En esta sección investigamos las integrales dobles y mostramos cómo podemos utilizarlas para hallar el volumen de un sólido sobre una región rectangular en el plano (xy). Muchas de las propiedades de las integrales dobles son similares a las que ya hemos estudiado para las integrales simples.
Volúmenes e integrales dobles
Comenzamos considerando el espacio situado sobre una región rectangular \( R \).
Considere una función continua \( f(x,y) \geq 0 \) de dos variables definida
en el rectángulo cerrado \( R \):
\( R = [a,b] \times [c,d] = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid a \leq x \leq b,\; c \leq y \leq d \}. \)
Aquí, \( [a,b] \times [c,d] \) denota el producto cartesiano de los dos intervalos
cerrados \( [a,b] \) y \( [c,d] \). Este conjunto consiste en pares ordenados
\( (x,y) \) tales que \( a \leq x \leq b \) y \( c \leq y \leq d \).
La gráfica de \( f \) representa una superficie situada sobre el plano \( xy \),
cuya ecuación es \( z = f(x,y) \), donde \( z \) es la altura de la superficie
en el punto \( (x,y) \).
Sea \( S \) el sólido que se encuentra sobre \( R \) y bajo la gráfica de \( f \)
(Figura 12.1.1). La base del sólido es el rectángulo \( R \) en el plano \( xy \).
Queremos hallar el volumen \( V \
Figura 12.1.1 La gráfica de f (x, y) sobre el rectángulo R en el plano xy es una superficie curva.
Dividimos la región \( R \) en pequeños rectángulos \( R_{ij} \),
cada uno con área \( \Delta A \) y con lados \( \Delta x \) y \( \Delta y \)
(Figura 12.1.2). Esto se logra dividiendo el intervalo \( [a,b] \) en \( m \)
subintervalos y dividiendo el intervalo \( [c,d] \) en \( n \) subintervalos.
Por lo tanto,
\( \Delta x = \dfrac{b-a}{m}, \quad
\Delta y = \dfrac{d-c}{n}, \quad
\Delta A = \Delta x \, \Delta y. \)
Figura 12.1.2 El rectángulo R está dividido en pequeños rectángulos Rij, cada uno con área ΔA.
El volumen de una caja rectangular delgada situada sobre \( R_{ij} \) es
\( f(x_{ij}^*, y_{ij}^*) \, \Delta A \),
donde \( (x_{ij}^*, y_{ij}^*) \) es un punto de muestreo arbitrario en cada
\( R_{ij} \), como se muestra en la siguiente figura.
Figura 12.1.3 Caja rectangular delgada situada sobre \( R_{ij} \)
con altura \( f(x_{ij}^*, y_{ij}^*) \).
Utilizando la misma idea para todos los subrectángulos, obtenemos un volumen aproximado
del sólido \( S \) dado por
\[
V \approx \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n}
f(x_{ij}^*, y_{ij}^*) \, \Delta A.
\]
Esta suma se conoce como una suma de Riemann doble y puede utilizarse para aproximar
el valor del volumen del sólido. Aquí, la doble suma significa que para cada subrectángulo
evaluamos la función en el punto elegido, la multiplicamos por el área de cada rectángulo
y luego sumamos todos los resultados.
Como hemos visto en el caso de una variable, obtenemos una mejor aproximación al volumen
real cuando \( m \) y \( n \) se hacen más grandes.
\[
V =
\lim_{m,n \to \infty}
\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n}
f(x_{ij}^*, y_{ij}^*) \, \Delta A
\]
o bien
\[
V =
\lim_{\Delta x, \Delta y \to 0}
\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n}
f(x_{ij}^*, y_{ij}^*) \, \Delta A.
\]
Observe que la suma se aproxima a un límite en ambos casos, y dicho límite es el volumen
del sólido cuya base es \( R \). Ahora estamos listos para definir la integral doble.
