| 11. Diferenciación de funciones de varias variables | 11.4 Planos tangentes y aproximaciones lineales |
Ejercicios propuestos para el Capítulo 11.4.4
Para los siguientes ejercicios, encuentre un vector normal unitario a la superficie en el punto indicado.
163. $z = f(x, y) = x^3, \quad (2, -1, 8)$
164. $\ln \left( \frac{x}{y – z} \right) = 0$ cuando $x = y = 1$
Para los siguientes ejercicios, como un repaso útil de las técnicas utilizadas en esta sección, encuentre un vector normal y un vector tangente en el punto $P$.
165. $x^2 + xy + y^2 = 3, \quad P(-1, -1)$
166. $(x^2 + y^2)^2 = 9(x^2 – y^2), \quad P(\sqrt{2}, 1)$
167. $xy^2 – 2x^2 + y + 5x = 6, \quad P(4, 2)$
168. $2x^3 – x^2y^2 = 3x – y – 7, \quad P(1, -2)$
169. $ze^{x^2-y^2} – 3 = 0, \quad P(2, 2, 3)$
Para los siguientes ejercicios, encuentre la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto indicado. (Sugerencia: Despeje $z$ en términos de $x$ e $y$.)
170. $-8x – 3y – 7z = -19, \quad P(1, -1, 2)$
171. $z = -9x^2 – 3y^2, \quad P(2, 1, -39)$
172. $x^2 + 10xyz + y^2 + 8z^2 = 0, \quad P(-1, -1, -1)$
173. $z = \ln(10x^2 + 2y^2 + 1), \quad P(0, 0, 0)$
174. $z = e^{7x^2+4y^2}, \quad P(0, 0, 1)$
175. $xy + yz + zx = 11, \quad P(1, 2, 3)$
176. $x^2 + 4y^2 = z^2, \quad P(3, 2, 5)$
177. $x^3 + y^3 = 3xyz, \quad P(1, 2, \frac{3}{2})$
178. $z = axy, \quad P(1, \frac{1}{a}, 1)$
179. $z = \sin x + \sin y + \sin(x + y), \quad P(0, 0, 0)$
180. $z = h(x, y) = \ln \sqrt{x^2 + y^2}, \quad P(3, 4)$
181. $z = x^2 – 2xy + y^2, \quad P(1, 2, 1)$
Para los siguientes ejercicios, encuentre las ecuaciones paramétricas para la recta normal a la superficie en el punto indicado. (Recuerde que para hallar la ecuación de una recta en el espacio, necesita un punto en la recta, $P_0(x_0, y_0, z_0)$, y un vector $\mathbf{n} = \langle a, b, c \rangle$ que sea paralelo a la recta. Entonces la ecuación de la recta es $x – x_0 = at, y – y_0 = bt, z – z_0 = ct$.)
182. $-3x + 9y + 4z = -4, \quad P(1, -1, 2)$
183. $z = 5x^2 – 2y^2, \quad P(2, 1, 18)$
184. $x^2 – 8xyz + y^2 + 6z^2 = 0, \quad P(1, 1, 1)$
185. $z = \ln(3x^2 + 7y^2 + 1), \quad P(0, 0, 0)$
186. $z = e^{4x^2+6y^2}, \quad P(0, 0, 1)$
187. $z = x^2 – 2xy + y^2$ en el punto $P(1, 2, 1)$
Para los siguientes ejercicios, utilice la figura que se muestra aquí.
188. ¿A qué expresión matemática es igual la longitud del segmento de recta $AC$?
189. ¿A qué expresión matemática es igual la longitud del segmento de recta $BC$?
190. Usando la figura, explique qué representa la longitud del segmento de recta $AB$.
Para los siguientes ejercicios, complete cada tarea.
191. Demuestre que $f(x, y) = e^{xy}x$ es diferenciable en el punto $(1, 0)$.
192. Encuentre el diferencial total de la función $w = e^y \cos(x) + z^2$.
193. Demuestre que $f(x, y) = x^2 + 3y$ es diferenciable en cada punto. En otras palabras, demuestre que $\Delta z = f(x + \Delta x, y + \Delta y) – f(x, y) = f_x \Delta x + f_y \Delta y + \varepsilon_1 \Delta x + \varepsilon_2 \Delta y$, donde tanto $\varepsilon_1$ como $\varepsilon_2$ se aproximan a cero cuando $(\Delta x, \Delta y)$ se aproxima a $(0, 0)$.
194. Encuentre el diferencial total de la función $z = \frac{xy}{y+x}$ donde $x$ cambia de $10$ a $10.5$ y $y$ cambia de $15$ a $13$.
195. Sea $z = f(x, y) = xe^y$. Calcule $\Delta z$ desde $P(1, 2)$ a $Q(1.05, 2.1)$ y luego encuentre el cambio aproximado en $z$ del punto $P$ al punto $Q$. Recuerde que $\Delta z = f(x + \Delta x, y + \Delta y) – f(x, y)$, y que $dz$ y $\Delta z$ son aproximadamente iguales.
