| 7.10 Trabajando con series de Taylor |
Ejercicios propuestos para el Capítulo 7.10
En los siguientes ejercicios, utiliza sustituciones apropiadas para escribir la serie de Maclaurin del binomio dado:
174. \((1-x)^{1/3}\)
175. \((1 + x^2)^{-1/3}\)
176. \((1 – x)^{1.01}\)
177. \((1 – 2x)^{2/3}\)
En los siguientes ejercicios, use la sustitución \((b+x)^r = (b+a)^r \left(1 + \frac{x-a}{b+a}\right)^r\) en la expansión binomial para encontrar la serie de Taylor de cada función con el centro dado:
178. \(\sqrt{x+2}\) en \(a=0\)
179. \(\sqrt{x^{2}+2}\) en \(a=0\)
180. \(\sqrt{x+2}\) en \(a=1\)
181. \(\sqrt{2x-x^{2}}\) en \(a=1\) (Sugerencia: \(2x-x^{2}=1-(x-1)^{2}\))
182. \((x-8)^{1/3}\) en \(a=9\)
183. \(\sqrt{x}\) en \(a=4\)
184. \(x^{1/3}\) en \(a=27\)
185. \(\sqrt{x}\) en \(x=9\)
En los siguientes ejercicios, utiliza el teorema del binomio para estimar cada número, calculando suficientes términos para obtener una estimación con un error de como máximo 1/1000:
186. [T] \((15)^{1/4}\) usando \((16 – x)^{1/4}\)
187. [T] \((1001)^{1/3}\) usando \((1000 + x)^{1/3}\)
En los siguientes ejercicios, use la aproximación binomial \(\sqrt{1 – x} \approx 1 – \frac{x}{2} – \frac{x^2}{8} – \frac{x^3}{16} – \frac{5x^4}{128} – \frac{7x^5}{256}\) para \(|x| < 1\) para aproximar cada número. Compare este valor con el valor dado por una calculadora científica:
188. [T] \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) usando \(x = \frac{1}{2}\) en \((1 – x)^{1/2}\)
189. [T] \(\sqrt{5} = 5 \times \frac{1}{\sqrt{5}}\) usando \(x = \frac{4}{5}\) en \((1 – x)^{1/2}\)
190. [T] \(\sqrt{3} = \frac{3}{\sqrt{3}}\) usando \(x = \frac{2}{3}\) en \((1 – x)^{1/2}\)
191. [T] \(\sqrt{6}\) usando \(x = \frac{5}{6}\) en \((1 – x)^{1/2}\)
192. Integre la aproximación binomial de \(\sqrt{1-x}\) para encontrar una aproximación de \(\int_{0}^{x} \sqrt{1-t} dt\).
193. [T] Recuerde que la gráfica de \(\sqrt{1-x^{2}}\) es un semicírculo superior de radio 1. Integre la aproximación binomial de \(\sqrt{1-x^{2}}\) hasta el orden 8 desde \(x = -1\) hasta \(x = 1\) para estimar \(\frac{\pi}{2}\).
En los siguientes ejercicios, use la expansión \((1+x)^{1/3} = 1 + \frac{1}{3}x – \frac{1}{9}x^2 + \frac{5}{81}x^3 – \frac{10}{243}x^4 + \cdots\) para escribir los primeros cinco términos (no necesariamente un polinomio de cuarto grado) de cada expresión:
194. \((1+4x)^{1/3}; a=0\)
195. \((1+4x)^{4/3}; a=0\)
196. \((3+2x)^{1/3}; a=-1\)
197. \((x^{2}+6x+10)^{1/3}; a=-3\)
198. Use \((1+x)^{1/3}=1+\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}x^{2}+\frac{5}{81}x^{3}-\frac{10}{243}x^{4}+\cdot\cdot\cdot\) con \(x=1\) para aproximar \(2^{1/3}\).
199. Use la aproximación \((1-x)^{2/3}=1-\frac{2x}{3}-\frac{x^{2}}{9}-\frac{4x^{3}}{81}-\frac{7x^{4}}{243}-\frac{14x^{5}}{729}+\cdot\cdot\cdot\) para \(|x|<1\) para aproximar \(2^{1/3} = 2 \cdot 2^{-2/3}\).
