| 5. La integral y Técnicas de integración | Ejercicios propuestos para el Capítulo 5.8 |

5.8 Integración por partes

Objetivos de aprendizaje:

5.8.1. Reconoce cuándo usar la integración por partes.
5.8.2. Use la fórmula de integración por partes para resolver problemas de integración.
5.8.3. Use la fórmula de integración por partes para integrales definidas.

    Por ahora tenemos un procedimiento bastante completo sobre cómo evaluar muchas integrales básicas. Sin embargo, aunque podemos integrar, por ejemplo,

usando la sustitución, u = x², algo tan similar como

nos desafía. Muchos estudiantes quieren saber si existe una regla del producto para la integración, no existe, pero existe una técnica basada en la regla de diferenciación del producto que nos permite intercambiar una integral por otra. Llamamos a esta técnica integración por partes.

La fórmula de integración por partes

Si, h(x) = f (x) g(x), entonces usando la regla del producto, obtenemos h′(x) = f ′(x) g(x) + g′(x) f (x) . Aunque al principio pueda parecer contraproducente, integremos ahora ambos lados de esta ecuación:

Esto nos da

Ahora despejamos

Al hacer las sustituciones u = f (x) y v = g(x), que a su vez hacen du = f ′(x)dx y dv = g′(x)dx, tenemos la forma más compacta

TEOREMA 5.8.1. Integración por partes

Sea \( u = f(x) \) y \( v = g(x) \) funciones con derivadas continuas. Entonces, la fórmula de integración por partes para la integral que involucra estas dos funciones es: \[ \int u \, dv = uv \, – \int v \, du. \]

♦ 

       La ventaja de aplicar la fórmula de integración por partes es que podemos usarla para intercambiar una integral por otra, posiblemente más sencilla de integrar. El siguiente ejemplo ilustra su uso.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 5.8_1. Uso de integración por partes

Utilice la integración por partes con u = x y dv = senxdx para evaluar

Solución:
Al elegir u = x, tenemos du = dx. Como dv = senxdx, entonces

Es útil realizar un seguimiento de estos valores de la siguiente manera:

La aplicación de la fórmula de integración por partes da como resultado

Análisis

En este punto, probablemente hay algunos elementos que necesitan aclaración. En primer lugar, es posible que tenga curiosidad sobre lo que habría sucedido si hubiéramos elegido u = senx y dv = x. Si lo hubiéramos hecho, entonces tendríamos du = cosxdx y v = 12x². Por lo tanto, después de aplicar la integración por partes, tenemos

Desafortunadamente, con la nueva integral, no estamos en una mejor posición que antes. Es importante tener en cuenta que cuando aplicamos la integración por partes, es posible que debamos probar varias opciones para u y dv antes de encontrar una opción que funcione.

En segundo lugar, puede preguntarse por qué, cuando encontramos

no tomamos v = −cosx + K. Para ver que no hay diferencia, podemos reelaborar el problema usando v = −cosx + K:

Como puede ver, no hay diferencia en la solución final.

Por último, podemos verificar para asegurarnos de que nuestra antiderivada sea correcta diferenciando −xcosx + senx + C:

Y se obtiene el integrando. ♦

Ejercicio de control 5.8.1

Evalúe ∫xe^2xdx usando la fórmula de integración por partes con u = x y dv = e^2xdx. ♦