196. El volumen de un cilindro circular recto viene dado por $V(r, h) = \pi r^2 h$. Encuentre el diferencial $dV$. Interprete la fórmula geométricamente.
197. Consulte el problema anterior. Use diferenciales para estimar el volumen de aluminio en una lata de aluminio cerrada con un diámetro de $8.0$ cm y una altura de $12$ cm si el aluminio tiene un espesor de $0.04$ cm.
198. Use el diferencial $dz$ para aproximar el cambio en $z = \sqrt{4 – x^2 – y^2}$ a medida que $(x, y)$ se mueve del punto $(1, 1)$ al punto $(1.01, 0.97)$. Compare esta aproximación con el cambio real en la función.
199. Sea $z = f(x, y) = x^2 + 3xy – y^2$. Encuentre el cambio exacto en la función y el cambio aproximado en la función cuando $x$ cambia de $2.00$ a $2.05$ y $y$ cambia de $3.00$ a $2.96$.
200. La aceleración centrípeta de una partícula que se mueve en un círculo viene dada por $a(r, v) = \frac{v^2}{r}$, donde $v$ es la velocidad y $r$ es el radio del círculo. Aproxime el error porcentual máximo al medir la aceleración resultante de errores del $3\%$ en $v$ y del $2\%$ en $r$. (Recuerde que el error porcentual es la relación entre la cantidad de error y la cantidad original. Entonces, en este caso, el error porcentual en $a$ viene dado por $\frac{da}{a}$.)
201. El radio $r$ y la altura $h$ de un cilindro circular recto se miden con posibles errores del $4\%$ y $5\%$, respectivamente. Aproxime el error porcentual máximo posible al medir el volumen. (Recuerde que el error porcentual es la relación entre la cantidad de error y la cantidad original. Por lo tanto, en este caso, el error porcentual en $V$ viene dado por $\frac{dV}{V}$.)
202. El radio de la base y la altura de un cono circular recto se miden como $10$ pulgadas y $25$ pulgadas, respectivamente, con un posible error en la medición de hasta $0.1$ pulgadas cada uno. Use diferenciales para estimar el error máximo en el volumen calculado del cono.
203. La resistencia eléctrica $R$ producida por el cableado de resistencias $R_1$ y $R_2$ en paralelo se puede calcular a partir de la fórmula $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$. Si $R_1$ y $R_2$ se miden en $7\Omega$ y $6\Omega$, respectivamente, y si estas mediciones son precisas dentro de $0.05\Omega$, estime el error máximo posible al calcular $R$. (El símbolo $\Omega$ representa un ohmio, la unidad de resistencia eléctrica.)
204. El área de una elipse con ejes de longitud $2a$ y $2b$ viene dada por la fórmula $A = \pi ab$. Aproxime el cambio porcentual en el área cuando $a$ aumenta un $2\%$ y $b$ aumenta un $1.5\%$.
205. El periodo $T$ de un péndulo simple con pequeñas oscilaciones se calcula a partir de la fórmula $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$, donde $L$ es la longitud del péndulo y $g$ es la aceleración resultante de la gravedad. Suponga que $L$ y $g$ tienen errores de, como máximo, $0.5\%$ y $0.1\%$, respectivamente. Use diferenciales para aproximar el error porcentual máximo en el valor calculado de $T$.
206. La potencia eléctrica $P$ viene dada por $P = \frac{V^2}{R}$, donde $V$ es el voltaje y $R$ es la resistencia. Aproxime el error porcentual máximo al calcular la potencia si se aplica un voltaje de $120$ V a una resistencia de $2000 \, \Omega$ y los posibles errores porcentuales al medir $V$ y $R$ son del $3\%$ y $4\%$, respectivamente.
Para los siguientes ejercicios, encuentre la aproximación lineal de cada función en el punto indicado.
207. $f(x, y) = x\sqrt{y}, \quad P(1, 4)$
208. $f(x, y) = e^x \cos y, \quad P(0, 0)$
209. $f(x, y) = \arctan(x + 2y), \quad P(1, 0)$
210. $f(x, y) = \sqrt{20 – x^2 – 7y^2}, \quad P(2, 1)$
211. $f(x, y, z) = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}, \quad P(3, 2, 6)$
212. [T] Encuentre la ecuación del plano tangente a la superficie $f(x, y) = x^2 + y^2$ en el punto $(1, 2, 5)$, y grafique la superficie y el plano tangente en dicho punto.
213. [T] Encuentre la ecuación para el plano tangente a la superficie en el punto indicado, y grafique la superficie y el plano tangente: $z = \ln(10x^2 + 2y^2 + 1), \quad P(0, 0, 0)$.
214. [T] Encuentre la ecuación del plano tangente a la superficie $z = f(x, y) = \sin(x + y^2)$ en el punto $\left( \frac{\pi}{4}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$, y grafique la superficie y el plano tangente.