| 5. La integral y Técnicas de integración |

Integración por partes para integrales definidas

Ahora que hemos utilizado la integración por partes con éxito para evaluar integrales indefinidas, dirigimos nuestra atención a integrales definidas. La técnica de integración es realmente la misma, solo que agregamos un paso para evaluar la integral en los límites superior e inferior de integración.

TEOREMA 5.8.2. Integración por partes para integrales definidas

Sean u = f (x) y v = g(x) funciones con derivadas continuas en [a, b]. Entonces

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EJEMPLO ILUSTRATIVO 5.8_6. Encontrar el área de una región

Encuentre el área de la región delimitada arriba por la gráfica de y = tan⁻¹x y debajo por el eje x en el intervalo [0, 1].

Solución:
Esta región se muestra en la Figura 5.8_1. Para encontrar el área, debemos evaluar

Para esta integral, elija u = tan⁻¹x y dv = dx, haciendo así du = 1/(x² + 1)dx y v = x. Después de aplicar la fórmula de integración por partes, , obtenemos

Utilice la sustitución u para obtener

Así,

En este punto, puede que no sea una mala idea hacer una “verificación de la realidad” sobre la razonabilidad de nuestra solución. Dado que π/4 − (1/2)ln2 ≈ 0.4388, y de la Figura 5.8_1 esperamos que nuestra área sea ligeramente menor que 0.5, esta solución parece ser razonable. ◊

EJEMPLO ILUSTRATIVO 5.8_7. Encontrar el volumen de un sólido de revolución

Encuentre el volumen del sólido obtenido al girar la región delimitada por la gráfica de f (x) = e ⁻ˣ, el eje x, el eje y y la recta x = 1 alrededor del eje y.

Solución:
La mejor opción para resolver este problema es usar el método de  rebanadas. Comience dibujando la región a girar, junto con un rectángulo típico (vea el siguiente gráfico).

Para encontrar el volumen usando rebamadas, debemos evaluar

Para hacer esto, sea u = x y dv = e⁻ˣ. Estas opciones conducen a du = dx y v = ∫e⁻ˣ = −e⁻ˣ. Sustituyendo en, obtenemos

Análisis

Nuevamente, es una buena idea verificar la razonabilidad de nuestra solución. Observamos que el sólido tiene un volumen ligeramente menor que el de un cilindro de radio 1 y una altura de 1/e añadido al volumen de un cono de radio base 1 y una altura de 1 − 1/e. En consecuencia, el sólido debe tener un volumen un poco menor que

Desde 2π − 4π/e ≈ 1.6603, vemos que nuestro volumen calculado es razonable. ◊

Ejercicio de control 5.8.4

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