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11.7 Problemas de máximos / mínimos

Objetivos de aprendizaje

• 11.7.1 Usar derivadas parciales para localizar puntos críticos de una función de dos variables.
• 11.7.2 Aplicar la prueba de la segunda derivada para identificar un punto crítico como máximo local, mínimo local o punto de silla de una función de dos variables.
• 11.7.3 Examinar puntos críticos y puntos de frontera para encontrar los valores máximo y mínimo absolutos de una función de dos variables.

Una de las aplicaciones más útiles de las derivadas de una función de una variable es la determinación de valores máximos y/o mínimos. Esta aplicación también es importante para funciones de dos o más variables, pero, como hemos visto en secciones anteriores de este capítulo, la introducción de más variables independientes conduce a un mayor número de posibles resultados en los cálculos. Las ideas principales de encontrar puntos críticos y usar pruebas basadas en derivadas siguen siendo válidas, pero aparecen nuevas sutilezas al evaluar los resultados.

Puntos críticos

Para funciones de una sola variable, definimos los puntos críticos como los valores de la función en los que la derivada es cero o no existe. Para funciones de dos o más variables, el concepto es esencialmente el mismo, con la diferencia de que ahora trabajamos con derivadas parciales.

Definición

Sea \( z = f(x, y) \) una función de dos variables definida en un conjunto abierto que contiene al punto \( (x_0, y_0) \). El punto \( (x_0, y_0) \) se denomina punto crítico de una función de dos variables \( f \) si se cumple una de las dos condiciones siguientes:

1. \( f_x(x_0, y_0) = f_y(x_0, y_0) = 0 \)
2. Ya sea \( f_x(x_0, y_0) \) o \( f_y(x_0, y_0) \) no existe.

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Ejemplo ilustrativo 11.7.1. Determinación de puntos críticos

Halle los puntos críticos de cada una de las siguientes funciones:

1. \( f(x, y) = \sqrt{4y^2 – 9x^2 + 24y + 36x + 36} \)
2. \( g(x, y) = x^2 + 2xy – 4y^2 + 4x – 6y + 4 \)

Solución:

a. Primero, calculamos \(f_x(x, y)\) y \(f_y(x, y)\):

\[ \begin{aligned} f_x(x, y) &= \frac{1}{2}(-18x + 36)(4y^2 – 9x^2 + 24y + 36x + 36)^{-1/2} \\ &= \frac{-9x + 18}{\sqrt{4y^2 – 9x^2 + 24y + 36x + 36}} \\ f_y(x, y) &= \frac{1}{2}(8y + 24)(4y^2 – 9x^2 + 24y + 36x + 36)^{-1/2} \\ &= \frac{4y + 12}{\sqrt{4y^2 – 9x^2 + 24y + 36x + 36}} \end{aligned} \]

Luego, igualamos cada una de estas expresiones a cero:

\[ \begin{aligned} \frac{-9x + 18}{\sqrt{4y^2 – 9x^2 + 24y + 36x + 36}} &= 0 \\ \frac{4y + 12}{\sqrt{4y^2 – 9x^2 + 24y + 36x + 36}} &= 0. \end{aligned} \]

Después, multiplicamos cada ecuación por su denominador común:

\[ \begin{aligned} -9x + 18 &= 0 \\ 4y + 12 &= 0. \end{aligned} \]

Por lo tanto, \(x = 2\) y \(y = -3\), de modo que \((2, -3)\) es un punto crítico de \(f\). También debemos verificar la posibilidad de que el denominador de cada derivada parcial pueda ser igual a cero, lo que causaría que la derivada parcial no exista. Dado que el denominador es el mismo en cada derivada parcial, solo necesitamos hacer esto una vez:

\[ 4y^2 – 9x^2 + 24y + 36x + 36 = 0. \]

Esta ecuación representa una hipérbola. También debemos notar que el dominio de \(f\) consiste en los puntos que satisfacen la desigualdad:

\[ 4y^2 – 9x^2 + 24y + 36x + 36 \geq 0. \]