200. Encuentre la derivada 25ava de \(f(x)=(1+x^{2})^{13}\) en \(x=0\).
201. Encuentre la derivada 99ava en \(x=0\) de \(f(x)=(1+x^{4})^{25}\).
En los siguientes ejercicios, encuentra la serie de Maclaurin de cada función:
202. \(f(x) = xe^{2x}\)
203. \(f(x) = 2^{x}\)
204. \(f(x) = \frac{\sin x}{x}\)
205. \(f(x) = \frac{\sin(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}\), \((x > 0)\)
206. \(f(x) = \sin(x^2)\)
207. \(f(x) = e^{x^3}\)
208. \(f(x) = \cos^2 x\) usando la identidad \(\cos^2 x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(2x)\)
209. \(f(x) = \sin^2 x\) usando la identidad \(\sin^2 x = \frac{1}{2} – \frac{1}{2}\cos(2x)\)
En los siguientes ejercicios, encuentre la serie de Maclaurin de \(F(x) = \int_{0}^{x} f(t) \, dt\) integrando la serie de Maclaurin de \(f\) término a término. Si \(f\) no está estrictamente definida en cero, puede sustituir el valor de la serie de Maclaurin en cero:
210. \(F(x)=\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}dt; f(t)=e^{-t^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{t^{2n}}{n!}\)
211. \(F(x) = \tan^{-1}x; f(t)=\frac{1}{1+t^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}t^{2n}\)
212. \(F(x)=\tanh^{-1}x; f(t)=\frac{1}{1-t^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}t^{2n}\)
213. \(F(x)=\sin^{-1}x; f(t)=\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{\frac{1}{2}}{k}t^{2k}\)
214. \(F(x)=\int_{0}^{x}\frac{\sin t}{t}dt; f(t)=\frac{\sin t}{t}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{t^{2n}}{(2n+1)!}\)
215. \(F(x)=\int_{0}^{x}\cos(\sqrt{t})dt; f(t)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{t^{n}}{(2n)!}\)
216. \(F(x)=\int_{0}^{x}\frac{1-\cos t}{t^{2}}dt; f(t)=\frac{1-\cos t}{t^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{t^{2n}}{(2n+2)!}\)
217. \(F(x)=\int_{0}^{x}\frac{\ln(1+t)}{t}dt; f(t)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{t^{n}}{n+1}\)
En los siguientes ejercicios, calcula al menos los tres primeros términos no nulos (no necesariamente un polinomio cuadrático) de la serie de Maclaurin de f :
218. \(f(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \sin x \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos x \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\)
219. \(f(x) = \tan x\)
220. \(f(x) = \ln(\cos x)\)
221. \(f(x) = e^x \cos x\)
222. \(f(x) = e^{\sin x}\)
223. \(f(x) = \sec^2 x\)
224. \(f(x) = \tanh x\)
225. \(f(x) = \frac{\tan \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\) (ver expansión para \(\tan x\))
En los siguientes ejercicios, encuentra el radio de convergencia de la serie de Maclaurin de cada función:
226. \(\ln(1+x)\)
227. \(\frac{1}{1+x^{2}}\)
228. \(\tan^{-1}x\)
229. \(\ln(1+x^{2})\)
230. Encuentre la serie de Maclaurin de \(\sinh x = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\)
231. Encuentre la serie de Maclaurin de \(\cosh x = \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\)
232. Diferencie término a término la serie de Maclaurin de \(\sinh x\) y compare el resultado con la serie de Maclaurin de \(\cosh x\).
233. [T] Sean \(S_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\) y \(C_{n}(x)=\sum_{n=0}^{n}(-1)^{k}\frac{x^{2k}}{(2k)!}\) los polinomios de Maclaurin de grado \(2n+1\) de \(\sin x\) y grado \(2n\) de \(\cos x\), respectivamente. Grafique los errores \(\frac{S_{n}(x)}{C_{n}(x)}-\tan x\) para \(n=1,…,5\) y compárelos con \(x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{2x^{5}}{15}+\frac{17x^{7}}{315}-\tan x\) en \((-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4})\).
234. Use la identidad \(2\sin x \cos x = \sin(2x)\) para encontrar la expansión en serie de potencias de \(\sin^{2}x\) en \(x=0\) (Sugerencia: Integre la serie de Maclaurin de \(\sin(2x)\) término a término.)
235. Si \(y=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}\), encuentre las expansiones en serie de potencias de \(xy^{\prime}\) y \(x^{2}y^{\prime\prime}\).