Definición
La integral doble de la función \( f(x,y) \) sobre la región rectangular \( R \)
en el plano \( xy \) se define como
\[
\iint_{R} f(x,y)\, dA =
\lim_{m,n \to \infty}
\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n}
f(x_i^*, y_j^*) \, \Delta A. \hspace{20pt} \text{(12.1.1)}
\]
♦
Si \( f(x,y) \geq 0 \), entonces el volumen \( V \) del sólido \( S \), que se encuentra
sobre \( R \) en el plano \( xy \) y bajo la gráfica de \( f \), es la integral doble
de la función \( f(x,y) \) sobre el rectángulo \( R \).
Si la función toma valores negativos en algún punto, entonces la integral doble puede
considerarse como un “volumen con signo”, de manera similar a como se definió el área
neta con signo en La integral definida.
Ejemplo ilustrativo 12.1.1. Planteamiento de una integral doble y su aproximación mediante sumas dobles
Considere la función \( z = f(x, y) = 3x^2 – y \) sobre la región rectangular \( R = [0, 2] \times [0, 2] \). (Figura 12.1.4)
Plantee una integral doble para hallar el valor del volumen con signo del sólido \( S \) que se encuentra sobre \( R \) y “debajo” de la gráfica de \( f \).
Divida \( R \) en cuatro cuadrados con \( m = n = 2 \), y elija el punto de muestra como la esquina superior derecha de cada cuadrado: \( (1, 1), (2, 1), (1, 2) \) y \( (2, 2) \) (Figura 12.1.5) para aproximar el volumen con signo del sólido \( S \) que se encuentra sobre \( R \) y “debajo” de la gráfica de \( f \).
Divida \( R \) en cuatro cuadrados con \( m = n = 2 \), y elija el punto de muestra como el punto medio de cada cuadrado: \( (1/2, 1/2), (3/2, 1/2), (1/2, 3/2) \) y \( (3/2, 3/2) \) para aproximar el volumen con signo.
Figura 12.1.4 La función \( z = f(x,y) \) graficada sobre la región rectangular
\( R = [0,2] \times [0,2] \).
Solución:
a. Como podemos observar, la función \( z = f(x, y) = 3x^2 – y \) se encuentra tanto por encima como por debajo del plano. Para hallar el volumen con signo de \( S \), debemos dividir la región \( R \) en pequeños rectángulos \( R_{ij} \), cada uno con un área \( \Delta A \) y con lados \( \Delta x \) y \( \Delta y \), y elegir puntos de muestra \( (x_{ij}^*, y_{ij}^*) \) en cada \( R_{ij} \). Por lo tanto, se plantea una integral doble como:
$$V = \iint_R (3x^2 – y) \, dA = \lim_{m, n \to \infty} \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n [3(x_{ij}^*)^2 – y_{ij}^*] \Delta A.$$
b. Al aproximar el volumen con signo mediante una suma de Riemann con \( m = n = 2 \), tenemos que \( \Delta A = \Delta x \Delta y = 1 \times 1 = 1 \). Además, los puntos de muestra son \( (1, 1), (2, 1), (1, 2) \) y \( (2, 2) \), como se muestra en la siguiente figura.
Figura 12.1.5 Subrectángulos de la región rectangular
\( R = [0,2] \times [0,2] \).
c. Al aproximar el volumen con signo mediante una suma de Riemann con \( m = n = 2 \), tenemos que \( \Delta A = \Delta x \Delta y = 1 \times 1 = 1 \). En este caso, los puntos de muestra son \( (1/2, 1/2), (3/2, 1/2), (1/2, 3/2) \) y \( (3/2, 3/2) \).
Análisis Observe que las respuestas aproximadas difieren debido a la elección de los puntos de muestra. En cualquier caso, estamos introduciendo cierto error porque estamos utilizando solo unos pocos puntos de muestra. Por lo tanto, necesitamos investigar cómo podemos obtener una respuesta precisa. ♦
Ejercicio de control 12.1.1
Utilice la misma función $z = f(x,y) = 3x^2 – y$ sobre la región rectangular $R = [0, 2] \times [0, 2]$.
Divida $R$ en los mismos cuatro cuadrados con $m = n = 2$, y elija los puntos de muestra
como la esquina superior izquierda de cada cuadrado $(0, 1), (1, 1), (0, 2)$ y $(1, 2)$
(Figura 5.6) para aproximar el volumen con signo del sólido $S$ que se encuentra sobre $R$
y “debajo” de la gráfica de $f$. ♦
Tenga en cuenta que desarrollamos el concepto de integral doble utilizando una región rectangular $R$. Este concepto puede extenderse a cualquier región general. Sin embargo, cuando una región no es rectangular, es posible que los subrectángulos no encajen perfectamente en $R$, particularmente si el área de la base es curva.
