| 6.3 Volúmenes de revolución. Capas cilíndricas |

Ejercicios propuestos para el Capítulo 6.3

Para los siguientes ejercicios, encuentre el volumen generado cuando la región entre las dos curvas se rota alrededor del eje dado. Use tanto el método de capas (shell) como el método de arandelas (washer). Use tecnología para graficar las funciones y dibuje una rebanada típica a mano:

114. [T] Delimitada por las curvas \( y = 3x \), \( x = 0 \), y \( y = 3 \) rotada alrededor del eje y.

115. [T] Delimitada por las curvas \( y = 3x \), \( y = 0 \), y \( x = 3 \) rotada alrededor del eje y.

116. [T] Delimitada por las curvas \( y = 3x \), \( y = 0 \), y \( y = 3 \) rotada alrededor del eje x.

117. [T] Delimitada por las curvas \( y = 3x \), \( y = 0 \), y \( x = 3 \) rotada alrededor del eje x.

118. [T] Delimitada por las curvas \( y = 2x^3 \), \( y = 0 \), y \( x = 2 \) rotada alrededor del eje y.

119. [T] Delimitada por las curvas \( y = 2x^3 \), \( y = 0 \), y \( x = 2 \) rotada alrededor del eje x.

Para los siguientes ejercicios, use capas (shells) para encontrar los volúmenes de los sólidos dados. Note que las regiones rotadas se encuentran entre la curva y el eje x y se rotan alrededor del eje y:

120. \( y = 1 – x^2 \), \( x = 0 \), y \( x = 1 \)

121. \( y = 5x^3 \), \( x = 0 \), y \( x = 1 \)

122. \( y = \frac{1}{x} \), \( x = 1 \), y \( x = 100 \)

123. \( y = \sqrt{1 – x^2} \), \( x = 0 \), y \( x = 1 \)

124. \( y = \frac{1}{1 + x^2} \), \( x = 0 \), y \( x = 3 \)

125. \( y = \sin x^2 \), \( x = 0 \), y \( x = \sqrt{\pi} \)

126. \( y = \frac{1}{\sqrt{1 – x^2}} \), \( x = 0 \), y \( x = \frac{1}{2} \)

127. \( y = \sqrt{x} \), \( x = 0 \), y \( x = 1 \)

128. \( y = (1 + x^2)^3 \), \( x = 0 \), y \( x = 1 \)

129. \( y = 5x^3 – 2x^4 \), \( x = 0 \), y \( x = 2 \)

Para los siguientes ejercicios, use capas (shells) para encontrar el volumen generado al rotar las regiones entre la curva dada y \( y = 0 \) alrededor del eje x:

130. \( y = \sqrt{1 – x^2} \), \( x = 0 \), \( x = 1 \) y el eje x

131. \( y = x^2 \), \( x = 0 \), \( x = 2 \) y el eje x

132. \( y = \frac{x^3}{2} \), \( x = 0 \), \( x = 2 \) y el eje x

133. \( y = \frac{2}{x^2} \), \( x = 1 \), \( x = 2 \) y el eje x

134. \( x = \frac{1}{1 + y^2} \), \( y = 1 \), y \( y = 4 \)

135. \( x = \frac{1 + y^2}{y} \), \( y = 1 \), \( y = 4 \) y el eje y

136. \( x = \sqrt{4 – y^2} \), \( x = 0 \), \( y = 0 \)

137. \( x = y^3 – 2y^2 \), \( x = 0 \), \( x = 9 \)

138. \( x = \sqrt{y + 1} \), \( x = 1 \), \( x = 3 \) y el eje x

139. \( x = \sqrt[3]{27y} \) y \( x = \frac{3y}{4} \)

Para los siguientes ejercicios, encuentre el volumen generado cuando la región entre las curvas se rota alrededor del eje dado:

140. \( y = 3 – x \), \( y = 0 \), \( x = 0 \), y \( x = 2 \) rotada alrededor del eje y.

141. \( y = x^3 \), \( x = 0 \), y \( y = 8 \) rotada alrededor del eje y.