Por lo tanto, cualquier punto en la hipérbola no solo es un punto crítico, sino que también está en la frontera del dominio. Para poner la hipérbola en su forma estándar, utilizamos el método de completar el cuadrado:

\[ \begin{aligned} 4y^2 – 9x^2 + 24y + 36x + 36 &= 0 \\ 4y^2 – 9x^2 + 24y + 36x &= -36 \\ 4y^2 + 24y – 9x^2 + 36x &= -36 \\ 4(y^2 + 6y) – 9(x^2 – 4x) &= -36 \\ 4(y^2 + 6y + 9) – 9(x^2 – 4x + 4) &= -36 + 36 – 36 \\ 4(y + 3)^2 – 9(x – 2)^2 &= -36. \end{aligned} \]

Dividir ambos lados por \(-36\) pone la ecuación en su forma estándar:

\[ \begin{aligned} \frac{4(y + 3)^2}{-36} – \frac{9(x – 2)^2}{-36} &= 1 \\ \frac{(x – 2)^2}{4} – \frac{(y + 3)^2}{9} &= 1. \end{aligned} \]

Observe que el punto \((2, -3)\) es el centro de la hipérbola.

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b. Primero, calculamos \(g_x(x, y)\) y \(g_y(x, y)\):

\[ \begin{aligned} g_x(x, y) &= 2x + 2y + 4 \\ g_y(x, y) &= 2x – 8y – 6. \end{aligned} \]

Luego, igualamos cada una de estas expresiones a cero, lo que nos da un sistema de ecuaciones en \(x\) e \(y\):

\[ \begin{aligned} 2x + 2y + 4 &= 0 \\ 2x – 8y – 6 &= 0. \end{aligned} \]

Restando la segunda ecuación de la primera obtenemos \(10y + 10 = 0\), por lo que \(y = -1\). Sustituyendo esto en la primera ecuación se obtiene \(2x + 2(-1) + 4 = 0\), por lo que \(x = -1\). Por lo tanto, \((-1, -1)\) es un punto crítico de \(g\). No existen puntos en \(\mathbb{R}^2\) que hagan que alguna de las derivadas parciales no exista.

Ejercicio de control 11.7.1

Halle el punto crítico de la función \( f(x, y) = x^3 + 2xy – 2x – 4y \).

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El propósito principal de determinar puntos críticos es localizar máximos y mínimos relativos, tal como en el cálculo de una sola variable. Cuando se trabaja con una función de una variable, la definición de un extremo local implica encontrar un intervalo alrededor del punto crítico tal que el valor de la función sea mayor o menor que todos los demás valores de la función en ese intervalo. En el caso de una función de dos o más variables, se trabaja con un disco abierto alrededor del punto.

Definición

Sea \( z = f(x, y) \) una función de dos variables que está definida y es continua en un conjunto abierto que contiene al punto \( (x_0, y_0) \). Entonces, \( f \) tiene un máximo local en \( (x_0, y_0) \) si

\( f(x_0, y_0) \geq f(x, y) \)

para todos los puntos \( (x, y) \) dentro de algún disco centrado en \( (x_0, y_0) \). El número \( f(x_0, y_0) \) se denomina valor máximo local. Si la desigualdad anterior se cumple para cada punto \( (x, y) \) en el dominio de \( f \), entonces \( f \) tiene un máximo global (también llamado máximo absoluto) en \( (x_0, y_0) \).

La función \( f \) tiene un mínimo local en \( (x_0, y_0) \) si

\( f(x_0, y_0) \leq f(x, y) \)

para todos los puntos \( (x, y) \) dentro de algún disco centrado en \( (x_0, y_0) \). El número \( f(x_0, y_0) \) se denomina valor mínimo local. Si la desigualdad anterior se cumple para cada punto \( (x, y) \) en el dominio de \( f \), entonces \( f \) tiene un mínimo global (también llamado mínimo absoluto) en \( (x_0, y_0) \).

Si \( f(x_0, y_0) \) es un valor máximo local o un valor mínimo local, entonces se denomina extremo local. ♦

Figura 11.7.2 La gráfica de \( z = \sqrt{16 – x^2 – y^2} \) tiene un valor máximo cuando \( (x, y) = (0, 0) \). Alcanza su valor mínimo en la frontera de su dominio, que es el círculo \( x^2 + y^2 = 16 \).