Examinamos esta situación con más detalle en la siguiente sección, donde estudiamos regiones que no siempre son rectangulares y los subrectángulos pueden no encajar perfectamente en la región $R$. Además, las alturas pueden no ser exactas si la superficie $z = f(x,y)$ es curva. Sin embargo, los errores en los lados y la altura donde las piezas pueden no encajar perfectamente dentro del sólido $S$ se aproximan a $0$ a medida que $m$ y $n$ tienden a infinito.
Asimismo, la integral doble de la función $z = f(x,y)$ existe siempre que la función $f$ no sea demasiado discontinua. Si la función es acotada y continua sobre $R$, excepto en un número finito de curvas suaves, entonces la integral doble existe y decimos que $f$ es integrable sobre $R$.
Como $\Delta A = \Delta x \Delta y = \Delta y \Delta x$, podemos expresar $dA$ como $dx \, dy$ o $dy \, dx$. Esto significa que, cuando utilizamos coordenadas rectangulares, la integral doble sobre una región $R$ denotada por $\iint_R f(x,y) \, dA$ se puede escribir como
$$\iint_R f(x,y) \, dx \, dy \quad \text{o} \quad \iint_R f(x,y) \, dy \, dx.$$
Ahora enumeremos algunas de las propiedades que pueden ser útiles para calcular integrales dobles.
Propiedades de las integrales dobles
Las propiedades de las integrales dobles son muy útiles al momento de calcularlas
o de trabajar con ellas. A continuación, se enumeran seis propiedades de las
integrales dobles.
Las propiedades 1 y 2 se conocen como la linealidad de la integral; la propiedad 3
corresponde a la aditividad de la integral; la propiedad 4 es la monotonía de la
integral; la propiedad 5 se utiliza para hallar las cotas de la integral, y la
propiedad 6 se emplea cuando \( f(x,y) \) es el producto de dos funciones
\( g(x) \) y \( h(y) \).
Teorema 12.1.1. Propiedades de las integrales dobles
Suponga que las funciones $f(x,y)$ y $g(x,y)$ son integrables sobre la región rectangular $R$; $S$ y $T$ son subregiones de $R$; y suponga que $m$ y $M$ son números reales.
La suma $f(x,y) + g(x,y)$ es integrable y
$$\iint_R [f(x,y) + g(x,y)] \, dA = \iint_R f(x,y) \, dA + \iint_R g(x,y) \, dA$$
Si $c$ es una constante, entonces $cf(x,y)$ es integrable y
$$\iint_R cf(x,y) \, dA = c \iint_R f(x,y) \, dA$$
Si $R = S \cup T$ y $S \cap T = \emptyset$ excepto por un solapamiento en las fronteras, entonces
$$\iint_R f(x,y) \, dA = \iint_S f(x,y) \, dA + \iint_T f(x,y) \, dA$$
Si $f(x,y) \geq g(x,y)$ para $(x,y)$ en $R$, entonces
$$\iint_R f(x,y) \, dA \geq \iint_R g(x,y) \, dA$$
Si $m \leq f(x,y) \leq M$, entonces
$$m \times A(R) \leq \iint_R f(x,y) \, dA \leq M \times A(R)$$
En el caso donde $f(x,y)$ puede factorizarse como el producto de una función $g(x)$ que solo depende de $x$ y una función $h(y)$ que solo depende de $y$, entonces sobre la región $R = \{ (x,y) | a \leq x \leq b, c \leq y \leq d \}$, la integral doble se puede escribir como
$$\iint_R f(x,y) \, dA = \left( \int_a^b g(x) \, dx \right) \left( \int_c^d h(y) \, dy \right)$$
♦
Estas propiedades se utilizan en la evaluación de integrales dobles, como veremos más adelante. Nos volveremos hábiles en el uso de estas propiedades una vez que nos familiaricemos con las herramientas de cálculo de las integrales dobles. Así que pasemos ahora a ello.
