| 5. La integral y Técnicas de integración |

Integración por partes para integrales definidas

Ahora que hemos utilizado la integración por partes con éxito para evaluar integrales indefinidas, dirigimos nuestra atención a integrales definidas. La técnica de integración es realmente la misma, solo que agregamos un paso para evaluar la integral en los límites superior e inferior de integración.

TEOREMA 5.8.2. Integración por partes para integrales definidas

Sean u = f (x) y v = g(x) funciones con derivadas continuas en [a, b]. Entonces

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EJEMPLO ILUSTRATIVO 5.8_6. Encontrar el área de una región

Encuentre el área de la región delimitada arriba por la gráfica de y = tan⁻¹x y debajo por el eje x en el intervalo [0, 1].

Solución:
Esta región se muestra en la Figura 5.8_1. Para encontrar el área, debemos evaluar

Figura 5.8_1 Para encontrar el área de la región sombreada, tenemos que usar la integración por partes.

Para esta integral, elija u = tan⁻¹x y dv = dx, haciendo así du = 1/(x² + 1)dx y v = x. Después de aplicar la fórmula de integración por partes,Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-112.png , obtenemos

Utilice la sustitución u para obtener

Así,

En este punto, puede que no sea una mala idea hacer una “verificación de la realidad” sobre la razonabilidad de nuestra solución. Dado que π/4 − (1/2)ln2 ≈ 0.4388, y de la Figura 5.8_1 esperamos que nuestra área sea ligeramente menor que 0.5, esta solución parece ser razonable.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 5.8_7. Encontrar el volumen de un sólido de revolución

Encuentre el volumen del sólido obtenido al girar la región delimitada por la gráfica de f (x) = eˣ, el eje x, el eje y y la recta x = 1 alrededor del eje y.

Solución:
La mejor opción para resolver este problema es usar el método de  rebanadas. Comience dibujando la región a girar, junto con un rectángulo típico (vea el siguiente gráfico).

Figura 5.8_2 Podemos usar el método de rebanadas para encontrar un volumen de revolución.

Para encontrar el volumen usando rebamadas, debemos evaluar

Para hacer esto, sea u = x y dv = e⁻ˣ. Estas opciones conducen a du = dx y v = ∫e⁻ˣ = −e⁻ˣ. Sustituyendo enEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-112.png, obtenemos

Análisis

Nuevamente, es una buena idea verificar la razonabilidad de nuestra solución. Observamos que el sólido tiene un volumen ligeramente menor que el de un cilindro de radio 1 y una altura de 1/e añadido al volumen de un cono de radio base 1 y una altura de 1 − 1/e. En consecuencia, el sólido debe tener un volumen un poco menor que

Desde 2π − 4π/e ≈ 1.6603, vemos que nuestro volumen calculado es razonable.

Ejercicio de control 5.8.4

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1 comentario en “Integración por partes”

  1. gerardo medina diaz

    existe un ejercicios semejante al anterior , salvo que tiene como denominador un binomio
    el cual indico este ejemplos es ∫▒(x^3 e^(x^2 ))/(x^2+1)^2 dx.
    solicito su apoyo para poder resolverlo, es la fecha que no doy con la solución
    agradezco su atención y gracias

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