En Máximos y mínimos mostramos que los extremos de funciones de una variable ocurren en puntos críticos. Lo mismo es cierto para funciones de más de una variable, como se establece en el siguiente teorema.

Teorema 11.7.1. Teorema de Fermat para funciones de dos variables

Sea \( z = f(x, y) \) una función de dos variables que está definida y es continua en un conjunto abierto que contiene al punto \( (x_0, y_0) \). Suponga que \( f_x \) y \( f_y \) existen en \( (x_0, y_0) \). Si \( f \) tiene un extremo local en \( (x_0, y_0) \), entonces \( (x_0, y_0) \) es un punto crítico de \( f \). ♦

Prueba de la segunda derivada

Considere la función \( f(x) = x^3 \). Esta función tiene un punto crítico en \( x = 0 \), ya que \( f'(0) = 3(0)^2 = 0 \). Sin embargo, \( f \) no tiene un valor extremo en \( x = 0 \). Por lo tanto, la existencia de un valor crítico en \( x = x_0 \) no garantiza un extremo local en \( x = x_0 \). Lo mismo ocurre con una función de dos o más variables. Una forma en que esto puede suceder es en un punto de silla. Un ejemplo de un punto de silla aparece en la siguiente figura.

En esta gráfica, el origen es un punto de silla. Esto se debe a que las primeras derivadas parciales de \( f(x, y) = x^2 – y^2 \) son ambas iguales a cero en este punto, pero no es ni un máximo ni un mínimo para la función. Además, la traza vertical correspondiente a \( y = 0 \) es \( z = x^2 \) (una parábola que abre hacia arriba), pero la traza vertical correspondiente a \( x = 0 \) es \( z = -y^2 \) (una parábola que abre hacia abajo). Por lo tanto, es a la vez un máximo global para una traza y un mínimo global para otra.

Definición

Dada la función \( z = f(x, y) \), el punto \( (x_0, y_0, f(x_0, y_0)) \) es un punto de silla si tanto \( f_x(x_0, y_0) = 0 \) como \( f_y(x_0, y_0) = 0 \), pero \( f \) no tiene un extremo local en \( (x_0, y_0) \). ♦

La prueba de la segunda derivada para una función de una variable proporciona un método para determinar si ocurre un extremo en un punto crítico de una función. Al extender este resultado a una función de dos variables, surge un problema relacionado con el hecho de que hay, de hecho, cuatro derivadas parciales de segundo orden diferentes, aunque la igualdad de las parciales mixtas reduce esto a tres. La prueba de la segunda derivada para una función de dos variables, establecida en el siguiente teorema, utiliza un discriminante \( D \) que reemplaza a \( f”(x_0) \) en la prueba de la segunda derivada para una función de una variable.

Teorema 11.7.2. Prueba de la segunda derivada

Sea $z = f(x, y)$ una función de dos variables para la cual las derivadas parciales de primer y segundo orden son continuas en algún disco que contiene al punto $(x_0, y_0)$. Supongamos que $f_x(x_0, y_0) = 0$ y $f_y(x_0, y_0) = 0$. Defina la cantidad:

$$ D = f_{xx}(x_0, y_0) f_{yy}(x_0, y_0) – (f_{xy}(x_0, y_0))^2 \tag{11.7.1}$$

1. Si $D > 0$ y $f_{xx}(x_0, y_0) > 0$, entonces $f$ tiene un mínimo local en $(x_0, y_0)$.
2. Si $D > 0$ y $f_{xx}(x_0, y_0) < 0$, entonces $f$ tiene un máximo local en $(x_0, y_0)$.
3. Si $D < 0$, entonces $f$ tiene un punto de silla en $(x_0, y_0)$.
4. Si $D = 0$, entonces la prueba no es concluyente.

♦

Para aplicar la prueba de la segunda derivada, es necesario encontrar primero los puntos críticos de la función. En todo el procedimiento intervienen varios pasos, los cuales se describen en una estrategia de resolución de problemas.

