| 9. Ecuaciones diferenciales | 9.8. La transformada de Laplace | 9.8.4 Función escalón unitario |

Ejercicios propuestos para el Capítulo 9.8.4

      En los ejercicios 1 a 6, encuentre la transformada de Laplace por el método del ejemplo 9.8.4.1. Luego exprese la función dada f en términos de funciones de paso unitario como en la ecuación. (9.8.4.6), y use el Teorema 9.8.4.1 para encontrar L(f). En los ejercicios indicados con C/G, grafique f.

      En los ejercicios 7 a 18, exprese la función dada f en términos de funciones escalón unitario y use el Teorema 9.8.4.1 para encontrar L(f). En los ejercicios indicados con C/G, grafique f.

      En los ejercicios 19 a 28, use el Teorema 9.8.4.2 para expresar las transformadas inversas en términos de funciones escalonadas y luego encuentre fórmulas distintas para las transformadas inversas en los intervalos apropiados, como en el ejemplo 9.8.4.7. Donde esté indicado por C/G, grafique la transformada inversa.

29. Calcule L(u(t − τ)).

30. Sea una secuencia de puntos tales que t₀ = 0, t_{m + 1} > t_m, y lim_m→∞t_m = ∞. Para cada entero no negativo m, sea f_m continua en [t_m, ∞), y sea f definida en [0, ∞) por

Muestre que f es continua por tramos en [0, ∞) y que tiene la representación de función escalonada

¿Cómo sabemos que la serie de la derecha converge para todo t en [0, ∞)?

31. Además de los supuestos del ejercicio 30, suponga que

       (A)

y que la serie

       (B)

converge para algún ρ > 0. Utilizando los pasos enumerados a continuación, demuestre que L(f) está definida para s > s₀ y

     (C)

para s > s₀ + ρ, donde

(a) Utilice (A) y el Teorema 9.8.1.6 para demostrar que

       (D)

se define para s > s₀.

(b) Demuestre que (D) se puede reescribir como

         (E)

(c) Use (A), la supuesta convergencia de (B) y la prueba de comparación para mostrar que la series

   y   

Ambas convergen (absolutamente) si s > s₀ + ρ.

(d) Demuestre que (E) se puede reescribir como

si s > s₀ + ρ.

(e) Complete la prueba de (C).

32. Suponga que    y  satisface los supuestos de los ejercicios 30 y 31, y existe una constante positiva K tal que t_m ≥ Km para m suficientemente grande. Muestre que la serie (B) del ejercicio 31 converge para cualquier ρ > 0, y concluya de esto que (C) del ejercicio 31 se cumple para s > s₀.

      En los Ejercicios 33–36 encuentre la representación de función escalonada de f y use el resultado del Ejercicio 32 para encontrar L(f). AYUDA: Necesitarás fórmulas relacionadas con la fórmula de la suma de una serie geométrica.