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11.4 Planos tangentes y aproximaciones lineales

Objetivos de aprendizaje

En esta sección consideramos el problema de hallar el plano tangente a una superficie, lo cual es análogo a encontrar la ecuación de la recta tangente a una curva cuando la curva está definida por la gráfica de una función de una sola variable, y = f (x). La pendiente de la recta tangente en el punto (x = a) viene dada por m = f ′(a); ¿cuál es entonces la pendiente de un plano tangente? Ya hemos estudiado la ecuación de un plano en Ecuaciones de rectas y planos en el espacio; en esta sección veremos cómo puede aplicarse al problema que nos ocupa.

Planos tangentes

De manera intuitiva, parece claro que, en un plano, solo una recta puede ser tangente a una curva en un punto. Sin embargo, en el espacio tridimensional, muchas rectas pueden ser tangentes en un punto dado. Si estas rectas se encuentran en un mismo plano, determinan el plano tangente en ese punto. Un plano tangente en un punto regular contiene todas las rectas tangentes en ese punto.

Una forma más intuitiva de pensar en un plano tangente es suponer que la superficie es suave en ese punto (sin esquinas). Entonces, una recta tangente a la superficie en ese punto, en cualquier dirección, no presenta cambios bruscos en la pendiente, ya que la dirección varía de manera suave.

Definición

Sea $P_0 = (x_0, y_0, z_0)$ un punto en una superficie $S$, y sea $C$ cualquier curva que pase por $P_0$ y se encuentre enteramente en $S$. Si las líneas tangentes a todas estas curvas $C$ en $P_0$ se encuentran en el mismo plano, entonces este plano se llama el plano tangente a $S$ en $P_0$ (Figura 11.4.1).

Figura 11.4.1 El plano tangente a una superficie 𝑆 en un punto 𝑃0 contiene todas las rectas tangentes a las curvas en 𝑆 que pasan por 𝑃0.

Para que exista un plano tangente a una superficie en un punto de dicha superficie, es suficiente que la función que define la superficie sea diferenciable en ese punto, como se definirá más adelante en esta sección. Aquí definimos el término plano tangente y luego exploramos la idea de manera intuitiva.

Definición

Sea $S$ una superficie definida por una función diferenciable $z = f(x, y)$, y sea $P_0 = (x_0, y_0)$ un punto en el dominio de $f$. Entonces, la ecuación del plano tangente a $S$ en $P_0$ está dada por

$$ z = f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)(x – x_0) + f_y(x_0, y_0)(y – y_0). \hspace{20pt} \text{(11.4.1)}$$

♦

Para ver por qué esta fórmula es correcta, primero busquemos dos líneas tangentes a la superficie $S$. La ecuación de la línea tangente a la curva representada por la intersección de $S$ con la traza vertical dada por $x = x_0$ es $z = f(x_0, y_0) + f_y(x_0, y_0)(y – y_0)$. De manera similar, la ecuación de la línea tangente a la curva representada por la intersección de $S$ con la traza vertical dada por $y = y_0$ es $z = f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)(x – x_0)$. Un vector paralelo a la primera línea tangente es $\mathbf{a} = \mathbf{j} + f_y(x_0, y_0)\mathbf{k}$; un vector paralelo a la segunda línea tangente es $\mathbf{b} = \mathbf{i} + f_x(x_0, y_0)\mathbf{k}$. Podemos realizar el producto cruz de estos dos vectores:

$$ \begin{aligned} \mathbf{a} \times \mathbf{b} &= (\mathbf{j} + f_y(x_0, y_0)\mathbf{k}) \times (\mathbf{i} + f_x(x_0, y_0)\mathbf{k}) \\ &= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & f_y(x_0, y_0) \\ 1 & 0 & f_x(x_0, y_0) \end{vmatrix} \\ &= f_x(x_0, y_0)\mathbf{i} + f_y(x_0, y_0)\mathbf{j} – \mathbf{k}. \end{aligned} $$

Este vector es perpendicular a ambas líneas y, por lo tanto, es perpendicular al plano tangente. Podemos usar este vector como un vector normal al plano tangente, junto con el punto $P_0 = (x_0, y_0, f(x_0, y_0))$ en la ecuación para un plano:

$$ \begin{aligned} \mathbf{n} \cdot ((x – x_0)\mathbf{i} + (y – y_0)\mathbf{j} + (z – f(x_0, y_0))\mathbf{k}) &= 0 \\ (f_x(x_0, y_0)\mathbf{i} + f_y(x_0, y_0)\mathbf{j} – \mathbf{k}) \cdot ((x – x_0)\mathbf{i} + (y – y_0)\mathbf{j} + (z – f(x_0, y_0))\mathbf{k}) &= 0 \\ f_x(x_0, y_0)(x – x_0) + f_y(x_0, y_0)(y – y_0) – (z – f(x_0, y_0)) &= 0. \end{aligned} $$

Al resolver esta ecuación para (z) se obtiene la Ecuación 11.4.1.