236. [T] Suponga que \(y=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}x^{k}\) satisface \(y^{\prime}=-2xy\) e \(y(0)=0\). Demuestre que \(a_{2k+1}=0\) para toda k y que \(a_{2k+2}=\frac{-a_{2k}}{k+1}\). Grafique la suma parcial \(S_{20}\) de y en el intervalo \([-4, 4]\).
237. [T] Suponga que un conjunto de puntajes de exámenes estandarizados se distribuye normalmente con media \(\mu=100\) y desviación estándar \(\sigma=10\). Configure una integral que represente la probabilidad de que un puntaje de examen esté entre 90 y 110 y use la integral del polinomio de Maclaurin de grado 10 de \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^{2}/2}\) para estimar esta probabilidad.
238. [T] Suponga que un conjunto de puntajes de exámenes estandarizados se distribuye normalmente con media \(\mu=100\) y desviación estándar \(\sigma=10\). Configure una integral que represente la probabilidad de que un puntaje de examen esté entre 70 y 130 y use la integral del polinomio de Maclaurin de grado 50 de \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^{2}/2}\) para estimar esta probabilidad.
239. [T] Suponga que \(\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}\) converge a una función \(f(x)\) tal que \(f(0)=1, f^{\prime}(0)=0\), y \(f^{\prime\prime}(x)=-f(x)\). Encuentre una fórmula para \(a_{n}\) y grafique la suma parcial \(S_{N}\) para \(N=20\) en \([-5,5]\).
240. [T] Suponga que \(\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}\) converge a una función \(f(x)\) tal que \(f(0)=0, f^{\prime}(0)=1\), y \(f^{\prime\prime}(x)=-f(x)\). Encuentre una fórmula para \(a_{n}\) y grafique la suma parcial \(S_{N}\) para \(N=10\) en \([-5,5]\).
241. Suponga que \(\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}\) converge a una función y tal que \(y^{\prime\prime}-y^{\prime}+y=0\) donde \(y(0)=1\) e \(y^{\prime}(0)=0\). Encuentre una fórmula que relacione \(a_{n+2}, a_{n+1}\) y \(a_{n}\) y calcule \(a_{0},…,a_{5}\).
242. Suponga que \(\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}\) converge a una función \(y\) tal que \(y^{\prime\prime}-y^{\prime}+y=0\) donde \(y(0)=0\) e \(y^{\prime}(0)=1\). Encuentre una fórmula que relacione \(a_{n+2}\), \(a_{n+1}\) y \(a_{n}\) y calcule \(a_{1},…,a_{5}\).
El error al aproximar la integral \(\int_{a}^{b} f(t) \, dt\) mediante la aproximación de Taylor \(\int_{a}^{b} P_n(t) \, dt\) es a lo sumo
\[\int_{a}^{b} R_n(t) \, dt.\]
En los siguientes ejercicios, la estimación del residuo de Taylor \(R_n \le \frac{M}{(n+1)!} |x-a|^{n+1}\) garantiza que el integral del polinomio de Taylor del orden dado aproxima la integral de \(f\) con un error menor que \(\frac{1}{10}\).
a. Evalúe la integral del polinomio de Taylor apropiado y verifique que aproxima el valor CAS con un error menor que \(\frac{1}{100}\).
b. Compare la precisión de la estimación de la integral polinómica con la estimación del residuo:
243. [T] \(\int_{0}^{\pi} \frac{\sin t}{t} \, dt; P_5 = 1 – \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} – \frac{x^6}{7!} + \frac{x^8}{9!}\) (Puede asumir que el valor absoluto de la novena derivada de \(\frac{\sin t}{t}\) está acotado por 0.1.)
244. [T] \(\int_{0}^{2} e^{-x^2} \, dx; P_{11} = 1 – x^2 + \frac{x^4}{2} – \frac{x^6}{3!} + \cdots – \frac{x^{22}}{11!}\) (Puede asumir que el valor absoluto de la derivada 23ava de \(e^{-x^2}\) es menor que \(2 \times 10^{14}\).)