       La pregunta natural para hacer en este momento es: ¿Cómo sabemos cómo elegir u y dv? A veces es una cuestión de prueba y error; sin embargo, el acrónimo LIATE a menudo puede ayudar a eliminar algunas conjeturas de nuestras elecciones. Este acrónimo significa funciones Logarítmicas, funciones trigonométricas Inversas, funciones Algebraicas, funciones Trigonométricas y funciones Exponenciales. Esta mnemotécnica sirve como ayuda para determinar una elección adecuada para u.
El tipo de función en la integral que aparece primero en la lista debería ser nuestra primera opción de u. Por ejemplo, si una integral contiene una función logarítmica y una función algebraica, deberíamos elegir u para ser la función logarítmica, porque L viene antes que A en LIATE.  Cuando hemos elegido u, dv se selecciona para que sea la parte restante de la función que se integrará, junto con dx.
¿Por qué funciona este mnemónico? Recuerde que cualquier cosa que elijamos para ser dv debe ser algo que podamos integrar. Dado que no tenemos fórmulas de integración que nos permitan integrar funciones logarítmicas simples y funciones trigonométricas inversas, tiene sentido que no se elijan como valores para dv. En consecuencia, deberían estar a la cabeza de la lista como opciones para u. Por lo tanto, ponemos LI al comienzo de la mnemónica. (Podríamos haber comenzado fácilmente con IL, ya que estos dos tipos de funciones no aparecerán juntas en un problema de integración por partes). Las funciones exponenciales y trigonométricas se encuentran al final de nuestra lista porque son bastante fáciles de integrar y sin buenas elecciones para dv. Por lo tanto, tenemos TE al final de nuestra mnemotécnica. (Podríamos haber usado ET con la misma facilidad al final, ya que cuando este tipo de funciones aparecen juntas, generalmente no importa cuál es u y cuál es dv.) Las funciones algebraicas son generalmente fáciles de integrar y diferenciar , y vienen en medio de la mnemotécnica.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 5.8_2. Uso de integración por partes

Evaluar

Solución:
Comience reescribiendo la integral:

Como esta integral contiene la función algebraica x⁻³ y la función logarítmica lnx, elija u = lnx, ya que L viene antes que A en LIATE. Después de haber elegido u = lnx, debemos elegir dv = x⁻³dx.

Luego, como u = lnx, tenemos du = (1/x)dx. También,

Resumiendo

Sustituyendo en la fórmula de integración por partes ∫udv = uv − ∫vdu se obtiene

♦

Ejercicio de control 5.8.2

Evalúe ∫xlnxdx. ♦

       En algunos casos, como en los dos ejemplos siguientes, puede ser necesario aplicar la integración por partes más de una vez.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 5.8_3. Aplicación de integración por partes más de una vez

Evaluar

Solución:
Usando LIATE, elija u = x² y dv = e³ˣdx. Por lo tanto, du = 2xdx y

Por lo tanto,

Sustituyendo en la fórmula de integración por partes ∫udv = uv − ∫vdu, se obtiene

Todavía no podemos integrar 

directamente, pero la integral ahora tiene una potencia menor en x. Podemos evaluar esta nueva integral utilizando nuevamente la integración por partes. Para hacer esto, elija u = x y dv = (2/3)e³ˣdx. Por lo tanto, du = dx y

Ahora tenemos

Sustituyendo nuevamente en la fórmula de integración por partes, se obtiene

Después de evaluar la última integral y simplificar, obtenemos

♦

EJEMPLO ILUSTRATIVO 5.8_4. Aplicación de integración por partes cuando LIATE no funciona

Evaluar

Solución:
Si usamos una interpretación estricta del LIATE mnemónico para elegir u, terminamos con u = t³ y dv = e^(t²)dt. Lamentablemente, esta opción no funcionará porque no podemos evaluar ∫e^(t²)dt. Sin embargo, dado que podemos evaluar ∫te^(t²)dt, podemos intentar elegir u = t² y te^(t²)dt. Con estas opciones tenemos

Por lo tanto, obtenemos

♦

EJEMPLO ILUSTRATIVO 5.8_5. Aplicación de integración por partes más de una vez

Evaluar

Solución:
Esta integral parece tener solo una función, es decir, sen(lnx), sin embargo, siempre podemos usar la función constante 1 como la otra función. En este ejemplo, elija u = sen(lnx) y dv = 1dx. (La decisión de usar u = sen(lnx) es fácil. No podemos elegir dv = sen(lnx)dx porque si pudiéramos integrarlo, ¡no estaríamos usando la integración por partes en primer lugar!) En consecuencia, aplicando la regla de la cadena, du = (1/x)cos(lnx)dx y v = ∫1dx = x. Después de aplicar la integración por partes a la integral y simplificar, tenemos

∫sen(lnx)dx = xsen(lnx) − ∫cos(lnx)dx.