142. \( y = x^2 \), \( y = x \), rotada alrededor del eje y.

143. \( y = \sqrt{x} \), \( y = 0 \), y \( x = 1 \) rotada alrededor de la línea \( x = 2 \).

144. \( y = \frac{1}{4}x \), \( x = 1 \), \( x = 2 \) y \( y = 0 \) rotada alrededor de la línea \( x = 4 \).

145. \( y = \sqrt{x} \) y \( y = x^2 \) rotada alrededor del eje y.

146. \( y = \sqrt{x} \) y \( y = x^2 \) rotada alrededor de la línea \( x = 2 \).

147. \( x = y^3 \), \( x = \frac{1}{y} \), \( x = 1 \), y \( x = 2 \) rotada alrededor del eje x.

148. \( x = y^2 \) y \( y = x \) rotada alrededor de la línea \( y = 2 \).

149. [T] Izquierda de \( x = \sin(\pi y) \), derecha de \( y = x \), alrededor del eje y.

Para los siguientes ejercicios, use tecnología para graficar la región. Determine qué método cree que sería más fácil de usar para calcular el volumen generado cuando la función se rota alrededor del eje especificado. Luego, use el método elegido para encontrar el volumen:

150. [T] \( y = x^2 \) y \( y = 4x \) rotada alrededor del eje y.

151. [T] \( y = \cos(\pi x) \), \( y = \sin(\pi x) \), \( x = \frac{1}{4} \), y \( x = \frac{5}{4} \) rotada alrededor del eje y. Este ejercicio requiere técnicas avanzadas. Puede usar tecnología para realizar la integración.

152. [T] \( y = x^2 – 2x \), \( x = 2 \), y \( x = 4 \) rotada alrededor del eje y.

153. [T] \( y = x^2 – 2x \), \( x = 2 \), y \( x = 4 \) rotada alrededor del eje x.

154. [T] \( y = 3x^3 – 2 \), \( y = x \), y \( x = 2 \) rotada alrededor del eje x.

155. [T] \( y = 3x^3 – 2 \), \( y = x \), y \( x = 2 \) rotada alrededor del eje y.

156. [T] \( x = \sin(\pi y^2) \) y \( x = \sqrt{2y} \) rotada alrededor del eje x.

157. [T] \( x = y^2 \), \( x = y^2 – 2y + 1 \), y \( x = 2 \) rotada alrededor del eje y.

Para los siguientes ejercicios, use el método de capas (shells) para aproximar los volúmenes de algunos objetos comunes, los cuales están representados en las figuras adjuntas:

158. Use el método de capas para encontrar el volumen de una esfera de radio \( r \).

159. Use el método de capas para encontrar el volumen de un cono con radio \( r \) y altura \( h \).

160. Use el método de capas para encontrar el volumen de un elipsoide \( \left(\frac{x^2}{a^2}\right) + \left(\frac{y^2}{b^2}\right) = 1 \) rotado alrededor del eje x.

161. Use el método de capas para encontrar el volumen de un cilindro con radio \( r \) y altura \( h \).

162. Use el método de capas para encontrar el volumen del donut (toro) creado cuando el círculo \(x^2 + y^2 = 4\) se rota alrededor de la línea \(x = 4\).

163. Considere la región encerrada por las gráficas de \(y = f(x)\), \(y = 1 + f(x)\), \(x = 0\), \(y = 0\), y \(x = a > 0\). ¿Cuál es el volumen del sólido generado cuando esta región se rota alrededor del eje y? Asuma que la función está definida sobre el intervalo \([0, a]\).

164. Considere la función \(y = f(x)\), la cual decrece desde \(f(0) = b\) hasta \(f(1) = 0\). Establezca las integrales para determinar el volumen, usando tanto el método de capas como el método de discos, del sólido generado cuando esta región, con \(x = 0\) y \(y = 0\), se rota alrededor del eje y. Pruebe que ambos métodos aproximan el mismo volumen. ¿Cuál método es más fácil de aplicar? (Pista: Ya que \(f(x)\) es uno-a-uno, existe una función inversa \(f^{-1}(y)\).)