Estrategia de resolución de problemas: Uso de la prueba de la segunda derivada para funciones de dos variables

Sea $z = f(x, y)$ una función de dos variables para la cual las derivadas parciales de primer y segundo orden son continuas en algún disco que contiene al punto $(x_0, y_0)$. Para aplicar la prueba de la segunda derivada para encontrar extremos locales, siga los siguientes pasos:

1. Determine los puntos críticos $(x_0, y_0)$ de la función $f$ donde $f_x(x_0, y_0) = f_y(x_0, y_0) = 0$. Descarte cualquier punto donde al menos una de las derivadas parciales no exista.
2. Calcule el discriminante $D = f_{xx}(x_0, y_0) f_{yy}(x_0, y_0) – (f_{xy}(x_0, y_0))^2$ para cada punto crítico de $f$.
3. Aplique la Prueba de la Segunda Derivada para determinar si cada punto crítico es un máximo local, un mínimo local o un punto de silla, o si el teorema no es concluyente. ♦

Ejemplo ilustrativo 11.7.2. Uso de la prueba de la segunda derivada

Halle los puntos críticos para cada una de las siguientes funciones y utilice la prueba de la segunda derivada para encontrar los extremos locales:

1. $f(x, y) = 4x^2 + 9y^2 + 8x – 36y + 24$
2. $g(x, y) = \frac{1}{3}x^3 + y^2 + 2xy – 6x – 3y + 4$

Solución:

Resolución del inciso a.

Paso 1 de la estrategia de resolución de problemas consiste en encontrar los puntos críticos de $f$. Para hacer esto, primero calculamos $f_x(x, y)$ y $f_y(x, y)$, y luego igualamos cada una a cero:

$\begin{aligned} f_x(x, y) &= 8x + 8 \\ f_y(x, y) &= 18y – 36 \end{aligned}$

Al igualarlas a cero, obtenemos el sistema de ecuaciones:

$\begin{aligned} 8x + 8 &= 0 \\ 18y – 36 &= 0 \end{aligned}$

La solución de este sistema es $x = -1$ y $y = 2$. Por lo tanto, $(-1, 2)$ es un punto crítico de $f$.

Paso 2 de la estrategia implica calcular $D$. Para ello, primero calculamos las segundas derivadas parciales de $f$:

$\begin{aligned} f_{xx}(x, y) &= 8 \\ f_{xy}(x, y) &= 0 \\ f_{yy}(x, y) &= 18 \end{aligned}$

Por lo tanto, $D = f_{xx}(-1, 2) f_{yy}(-1, 2) – (f_{xy}(-1, 2))^2 = (8)(18) – (0)^2 = 144$.

Paso 3 indica verificar la Prueba de la Segunda Derivada para funciones de dos variables . Dado que $D > 0$ y $f_{xx}(-1, 2) > 0$, esto corresponde al caso 1. Por lo tanto, $f$ tiene un mínimo local en $(-1, 2)$ como se muestra en la siguiente figura.

Ejercicio de control 11.7.2

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Máximos y mínimos absolutos

Al encontrar extremos globales de funciones de una variable en un intervalo cerrado, comenzamos verificando los valores críticos en ese intervalo y luego evaluamos la función en los extremos del intervalo. Cuando se trabaja con una función de dos variables, el intervalo cerrado se reemplaza por un conjunto cerrado y acotado. Un conjunto es acotado si todos los puntos de ese conjunto pueden estar contenidos dentro de una bola (o disco) de radio finito. Primero, necesitamos encontrar los puntos críticos dentro del conjunto y calcular los valores críticos correspondientes. Luego, es necesario encontrar el valor máximo y el valor mínimo de la función en la frontera del conjunto. Cuando se tienen todos estos valores, el mayor valor de la función corresponde al máximo global y el menor valor de la función corresponde al mínimo absoluto. Sin embargo, primero necesitamos asegurarnos de que tales valores existen. El siguiente teorema hace esto.

