11.7 Problemas de máximos / mínimos

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Ejercicios propuestos para el Capítulo 11.7

Para los siguientes ejercicios, encuentre todos los puntos críticos:

310. \(f(x, y) = 1 + x^2 + y^2\)
311. \(f(x, y) = (3x – 2)^2 + (y – 4)^2\)
312. \(f(x, y) = x^4 + y^4 – 16xy\)
313. \(f(x, y) = 15x^3 – 3xy + 15y^3\)

Para los siguientes ejercicios, encuentre los puntos críticos de la función utilizando técnicas algebraicas (completar el cuadrado) o examinando la forma de la ecuación. Verifique sus resultados utilizando la prueba de las derivadas parciales.

314. \(f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2 + 1}\)
315. \(f(x, y) = -x^2 – 5y^2 + 8x – 10y – 13\)
316. \(f(x, y) = x^2 + y^2 + 2x – 6y + 6\)
317. \(f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2} + 1\)

Para los siguientes ejercicios, utilice la prueba de la segunda derivada para clasificar cualquier punto crítico y determinar si cada punto crítico es un máximo, mínimo, punto de silla o ninguno de estos.

318. \(f(x, y) = -x^3 + 4xy – 2y^2 + 1\)
319. \(f(x, y) = x^2y^2\)
320. \(f(x, y) = x^2 – 6x + y^2 + 4y – 8\)
321. \(f(x, y) = 2xy + 3x + 4y\)
322. \(f(x, y) = 8xy(x + y) + 7\)
323. \(f(x, y) = x^2 + 4xy + y^2\)
324. \(f(x, y) = x^3 + y^3 – 300x – 75y – 3\)
325. \(f(x, y) = 9 – x^4y^4\)
326. \(f(x, y) = 7x^2y + 9xy^2\)
327. \(f(x, y) = 3x^2 – 2xy + y^2 – 8y\)
328. \(f(x, y) = 3x^2 + 2xy + y^2\)
329. \(f(x, y) = y^2 + xy + 3y + 2x + 3\)

330. \(f(x, y) = x^2 + xy + y^2 – 3x\)
331. \(f(x, y) = x^2 + 2y^2 – x^2y\)
332. \(f(x, y) = x^2 + y – e^y\)
333. \(f(x, y) = e^{-(x^2 + y^2 + 2x)}\)
334. \(f(x, y) = x^2 + xy + y^2 – x – y + 1\)
335. \(f(x, y) = x^2 + 10xy + y^2\)
336. \(f(x, y) = -x^2 – 5y^2 + 10x – 30y – 62\)
337. \(f(x, y) = 120x + 120y – xy – x^2 – y^2\)
338. \(f(x, y) = 2x^2 + 2xy + y^2 + 2x – 3\)
339. \(f(x, y) = x^2 + x – 3xy + y^3 – 5\)
340. \(f(x, y) = 2xye^{-x^2-y^2}\)

Para los siguientes ejercicios, determine los valores extremos y los puntos de silla. Utilice un CAS para graficar la función.

341. [T] \(f(x, y) = ye^x – e^y\)
342. [T] \(f(x, y) = x \sin(y)\)
343. [T] \(f(x, y) = \sin(x) \sin(y), \quad x \in (0, 2\pi), \quad y \in (0, 2\pi)\)

Encuentre los extremos absolutos de la función dada en el conjunto cerrado y acotado \(R\) indicado.

344. \(f(x, y) = xy – x – 3y\); \(R\) es la región triangular con vértices \((0, 0)\), \((0, 4)\) y \((5, 0)\).
345. Encuentre los valores máximo y mínimo absolutos de \(f(x, y) = x^2 + y^2 – 2y + 1\) en la región \(R = \{(x, y) | x^2 + y^2 \leq 4\}\).
346. \(f(x, y) = x^3 – 3xy – y^3\) en \(R = \{(x, y) : -2 \leq x \leq 2, -2 \leq y \leq 2\}\).
347. \(f(x, y) = \frac{-2y}{x^2 + y^2 + 1}\) en \(R = \{(x, y) : x^2 + y^2 \leq 4\}\).
348. Encuentre tres números positivos cuya suma sea 27, tales que la suma de sus cuadrados sea lo más pequeña posible.
349. Encuentre los puntos en la superficie \(x^2 – yz = 5\) que están más cerca del origen.
350. Encuentre el volumen máximo de una caja rectangular con tres caras en los planos coordenados y un vértice en el primer octante sobre el plano \(x + y + z = 1\).
351. La suma de la longitud y el contorno (perímetro de una sección transversal) de un paquete transportado por un servicio de entrega no puede exceder las 108 pulgadas. Encuentre las dimensiones del paquete rectangular de mayor volumen que puede enviarse.

352. Se va a fabricar una caja de cartón sin tapa con un volumen de \(4\text{ ft}^3\). Encuentre las dimensiones de la caja que requiera la menor cantidad de cartón.
353. Encuentre el punto en la superficie \(f(x, y) = x^2 + y^2 + 10\) más cercano al plano \(x + 2y – z = 0\). Identifique el punto en el plano.
354. Encuentre el punto en el plano \(2x – y + 2z = 16\) que esté más cerca del origen.
355. Una empresa fabrica dos tipos de calzado deportivo: zapatillas para correr y zapatillas de entrenamiento cruzado. El ingreso total de \(x\) unidades de zapatillas para correr e \(y\) unidades de entrenamiento cruzado está dado por \(R(x, y) = -5x^2 – 8y^2 – 2xy + 42x + 102y\), donde \(x\) e \(y\) están expresados en miles de unidades. Encuentre los valores de \(x\) e \(y\) para maximizar el ingreso total.
356. Una empresa de envíos maneja cajas rectangulares siempre que la suma de la longitud, el ancho y la altura de la caja no exceda las 96 pulgadas. Encuentre las dimensiones de la caja que cumpla con esta condición y tenga el mayor volumen.
357. Encuentre el volumen máximo de una lata de refresco cilíndrica de tal manera que la suma de su altura y su circunferencia sea de \(120\text{ cm}\).