Integrales iteradas
Hasta ahora, hemos visto cómo plantear una integral doble y cómo obtener un valor aproximado para ella. También podemos imaginar que evaluar integrales dobles usando la definición puede ser un proceso muy largo si elegimos valores grandes para m y n. Por lo tanto, necesitamos una técnica práctica y conveniente para calcular integrales dobles. En otras palabras, necesitamos aprender a calcular integrales dobles sin emplear la definición que utiliza límites y sumas dobles.
La idea básica es que la evaluación se vuelve más sencilla si podemos descomponer una integral doble en integrales simples, integrando primero con respecto a una variable y luego con respecto a la otra. La herramienta clave que necesitamos se llama integral iterada.
Definición
Suponga que $a, b, c$ y $d$ son números reales. Definimos una integral iterada para una función $f(x,y)$ sobre la región rectangular $R = [a, b] \times [c, d]$ como:
a.
$$\int_a^b \int_c^d f(x,y) \, dy \, dx = \int_a^b \left[ \int_c^d f(x,y) \, dy \right] \, dx \tag{12.1.2}$$
b.
$$\int_c^d \int_a^b f(x,y) \, dx \, dy = \int_c^d \left[ \int_a^b f(x,y) \, dx \right] \, dy \tag{12.1.3}$$
♦
La notación $\int_a^b \left[ \int_c^d f(x,y) \, dy \right] \, dx$ significa que integramos $f(x,y)$ con respecto a $y$ mientras mantenemos $x$ constante.
Del mismo modo, la notación $\int_c^d \left[ \int_a^b f(x,y) \, dx \right] \, dy$ significa que integramos $f(x,y)$ con respecto a $x$ mientras mantenemos $y$ constante. El hecho de que las integrales dobles puedan dividirse en integrales iteradas se expresa en el teorema de Fubini. Piense en este teorema como una herramienta esencial para evaluar integrales dobles.
Teorema 12.1.1. Teorema de Fubini
Suponga que $f(x,y)$ es una función de dos variables que es continua sobre una región rectangular $R = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 | a \leq x \leq b, c \leq y \leq d \}$. Entonces vemos a partir de la Figura 12.1.6
que la integral doble de $f$ sobre la región es igual a una integral iterada,
$$\iint_R f(x,y) \, dA = \iint_R f(x,y) \, dx \, dy = \int_a^b \int_c^d f(x,y) \, dy \, dx = \int_c^d \int_a^b f(x,y) \, dx \, dy.$$
Más generalmente, el teorema de Fubini es verdadero si $f$ es acotada en $R$ y $f$ es discontinua solo en un número finito de curvas continuas. En otras palabras, $f$ tiene que ser integrable sobre $R$. ♦
Figura 12.1.6 (a) Integrando primero con respecto a \( y \) y luego con respecto a \( x \)
para hallar el área \( A(x) \) y después el volumen \( V \);
(b) integrando primero con respecto a \( x \) y luego con respecto a \( y \)
para hallar el área \( A(y) \) y después el volumen \( V \).
Ejemplo ilustrativo 12.1.2. Uso del teorema de Fubini
Use el teorema de Fubini para calcular la integral doble $\iint_R f(x,y) \, dA$ donde $f(x,y) = x$ y $R = [0, 2] \times [0, 1]$.
Solución:
El teorema de Fubini ofrece una forma más sencilla de evaluar la integral doble mediante el uso de una integral iterada. Note cómo los valores de la frontera de la región $R$ se convierten en los límites superior e inferior de integración.
$$\begin{aligned}
\iint_R f(x,y) \, dA &= \iint_R f(x,y) \, dx \, dy \\
&= \int_{y=0}^{y=1} \int_{x=0}^{x=2} x \, dx \, dy \\
&= \int_{y=0}^{y=1} \left[ \frac{x^2}{2} \bigg|_{x=0}^{x=2} \right] \, dy \\
&= \int_{y=0}^{y=1} 2 \, dy = 2y \big|_{y=0}^{y=1} = 2.
