2.5%.

350. Si dejas una olla de té a 100°C a temperatura ambiente (25°C) y una olla idéntica en el refrigerador (5°C), con \( k = 0.02 \), el té en el refrigerador alcanza una temperatura potable (70°C) más de 5 minutos antes que el té a temperatura ambiente.

351. Si se da una vida media de \( t \) años, la constante \( k \) para \( y = e^{kt} \) se calcula mediante \( k = \frac{\ln (1/2)}{t} \).

Para los siguientes ejercicios, use \( y = y_0 e^{kt} \):

352. Si una cultura de bacterias se duplica en 3 horas, ¿cuántas horas tarda en multiplicarse por 10?

353. Si las bacterias aumentan en un factor de 10 en 10 horas, ¿cuántas horas tarda en aumentar por 100?

354. ¿Qué edad tiene un cráneo que contiene una quinta parte de la cantidad de radiocarbono que un cráneo moderno? Tenga en cuenta que la vida media del radiocarbono es de 5730 años.

355. Si una reliquia contiene 90% de radiocarbono que el material nuevo, ¿puede provenir de la época de Cristo (aproximadamente hace 2000 años)? Tenga en cuenta que la vida media del radiocarbono es de 5730 años.

356. La población de El Cairo creció de 5 millones a 10 millones en 20 años. Use un modelo exponencial para averiguar cuándo la población era de 8 millones.

357. Las poblaciones de Nueva York y Los Ángeles están creciendo al 1% y al 1.4% anual, respectivamente. Comenzando con 8 millones (Nueva York) y 6 millones (Los Ángeles), ¿cuándo son iguales las poblaciones?

358. Suponga que el valor de $1 en yenes japoneses disminuye en un 2% por año. Comenzando con $1 = ¥250, ¿cuándo $1 = ¥1?

359. El efecto de la publicidad decae exponencialmente. Si el 40% de la población recuerda un nuevo producto después de 3 días, ¿cuánto tiempo lo recordará el 20%?

360. Si \( y = 1000 \) en \( t = 3 \) e \( y = 3000 \) en \( t = 4 \), ¿cuál era \( y_0 \) en \( t = 0 \)?

361. Si \( y = 100 \) en \( t = 4 \) e \( y = 10 \) en \( t = 8 \), ¿cuándo \( y = 1 \)?

362. Si un banco ofrece un interés anual del 7.5% o un interés continuo del 7.25%, ¿cuál tiene un mejor rendimiento anual?

363. ¿Qué tasa de interés continua tiene el mismo rendimiento que una tasa anual del 9%?

364. Si deposita $5000 con un interés anual del 8%, ¿cuántos años puede retirar $500 (comenzando después del primer año) sin quedarse sin dinero?

365. Está tratando de ahorrar $50,000 en 20 años para la matrícula universitaria de su hijo. Si el interés es un 10% continuo, ¿cuánto necesita invertir inicialmente?

366. Está enfriando un pavo que se sacó del horno con una temperatura interna de 165°F. Después de 10 minutos de reposo del pavo en un apartamento de 70°F, la temperatura ha alcanzado los 155°F. ¿Cuál es la temperatura del pavo 20 minutos después de sacarlo del horno?

367. Está tratando de descongelar algunas verduras que están a una temperatura de 1°F. Para descongelar las verduras de forma segura, debe ponerlas en el refrigerador, que tiene una temperatura ambiente de 44°F. Revisa sus verduras 2 horas después de ponerlas en el refrigerador y descubre que ahora están a 12°F. Trace la curva de temperatura resultante y úsela para determinar cuándo las verduras alcanzan los 33°F.

368. Es arqueólogo y le dan un hueso que se dice que es de un Tyrannosaurus Rex. Sabe que estos dinosaurios vivieron durante la Era Cretácica (de 146 millones de años a 65 millones de años) y descubre mediante la datación por radiocarbono que hay un 0.000001% de la cantidad de radiocarbono. ¿Es este hueso del Cretácico?

369. El combustible gastado de un reactor nuclear contiene plutonio-239, que tiene una vida media de 24,000 años. Si un barril que contiene 10 kg de plutonio-239 está sellado, ¿cuántos años deben pasar hasta que solo queden 10 g de plutonio-239?

Para el siguiente conjunto de ejercicios, utilice la siguiente tabla, que presenta la población mundial por década:

Años desde 1950	Población (millones)
0	2,556
10	3,039
20	3,706
30	4,453
40	5,279
50	6,083
60	6,849

370. [T] La curva exponencial de mejor ajuste a los datos de la forma \( P(t) = ae^{bt} \) está dada por \( P(t) = 2686e^{0.01604t} \). Use una calculadora gráfica para representar los datos y la curva exponencial juntos.

371. [T] Encuentre y grafique la derivada \( y’ \) de su ecuación. ¿Dónde está aumentando y cuál es el significado de este aumento?

372. [T] Encuentre y grafique la segunda derivada de su ecuación. ¿Dónde está aumentando y cuál es el significado de este aumento?

373. [T] Encuentre la fecha prevista en que la población alcance los 10 mil millones. Usando sus respuestas anteriores sobre la primera y la segunda derivadas, explique por qué el crecimiento exponencial no tiene éxito para predecir el futuro.

Para el siguiente conjunto de ejercicios, utilice la siguiente tabla, que muestra la población de San Francisco durante el siglo XIX:

Años desde 1850	Población (miles)
0	21.00
10	56.80
20	149.5
30	234.0

374. [T] La curva exponencial de mejor ajuste a los datos de la forma \( P(t) = ae^{bt} \) está dada por \( P(t) = 35.26e^{0.06407t} \). Use una calculadora gráfica para representar los datos y la curva exponencial juntos.

375. [T] Encuentre y grafique la derivada \( y’ \) de su ecuación. ¿Dónde está aumentando? ¿Cuál es el significado de este aumento? ¿Existe un valor donde el aumento es máximo?

376. [T] Encuentre y grafique la segunda derivada de su ecuación. ¿Dónde está aumentando? ¿Cuál es el significado de este aumento?