| 5.9 Integrales trigonométricas |

Ejercicios propuestos para el Capítulo 9.1

      Complete el espacio en blanco para que la afirmación sea verdadera:

69. $\sin^2 x \, +$ ______ $= 1$

70. $\sec^2 x \, – 1 =$ ______

      Use una identidad para reducir la potencia de la función trigonométrica a una función trigonométrica elevada a la primera potencia.

71. $\sin^2 x =$ ______

72. $\cos^2 x =$ ______

        Evalúe cada una de las siguientes integrales mediante la sustitución u:

73. $\int \sin^3 x \cos x \, dx$

74. $\int \sqrt{\cos x} \sin x \, dx$

75. $\int \tan^5 (2x) \sec^2 (2x) \, dx$

76. $\int \sin^7 (2x) \cos (2x) \, dx$

77. $\int \tan \left( \frac{x}{2} \right) \sec^2 \left( \frac{x}{2} \right) \, dx$

78. $\int \tan^2 x \sec^2 x \, dx$

      Calcule las siguientes integrales usando las directrices para integrar potencias de funciones trigonométricas. Use un sistema algebraico computacional (CAS) para verificar las soluciones. (Nota: Algunos de los problemas se pueden resolver utilizando técnicas de integración aprendidas previamente):

79. $\int \sin^3 x \, dx$

80. $\int \cos^3 x \, dx$

81. $\int \sin x \cos x \, dx$

82. $\int \cos^5 x \, dx$

83. $\int \sin^5 x \cos^2 x \, dx$

84. $\int \sin^3 x \cos^3 x \, dx$

85. $\int \sqrt{\sin x \cos x} \, dx$

86. $\int \sqrt{\sin x \cos^3 x} \, dx$

87. $\int \sec x \tan x \, dx$

88. $\int \tan (5x) \, dx$

89. $\int \tan^2 x \sec x \, dx$

90. $\int \tan x \sec^3 x \, dx$

91. $\int \sec^4 x \, dx$

92. $\int \cot x \, dx$

93. $\int \csc x \, dx$

94. $\int \frac{\tan^3 x}{\sqrt{\sec x}} \, dx$

        Para los siguientes ejercicios, encuentre una fórmula general para las integrales:

95. $\int \sin^2 ax \cos ax \, dx$

96. $\int \sin ax \cos ax \, dx$

      Use las fórmulas del ángulo doble para evaluar las siguientes integrales:

97. $\int_0^{\pi} \sin^2 x \, dx$

98. $\int_0^{\pi} \sin^4 x \, dx$

99. $\int \cos^2 3x \, dx$

100. $\int \sin^2 x \cos^2 x \, dx$

101. $\int \sin^2 x \, dx + \int \cos^2 x \, dx$

102. $\int \sin^2 x \cos^2 (2x) \, dx$

        Para los siguientes ejercicios, evalúe las integrales definidas. Exprese las respuestas en forma exacta siempre que sea posible:

103. $\int_0^{2\pi} \cos x \sin 2x \, dx$

104. $\int_0^{\pi} \sin 3x \sin 5x \, dx$

105. $\int_0^{\pi} \cos (99x) \sin (101x) \, dx$

106. $\int_{-\pi}^{\pi} \cos^2 (3x) \, dx$

107. $\int_0^{2\pi} \sin x \sin (2x) \sin (3x) \, dx$

108. $\int_0^{4\pi} \cos (x/2) \sin (x/2) \, dx$

109. $\int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{\cos^3 x}{\sqrt{\sin x}} \, dx$ (Redondee esta respuesta a tres lugares decimales.)

110. $\int_{-\pi/3}^{\pi/3} \sqrt{\sec^2 x – 1} \, dx$

111. $\int_0^{\pi/2} \sqrt{1 – \cos (2x)} \, dx$

112. Halle el área de la región delimitada por las gráficas de las ecuaciones \(y = \sin x\), \(y = \sin^3 x\), \(x = 0\), y \(x = \frac{\pi}{2}\).

113. Halle el área de la región delimitada por las gráficas de las ecuaciones \(y = \cos^2 x\), \(y = \sin^2 x\), \(x = -\frac{\pi}{4}\), y \(x = \frac{\pi}{4}\).

114. Una partícula se mueve en línea recta con la función de velocidad \(v(t) = \sin(\omega t) \cos^2(\omega t)\). Encuentre su función de posición \(x = f(t)\) si \(f(0) = 0\).

115. Halle el valor promedio de la función \(f(x) = \sin^2 x \cos^3 x\) sobre el intervalo \([-\pi, \pi]\).

      Para los siguientes ejercicios, resuelva las ecuaciones diferenciales:

116. $\frac{dy}{dx} = \sin^2 x$. La curva pasa por el punto (0, 0).

117. $\frac{dy}{d\theta} = \sin^4 (\pi \theta)$

118. Halle la longitud de la curva \(y = \ln(\csc x)\), \(\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{2}\).

119. Halle la longitud de la curva \(y = \ln(\sin x)\), \(\frac{\pi}{3} \le x \le \frac{\pi}{2}\).

120. Halle el volumen generado al girar la curva \(y = \cos(3x)\) alrededor del eje x, \(0 \le x \le \frac{\pi}{36}\).

Para los siguientes ejercicios, use esta información: El producto interno de dos funciones \(f\) y \(g\) sobre \([a, b]\) está definido por \(f(x) \cdot g(x) = \langle f, g \rangle = \int_a^b f \cdot g \, dx\). Dos funciones distintas \(f\) y \(g\) son ortogonales si \(\langle f, g \rangle = 0\):

121. Muestre que \(\{\sin(2x), \cos(3x)\}\) son ortogonales sobre el intervalo \([-\pi, \pi]\).

122. Evalúe \(\int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx) \cos(nx) \, dx\).

123. Integre \(y’ = \sqrt{\tan x \sec^4 x}\).

Para cada par de integrales, determine cuál es más difícil de evaluar. Explique su razonamiento:

124. $\int \sin^{456} x \cos x \, dx$ o $\int \sin^2 x \cos^2 x \, dx$

125. $\int \tan^{350} x \sec^2 x \, dx$ o $\int \tan^{350} x \sec x \, dx$