Teorema 11.7.3. Teorema del valor extremo

Una función continua f (x, y) definida sobre un conjunto cerrado y acotado D en el plano alcanza un valor máximo absoluto en algún punto de D y un valor mínimo absoluto en algún punto de D. ♦

Ahora que sabemos que toda función continua f definida sobre un conjunto cerrado y acotado alcanza sus valores extremos, necesitamos saber cómo encontrarlos.

Teorema 11.7.4. Determinación de valores extremos de una función de dos variables

Suponga que \(z = f(x, y)\) es una función diferenciable de dos variables definida en un conjunto cerrado y acotado \(D\). Entonces \(f\) alcanzará el valor máximo absoluto y el valor mínimo absoluto, que son, respectivamente, el mayor y el menor de los valores encontrados entre los siguientes:

1. Los valores de \(f\) en los puntos críticos de \(f\) en \(D\).
2. Los valores de \(f\) en la frontera de \(D\).

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La demostración de este teorema es una consecuencia directa del teorema del valor extremo y del teorema de Fermat. En particular, si alguno de los extremos no se encuentra en la frontera de \(D\), entonces se encuentra en un punto interior de \(D\). Pero un punto interior \((x_0, y_0)\) de \(D\) que es un extremo absoluto es también un extremo local; por lo tanto, \((x_0, y_0)\) es un punto crítico de \(f\) por el teorema de Fermat. Por consiguiente, los únicos valores posibles para los extremos globales de \(f\) en \(D\) son los valores extremos de \(f\) en el interior o en la frontera de \(D\).

Estrategia de resolución de problemas: Determinación de valores máximo y mínimo absolutos

Sea \(z = f(x, y)\) una función continua de dos variables definida en un conjunto cerrado y acotado \(D\), y suponga que \(f\) es diferenciable en \(D\). Para encontrar los valores máximos y mínimos absolutos de \(f\) en \(D\), haga lo siguiente:

1. Determine los puntos críticos de \(f\) en \(D\).
2. Calcule \(f\) en cada uno de estos puntos críticos.
3. Determine los valores máximos y mínimos de \(f\) en la frontera de su dominio.
4. Los valores máximos y mínimos de \(f\) ocurrirán en uno de los valores obtenidos en los pasos 2 y 3. ♦

Encontrar los valores máximos y mínimos de \(f\) en la frontera de \(D\) puede ser un desafío. Si la frontera es un rectángulo o un conjunto de líneas rectas, entonces es posible parametrizar los segmentos de línea y determinar los máximos en cada uno de estos segmentos, como se ve en el Ejemplo 11.7.3. El mismo enfoque se puede utilizar para otras formas como círculos y elipses.

Si la frontera del conjunto \(D\) es una curva más complicada definida por una función \(g(x, y) = c\) para alguna constante \(c\), y existen las derivadas parciales de primer orden de \(g\), entonces el método de los multiplicadores de Lagrange puede resultar útil para determinar los extremos de \(f\) en la frontera. El método de los multiplicadores de Lagrange se presenta en Multiplicadores de Lagrange .

Ejemplo ilustrativo 11.7.3. Determinación de extremos absolutos

Utilice la estrategia de resolución de problemas para encontrar los extremos absolutos de una función para determinar los extremos absolutos de cada una de las siguientes funciones:

1. \(f(x, y) = x^2 – 2xy + 4y^2 – 4x – 2y + 24\) en el dominio definido por \(0 \leq x \leq 4\) y \(0 \leq y \leq 2\)
2. \(g(x, y) = x^2 + y^2 + 4x – 6y\) en el dominio definido por \(x^2 + y^2 \leq 16\)

Solución:

a. Utilizando la estrategia de resolución de problemas, el paso 1 implica encontrar los puntos críticos de \(f\) en su dominio. Por lo tanto, primero calculamos \(f_x(x, y)\) y \(f_y(x, y)\), luego igualamos cada una a cero:

\[ \begin{aligned} f_x(x, y) &= 2x – 2y – 4 \\ f_y(x, y) &= -2x + 8y – 2. \end{aligned} \]

Al igualarlas a cero se obtiene el sistema de ecuaciones:

\[ \begin{aligned} 2x – 2y – 4 &= 0 \\ -2x + 8y – 2 &= 0. \end{aligned} \]