Los siguientes ejercicios tratan sobre las integrales de Fresnel:
245. Los integrales de Fresnel se definen por \(C(x)=\int_{0}^{x}\cos(t^{2})dt\) y \(S(x)=\int_{0}^{x}\sin(t^{2})dt\). Calcule las series de potencias de \(C(x)\) y \(S(x)\) y grafique las sumas \(C_{N}(x)\) y \(S_{N}(x)\) de los primeros \(N=50\) términos no nulos en \([0,2\pi].\)
246. [T] Los integrales de Fresnel se utilizan en aplicaciones de diseño para carreteras y ferrocarriles y otras aplicaciones debido a las propiedades de curvatura de la curva con coordenadas \((C(t),S(t))\). Grafique la curva \((C_{50},S_{50})\) para \(0\le t\le2\pi\), cuyas coordenadas se calcularon en el ejercicio anterior.
247. Estime \(\int_{0}^{1/4}\sqrt{x-x^{2}}dx\) aproximando \(\sqrt{1-x}\) usando la aproximación binomial \(1-\frac{x}{2}-\frac{x^{2}}{8}-\frac{x^{3}}{16}-\frac{5x^{4}}{128}-\frac{7x^{5}}{256}\).
248. [T] Use la aproximación de Newton del binomio \(\sqrt{1-x^{2}}\) para aproximar \(\pi\) de la siguiente manera. El círculo centrado en \((\frac{1}{2},0)\) con radio \(\frac{1}{2}\) tiene como semicírculo superior \(y=\sqrt{x}\sqrt{1-x}\). El sector de este círculo limitado por el eje x entre \(x=0\) y \(x=\frac{1}{2}\) y por la línea que une \((\frac{1}{4},\frac{\sqrt{3}}{4})\) corresponde a \(\frac{1}{6}\) del círculo y tiene un área de \(\frac{\pi}{24}\). Este sector es la unión de un triángulo rectángulo con altura \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) y base \(\frac{1}{4}\) y la región debajo de la gráfica entre \(x=0\) y \(x=\frac{1}{4}\). Para encontrar el área de esta región, puede escribir \(y=\sqrt{x}\sqrt{1-x}=\sqrt{x}\times\) (expansión binomial de \(\sqrt{1-x}\)) e integrar término a término. Use este enfoque con la aproximación binomial del ejercicio anterior para estimar \(\pi\).
249. Use la aproximación \(T\approx2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}(1+\frac{k^{2}}{4})\) para aproximar el período de un péndulo con longitud de 10 metros y ángulo máximo \(\theta_{max}=\frac{\pi}{6}\) donde \(k=sin(\frac{\theta_{max}}{2})\). Compare esto con la estimación de ángulo pequeño \(T\approx2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\).
250. Suponga que un péndulo debe tener un período de 2 segundos y un ángulo máximo de \(\theta_{max}=\frac{\pi}{6}\). Use \(T\approx2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}(1+\frac{k^{2}}{4})\) para aproximar la longitud deseada del péndulo. ¿Qué longitud predice la estimación de ángulo pequeño \(T\approx2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\)?
251. Evalúe \(\int_{0}^{\pi/2}sin^{4}\theta d\theta\) en la aproximación \(T = 4\sqrt{\frac{L}{g}}\int_{0}^{\theta_{max}}(1+\frac{1}{2}k^{2}sin^{2}\theta+\frac{3}{8}k^{4}sin^{4}\theta+\cdot\cdot\cdot) d\theta\) para obtener una estimación mejorada para \(T\).
252. [T] Una fórmula equivalente para el período de un péndulo con amplitud \(\theta_{max}\) es \(T(\theta_{max})=2\sqrt{2}\sqrt{\frac{L}{g}}\int_{0}^{\theta_{max}}\frac{d\theta}{\sqrt{cos~\theta}-cos(\theta_{max})}\) donde \(L\) es la longitud del péndulo y \(g\) es la constante de aceleración gravitacional. Cuando \(\theta_{max}=\frac{\pi}{3}\) obtenemos \(\frac{1}{\sqrt{\cos\theta}-1/2}\approx\sqrt{2}(1+\frac{\theta^{2}}{4}+\frac{\theta^{4}}{3}+\frac{181\theta^{6}}{720}+\cdot\cdot\cdot)\). Integre esta aproximación para estimar \(T(\frac{\pi}{3})\) en términos de \(L\) y \(g\). Asumiendo \(g=9.806\) metros por segundo al cuadrado, encuentre una longitud aproximada \(L\) tal que \(T(\frac{\pi}{3})=2\) segundos.