Desafortunadamente, este proceso nos deja con una nueva integral que es muy similar a la original. Sin embargo, veamos qué sucede cuando volvemos a aplicar la integración por partes. Esta vez, elija u = cos(lnx) y dv = 1dx, obteniendo du = – (1/x)sen(lnx)dx y v = ∫1dx = x. Sustituyendo, tenemos

∫sen(lnx)dx = xsen(lnx) – (xcos(lnx) − ∫−sen (lnx)dx)

Después de simplificar, obtenemos

∫sen(lnx)dx = xsen(lnx) – xcos(lnx) − ∫sen (lnx)dx

La última integral ahora es la misma que la original. Puede parecer que simplemente hemos ido en un círculo, pero ahora podemos evaluar la integral. Para ver cómo hacer esto más claramente, sustituya I = ∫sen(lnx)dx. Por lo tanto, la ecuación se convierte en

I = xsen(lnx) – xcos(lnx) − I.

Ahora, agregue I a ambos lados de la ecuación para obtener

2I = xsen(lnx) – xcos(lnx).

A continuación, divida por 2:

Sustituyendo  I = ∫sen(lnx)dx nuevamente, tenemos

Análisis

Si este método se siente un poco extraño al principio, podemos verificar la respuesta por diferenciación:

♦

Ejercicio de control 5.8.3

Evalúe ∫x²senxdx. ♦

Integración por partes para integrales definidas

Ahora que hemos utilizado la integración por partes con éxito para evaluar integrales indefinidas, dirigimos nuestra atención a integrales definidas. La técnica de integración es realmente la misma, solo que agregamos un paso para evaluar la integral en los límites superior e inferior de integración.

TEOREMA 5.8.2. Integración por partes para integrales definidas

Sean \(u = f(x)\) y \(v = g(x)\) funciones con derivadas continuas en \([a, b]\). Entonces, \[ \int_a^b u \, dv = uv\Big|_a^b – \int_a^b v \, du. \]

♦

EJEMPLO ILUSTRATIVO 5.8_6. Encontrar el área de una región

Encuentre el área de la región delimitada arriba por la gráfica de y = tan⁻¹x y debajo por el eje x en el intervalo [0, 1].

Solución:
Esta región se muestra en la Figura 5.8_1. Para encontrar el área, debemos evaluar

Figura 5.8_1 Para encontrar el área de la región sombreada, tenemos que usar la integración por partes.

Para esta integral, elija u = tan⁻¹x y dv = dx, haciendo así du = 1/(x² + 1)dx y v = x. Después de aplicar la fórmula de integración por partes, , obtenemos

Utilice la sustitución u para obtener

Así,

En este punto, puede que no sea una mala idea hacer una “verificación de la realidad” sobre la razonabilidad de nuestra solución. Dado que π/4 − (1/2)ln2 ≈ 0.4388, y de la Figura 5.8_1 esperamos que nuestra área sea ligeramente menor que 0.5, esta solución parece ser razonable. ♦

EJEMPLO ILUSTRATIVO 5.8_7. Encontrar el volumen de un sólido de revolución

Encuentre el volumen del sólido obtenido al girar la región delimitada por la gráfica de f (x) = e ⁻ˣ, el eje x, el eje y y la recta x = 1 alrededor del eje y.

Solución:
La mejor opción para resolver este problema es usar el método de  rebanadas. Comience dibujando la región a girar, junto con un rectángulo típico (vea el siguiente gráfico).

Figura 5.8_2 Podemos usar el método de rebanadas para encontrar un volumen de revolución.

Para encontrar el volumen usando rebamadas, debemos evaluar

Para hacer esto, sea u = x y dv = e⁻ˣ. Estas opciones conducen a du = dx y v = ∫e⁻ˣ = −e⁻ˣ. Sustituyendo en, obtenemos

Análisis

Nuevamente, es una buena idea verificar la razonabilidad de nuestra solución. Observamos que el sólido tiene un volumen ligeramente menor que el de un cilindro de radio 1 y una altura de 1/e añadido al volumen de un cono de radio base 1 y una altura de 1 − 1/e. En consecuencia, el sólido debe tener un volumen un poco menor que

Desde 2π − 4π/e ≈ 1.6603, vemos que nuestro volumen calculado es razonable. ♦

Ejercicio de control 5.8.4

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