La solución a este sistema es \(x = 3\) y \(y = 1\). Por lo tanto, \((3, 1)\) es un punto crítico de \(f\). Calculando \(f(3, 1)\) obtenemos \(f(3, 1) = 17\). El siguiente paso consiste en encontrar los extremos de \(f\) en la frontera de su dominio. La frontera de su dominio consta de cuatro segmentos de línea, como se muestra en la siguiente gráfica:

Figura 11.7.7 Gráfica del dominio de la función \( f(x,y) = x^2 – 2xy + 4y^2 – 4x – 2y + 24 \).

b. Siguiendo la estrategia de resolución de problemas, el paso 1 consiste en encontrar los puntos críticos de \(g\) en su dominio. Por lo tanto, primero calculamos \(g_x(x, y)\) y \(g_y(x, y)\), luego igualamos cada una a cero:

\[ \begin{aligned} g_x(x, y) &= 2x + 4 \\ g_y(x, y) &= 2y – 6. \end{aligned} \]

Al igualarlas a cero se obtiene el sistema de ecuaciones:

\[ \begin{aligned} 2x + 4 &= 0 \\ 2y – 6 &= 0. \end{aligned} \]

La solución a este sistema es \(x = -2\) y \(y = 3\). Por lo tanto, \((-2, 3)\) es un punto crítico de \(g\). Calculando \(g(-2, 3)\), obtenemos:

\[ g(-2, 3) = (-2)^2 + 3^2 + 4(-2) – 6(3) = 4 + 9 – 8 – 18 = -13. \]

El siguiente paso consiste en encontrar los extremos de \(g\) en la frontera de su dominio. La frontera de su dominio consiste en un círculo de radio 4 centrado en el origen, como se muestra en la siguiente gráfica.

Figura 11.7.9 Gráfica del dominio de la función \( g(x,y) = x^2 + y^2 + 4x – 6y \).

La frontera del dominio de \(g\) puede parametrizarse utilizando las funciones \(x(t) = 4 \cos t, y(t) = 4 \sin t\) para \(0 \leq t \leq 2\pi\). Definamos \(h(t) = g(x(t), y(t))\):

\[ \begin{aligned} h(t) &= g(x(t), y(t)) \\ &= (4 \cos t)^2 + (4 \sin t)^2 + 4(4 \cos t) – 6(4 \sin t) \\ &= 16 \cos^2 t + 16 \sin^2 t + 16 \cos t – 24 \sin t \\ &= 16 + 16 \cos t – 24 \sin t. \end{aligned} \]

Al establecer \(h'(t) = 0\) se obtiene:

\[ \begin{aligned} -16 \sin t – 24 \cos t &= 0 \\ -16 \sin t &= 24 \cos t \\ \frac{-16 \sin t}{-16 \cos t} &= \frac{24 \cos t}{-16 \cos t} \\ \tan t &= -\frac{3}{2}. \end{aligned} \]

Esta ecuación tiene dos soluciones en el intervalo \(0 \leq t \leq 2\pi\). Una es \(t = \pi – \arctan\left(\frac{3}{2}\right)\) y la otra es \(t = 2\pi – \arctan\left(\frac{3}{2}\right)\). Para el primer ángulo:

\[ \begin{aligned} \sin t &= \sin\left(\pi – \arctan\left(\tfrac{3}{2}\right)\right) = \sin\left(\arctan\left(\tfrac{3}{2}\right)\right) = \frac{3\sqrt{13}}{13} \\ \cos t &= \cos\left(\pi – \arctan\left(\tfrac{3}{2}\right)\right) = -\cos\left(\arctan\left(\tfrac{3}{2}\right)\right) = -\frac{2\sqrt{13}}{13}. \end{aligned} \]