\end{aligned}$$
♦
La integración doble en este ejemplo es lo suficientemente sencilla como para usar directamente el teorema de Fubini, lo que nos permite convertir una integral doble en una integral iterada. En consecuencia, ahora estamos listos para convertir todas las integrales dobles en integrales iteradas y mostrar cómo las propiedades mencionadas anteriormente pueden ayudarnos a evaluar integrales dobles cuando la función f (x, y) es más compleja. Observe que el orden de integración puede cambiarse (véase el Ejemplo 12.1.7).
Ejemplo ilustrativo 12.1.3. Ilustración de las propiedades i y ii
Evalúe la integral doble $\iint_R (xy – 3xy^2) \, dA$ donde $R = \{ (x,y) \, | \, 0 \leq x \leq 2, 1 \leq y \leq 2 \}$.
Solución:
Esta función consta de dos partes: una parte es $xy$ y la otra es $3xy^2$. Además, la segunda parte tiene una constante $3$. Observe cómo utilizamos las propiedades i y ii para ayudar a evaluar la integral doble.
$$\begin{aligned}
&\iint_R (xy – 3xy^2) \, dA \\
&= \iint_R xy \, dA + \iint_R (-3xy^2) \, dA && \text{Propiedad i: La integral de una suma es la suma de las integrales.} \\
&= \int_{y=1}^{y=2} \int_{x=0}^{x=2} xy \, dx \, dy – \int_{y=1}^{y=2} \int_{x=0}^{x=2} 3xy^2 \, dx \, dy && \text{Convertir integrales dobles en integrales iteradas.} \\
&= \int_{y=1}^{y=2} \left( \frac{x^2}{2}y \right) \bigg|_{x=0}^{x=2} dy – 3 \int_{y=1}^{y=2} \left( \frac{x^2}{2}y^2 \right) \bigg|_{x=0}^{x=2} dy && \text{Integrar con respecto a } x, \text{ manteniendo } y \text{ constante.} \\
&= \int_{y=1}^{y=2} 2y \, dy – \int_{y=1}^{y=2} 6y^2 \, dy && \text{Propiedad ii: Colocar la constante antes de la integral.} \\
&= 2 \int_{1}^{2} y \, dy – 6 \int_{1}^{2} y^2 \, dy && \text{Integrar con respecto a } y. \\
&= 2 \frac{y^2}{2} \bigg|_{1}^{2} – 6 \frac{y^3}{3} \bigg|_{1}^{2} \\
&= y^2 \bigg|_{1}^{2} – 2y^3 \bigg|_{1}^{2} \\
&= (4 – 1) – 2(8 – 1) \\
&= 3 – 2(7) = 3 – 14 = -11.
\end{aligned}$$
♦
Ejemplo ilustrativo 12.1.4. Ilustración de la propiedad v
Sobre la región $R = \{ (x,y) \, | \, 1 \leq x \leq 3, 1 \leq y \leq 2 \}$, tenemos que $2 \leq x^2 + y^2 \leq 13$. Encuentre un límite inferior y un límite superior para la integral $\iint_R (x^2 + y^2) \, dA$.
Solución:
Para un límite inferior, integre la función constante $2$ sobre la región $R$. Para un límite superior, integre la función constante $13$ sobre la región $R$.
$$\int_1^2 \int_1^3 2 \, dx \, dy = \int_1^2 [2x|_1^3] \, dy = \int_1^2 2(2) \, dy = 4y|_1^2 = 4(2 – 1) = 4$$
$$\int_1^2 \int_1^3 13 \, dx \, dy = \int_1^2 [13x|_1^3] \, dy = \int_1^2 13(2) \, dy = 26y|_1^2 = 26(2 – 1) = 26$$
Por lo tanto, obtenemos
$$4 \leq \iint_R (x^2 + y^2) \, dA \leq 26.$$
♦
Ejemplo ilustrativo 12.1.5. Ilustración de la propiedad vi
Evalúe la integral $\iint_R e^y \cos x \, dA$ sobre la región $R = \{ (x,y) \, | \, 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}, 0 \leq y \leq 1 \}$.