Por lo tanto, \(x(t) = 4 \cos t = -\frac{8\sqrt{13}}{13}\) y \(y(t) = 4 \sin t = \frac{12\sqrt{13}}{13}\), de modo que \(\left(-\frac{8\sqrt{13}}{13}, \frac{12\sqrt{13}}{13}\right)\) es un punto crítico en la frontera y:

\[ \begin{aligned} g\left(-\frac{8\sqrt{13}}{13}, \frac{12\sqrt{13}}{13}\right) &= \left(-\frac{8\sqrt{13}}{13}\right)^2 + \left(\frac{12\sqrt{13}}{13}\right)^2 + 4\left(-\frac{8\sqrt{13}}{13}\right) – 6\left(\frac{12\sqrt{13}}{13}\right) \\ &= \frac{144}{13} + \frac{64}{13} – \frac{32\sqrt{13}}{13} – \frac{72\sqrt{13}}{13} \\ &= \frac{208 – 104\sqrt{13}}{13} \approx -12.844. \end{aligned} \]

Para el segundo ángulo, \(x(t) = 4 \cos t = \frac{8\sqrt{13}}{13}\) y \(y(t) = 4 \sin t = -\frac{12\sqrt{13}}{13}\), por lo que \(\left(\frac{8\sqrt{13}}{13}, -\frac{12\sqrt{13}}{13}\right)\) es un punto crítico en la frontera y:

\[ g\left(\frac{8\sqrt{13}}{13}, -\frac{12\sqrt{13}}{13}\right) = \frac{208 + 104\sqrt{13}}{13} \approx 44.844. \]

El mínimo absoluto de \(g\) es \(-13\), que se alcanza en el punto \((-2, 3)\), el cual es un punto interior de \(D\). El máximo absoluto de \(g\) es aproximadamente igual a \(44.844\), que se alcanza en el punto de la frontera \(\left(\frac{8\sqrt{13}}{13}, -\frac{12\sqrt{13}}{13}\right)\). Estos son los extremos absolutos de \(g\) en \(D\) como se muestra en la siguiente figura.

Ejercicio de control 11.7.3

Utilice la estrategia de resolución de problemas para encontrar los extremos absolutos de una función para hallar los extremos absolutos de la función

\[ f(x, y) = 4x^2 – 2xy + 6y^2 – 8x + 2y + 3 \]

en el dominio definido por \(0 \leq x \leq 2\) y \(-1 \leq y \leq 3\).

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Ejemplo ilustrativo 11.7.4. Apertura del capítulo: Pelotas de golf rentables

La compañía Pro-T ha desarrollado un modelo de beneficios que depende del número \(x\) de pelotas de golf vendidas al mes (medido en miles) y del número de horas mensuales de publicidad \(y\), de acuerdo con la función

\[ z = f(x, y) = 48x + 96y – x^2 – 2xy – 9y^2, \]

donde \(z\) se mide en miles de dólares. El número máximo de pelotas de golf que se pueden producir y vender es \(50,000\), y el número máximo de horas de publicidad que se pueden contratar es \(25\). Encuentre los valores de \(x\) e \(y\) que maximizan el beneficio y halle el beneficio máximo.

Solución:

Utilizando la estrategia de resolución de problemas, el paso 1 consiste en encontrar los puntos críticos de \(f\) en su dominio. Por lo tanto, primero calculamos \(f_x(x, y)\) y \(f_y(x, y)\), luego igualamos cada una a cero:

\[ \begin{aligned} f_x(x, y) &= 48 – 2x – 2y \\ f_y(x, y) &= 96 – 2x – 18y. \end{aligned} \]

Al igualarlas a cero se obtiene el sistema de ecuaciones:

\[ \begin{aligned} 48 – 2x – 2y &= 0 \\ 96 – 2x – 18y &= 0. \end{aligned} \]

La solución a este sistema es \(x = 21\) y \(y = 3\). Por lo tanto, \((21, 3)\) es un punto crítico de \(f\). Calculando \(f(21, 3)\) obtenemos \(f(21, 3) = 48(21) + 96(3) – 21^2 – 2(21)(3) – 9(3)^2 = 648\).

El dominio de esta función es \(0 \leq x \leq 50\) y \(0 \leq y \leq 25\) como se muestra en la siguiente gráfica.

Figura 11.7.12 Gráfica del dominio de la función \( f(x,y) = 48x + 96y – x^2 – 2xy – 9y^2 \).