Solución:
Este es un excelente ejemplo para la propiedad vi porque la función $f(x,y)$ es claramente el producto de dos funciones de una sola variable $e^y$ y $\cos x$. Por lo tanto, podemos dividir la integral en dos partes y luego integrar cada una como un problema de integración de una sola variable.
$$\begin{aligned}
\iint_R e^y \cos x \, dA &= \int_{0}^{1} \int_{0}^{\pi/2} e^y \cos x \, dx \, dy \\
&= \left( \int_{0}^{1} e^y \, dy \right) \left( \int_{0}^{\pi/2} \cos x \, dx \right) \\
&= (e^y |_0^1) (\sin x |_0^{\pi/2}) \\
&= e – 1.
\end{aligned}$$
♦
Ejercicio de control 12.1.2
a. Use las propiedades de la integral doble y el teorema de Fubini para evaluar la integral
$$\int_0^1 \int_{-1}^3 (3 – x + 4y) \, dy \, dx.$$
b. Demuestre que $0 \leq \iint_R \sin \pi x \cos \pi y \, dA \leq \frac{1}{32}$ donde $R = [0, \frac{1}{4}] \times [\frac{1}{4}, \frac{1}{2}]$. ♦
Como mencionamos antes, cuando utilizamos coordenadas rectangulares, la integral doble sobre una región $R$ denotada por $\iint_R f(x,y) \, dA$ se puede escribir como $\iint_R f(x,y) \, dx \, dy$ o $\iint_R f(x,y) \, dy \, dx$. El siguiente ejemplo muestra que los resultados son los mismos independientemente del orden de integración que elijamos.
Ejemplo ilustrativo 12.1.6. Evaluación de una integral iterada de dos maneras
Regresemos a la función $f(x,y) = 3x^2 – y$ del Ejemplo 12.1.1, esta vez sobre la región rectangular $R = [0, 2] \times [0, 3]$. Use el teorema de Fubini para evaluar $\iint_R f(x,y) \, dA$ de dos maneras diferentes:
Primero integre con respecto a $y$ y luego con respecto a $x$;
Primero integre con respecto a $x$ y luego con respecto a $y$.
Solución:
La Figura 12.1.6 muestra cómo funciona el cálculo de dos maneras diferentes.
a. Primero integre con respecto a $y$ y luego integre con respecto a $x$:
Con cualquiera de los dos órdenes de integración, la integral doble nos da como resultado 15.
Podemos interpretar este resultado como un volumen, en unidades cúbicas, del sólido \( S \)
situado debajo de la función \( f(x,y) = 3x^2 – y \) sobre la región
\( R = [0,2] \times [0,3] \). Sin embargo, recuerde que la interpretación de una integral doble
como un volumen (sin signo) solo es válida cuando el integrando \( f \) es una función no negativa
sobre la región base \( R \). ♦
En el siguiente ejemplo veremos que, de hecho, puede ser beneficioso cambiar el orden de integración para facilitar el cálculo. Volveremos a esta idea varias veces a lo largo de este capítulo.
Ejemplo ilustrativo 12.1.7. Cambio del orden de integración
Considere la integral doble $\iint_R x \sin(xy) \, dA$ sobre la región $R = \{ (x,y) \, | \, 0 \leq x \leq \pi, 0 \leq y \leq 2 \}$.
Exprese la integral doble de dos maneras diferentes.
Analice si evaluar la integral doble de una manera es más fácil que de la otra y por qué.
Evalúe la integral.
Figura 12.1.7 La función
\( z = f(x,y) = x \sin(xy) \)
sobre la región rectangular
\( R = [0,\pi] \times [0,2] \).
Solución:
a. Podemos expresar $\iint_R x \sin(xy) \, dA$ de las siguientes dos maneras: primero integrando con respecto a $y$ y luego con respecto a $x$; o segundo, integrando con respecto a $x$ y luego con respecto a $y$.
$$\iint_R x \sin(xy) \, dA = \int_{x=0}^{x=\pi} \int_{y=1}^{y=2} x \sin(xy) \, dy \, dx \quad \text{(Integrar primero respecto a } y\text{)}$$
$$\iint_R x \sin(xy) \, dA = \int_{y=1}^{y=2} \int_{x=0}^{x=\pi} x \sin(xy) \, dx \, dy \quad \text{(Integrar primero respecto a } x\text{)}$$
b. Si integramos con respecto a $y$ primero, usamos la sustitución $u = xy$, lo que da $du = x \, dy$. La integral interna se simplifica a $\int \sin u \, du$.
$$\iint_R x \sin(xy) \, dA = \int_{x=0}^{x=\pi} \int_{y=1}^{y=2} x \sin(xy) \, dy \, dx = \int_{x=0}^{x=\pi} \left[ \int_{u=x}^{u=2x} \sin(u) \, du \right] \, dx$$
Sin embargo, integrar con respecto a $x$ primero requeriría integración por partes para la integral interna ($u = x$ y $dv = \sin(xy) \, dx$), lo cual complica considerablemente el cálculo. Por lo tanto, el primer método es claramente más sencillo.
c. Evalúe la integral doble usando el camino más fácil:
$$\begin{aligned}
\iint_R x \sin(xy) \, dA &= \int_{x=0}^{x=\pi} \int_{y=1}^{y=2} x \sin(xy) \, dy \, dx \\
&= \int_{x=0}^{x=\pi} \left[ \int_{u=x}^{u=2x} \sin(u) \, du \right] \, dx = \int_{x=0}^{x=\pi} \left[ -\cos u \big|_{u=x}^{u=2x} \right] \, dx \\
&= \int_{x=0}^{x=\pi} (-\cos 2x + \cos x) \, dx \\
&= -\frac{1}{2} \sin 2x + \sin x \big|_{x=0}^{x=\pi} = 0.
\end{aligned}$$
♦
Ejercicio de control 12.1.4
Evalúe la integral $\iint_R xe^{xy} \, dA$ donde $R = [0, 1] \times [0, \ln 5]$. ♦
Aplicaciones de las integrales dobles
Las integrales dobles son muy útiles para hallar el área de una región limitada por
curvas de funciones. Describiremos esta situación con mayor detalle en la siguiente
sección. Sin embargo, si la región tiene forma rectangular, podemos hallar su área
integrando la función constante \( f(x,y) = 1 \) sobre la región \( R \).
Definición
El área de la región \( R \) está dada por \( A(R) = \iint_{R} 1 \, dA \). ♦
Esta definición tiene sentido porque, al usar \( f(x,y) = 1 \) y evaluar la integral,
esta se convierte en el producto de la longitud y el ancho. Verifiquemos esta fórmula
con un ejemplo y veamos cómo funciona.
Ejemplo ilustrativo 12.1.8. Aplicaciones de las integrales dobles
Halle el área de la región \( R = \{(x,y)\mid 0 \le x \le 3,\; 0 \le y \le 2\} \) usando una integral doble, es decir, integrando \( 1 \) sobre la región \( R \).
Solución:
La región es rectangular con longitud 3 y ancho 2, por lo que sabemos que el área es 6. Obtenemos el mismo resultado cuando usamos una integral doble:
$$A(R) = \int_{0}^{2} \int_{0}^{3} 1dx \, dy = \int_{0}^{2} \left[ x \Big|_0^3 \right] dy = \int_{0}^{2} 3dy = 3 \int_{0}^{2} dy = 3y \Big|_0^2 = 3(2) = 6.$$
♦
Ya hemos visto cómo las integrales dobles pueden usarse para hallar el volumen de un sólido limitado por arriba por una función \( f(x,y) \) sobre una región \( R \), siempre que \( f(x,y) \ge 0 \) para todo \( (x,y) \) en \( R \). A continuación, se presenta otro ejemplo para ilustrar este concepto.
Ejemplo ilustrativo 12.1.9. Volumen de un paraboloide elíptico
Halle el volumen \( V \) del sólido \( S \) que está limitado por el paraboloide elíptico \( 2x^2 + y^2 + z = 27 \), los planos \( x = 3 \) y \( y = 3 \), y los tres planos coordenados.
Solución:
Observe primero la gráfica de la superficie \( z = 27 – 2x^2 – y^2 \) en la Figura 12.1.8(a) y sobre la región cuadrada \( R_1 = [-3,3] \times [-3,3] \). Sin embargo, necesitamos el volumen del sólido limitado por el paraboloide elíptico \( 2x^2 + y^2 + z = 27 \), los planos \( x = 3 \) y \( y = 3 \), y los tres planos coordenados.
Figura 12.1.8 (a) La superficie \( z = 27 – 2x^2 – y^2 \) sobre la región cuadrada \( R_1 = [-3,3] \times [-3,3] \). (b) El sólido \( S \) se encuentra debajo de la superficie \( z = 27 – 2x^2 – y^2 \) sobre la región cuadrada \( R_2 = [0,3] \times [0,3] \).
Ahora miremos la gráfica de la superficie en la Figura 12.1.8(b). Determinamos el volumen $V$ evaluando la integral doble sobre $R_2$:
$$V = \iint_{R} z \, dA = \iint_{R} (27 – 2x^2 – y^2) \, dA$$
Halle el volumen del sólido limitado superiormente por la gráfica de \( f(x,y)=x y \sin(x^2 y) \) y inferiormente por el plano \( xy \), sobre la región rectangular \( R=[0,1]\times[0,\pi] \). ♦
Recuerde que definimos el valor promedio de una función de una variable en un intervalo $[a, b]$ como
De manera similar, podemos definir el valor promedio de una función de dos variables sobre una región $R$. La diferencia principal es que dividimos por un área en lugar de por el ancho de un intervalo.
Definición
El valor promedio de una función de dos variables sobre una región $R$ es
En el siguiente ejemplo encontramos el valor promedio de una función sobre una región rectangular. Este es un buen ejemplo de cómo obtener información útil para una integración mediante mediciones individuales sobre una cuadrícula, en lugar de intentar encontrar una expresión algebraica para una función.
Ejemplo ilustrativo 12.1.10. Cálculo de la precipitación promedio de una tormenta
El mapa meteorológico de la Figura 12.1.9 muestra un sistema de tormentas inusualmente húmedo asociado con los remanentes del huracán Karl, que dejó entre 4 y 8 pulgadas (100 –200 mm) de lluvia en algunas partes del Medio Oeste los días 22 y 23 de septiembre de 2010. El área de precipitación medía 300 millas de este a oeste y 250 millas de norte a sur. Estime la precipitación promedio en toda el área durante esos dos días.
Figura 12.1.9 Efectos del huracán Karl, que dejó entre 4 y 8 pulgadas (100–200 mm) de lluvia en algunas partes del suroeste de Wisconsin, el sur de Minnesota y el sureste de Dakota del Sur, en un área de 300 millas de este a oeste y 250 millas de norte a sur.
Solución:
Coloque el origen en la esquina suroeste del mapa para que todos los valores puedan ser considerados como pertenecientes al primer cuadrante y, por lo tanto, todos sean positivos. Ahora divida el mapa completo en seis rectángulos ($m = 3$ y $n = 2$), como se muestra en la Figura 12.1.10. Suponga que $f(x, y)$ denota la precipitación de la tormenta en pulgadas en un punto aproximadamente $x$ millas al este del origen y $y$ millas al norte del origen. Sea $R$ la representación del área total de $250 \times 300 = 75,000$ millas cuadradas. Entonces, el área de cada subrectángulo es:
$$\Delta A = \frac{1}{6}(75,000) = 12,500.$$
Suponga que $(x^*_{ij}, y^*_{ij})$ son aproximadamente los puntos medios de cada subrectángulo $R_{ij}$. Observe la región codificada por colores en cada uno de estos puntos y estime la precipitación. La precipitación en cada uno de estos puntos se puede estimar como:
En $(x^*_{11}, y^*_{11})$ la precipitación es $0.08$.
En $(x^*_{21}, y^*_{21})$ la precipitación es $0.08$.
En $(x^*_{31}, y^*_{31})$ la precipitación es $0.01$.
En $(x^*_{12}, y^*_{12})$ la precipitación es $1.70$.
En $(x^*_{22}, y^*_{22})$ la precipitación es $1.74$.
En $(x^*_{32}, y^*_{32})$ la precipitación es $3.00$.
Figura 12.1.10 Precipitación de la tormenta con ejes rectangulares y mostrando los puntos medios de cada subrectángulo.
De acuerdo con nuestra definición, la precipitación promedio de la tormenta en toda el área durante esos dos días fue:
