| 12. Integración múltiple | Ejercicios propuestos para el Capítulo 12.6 |
12.6 Cálculo de centros de masa y momentos de inercia
Objetivos de aprendizaje
- 12.6.1 Use integrales dobles para localizar el centro de masa de un objeto bidimensional.
- 12.6.2 Use integrales dobles para hallar el momento de inercia de un objeto bidimensional.
- 12.6.3 Use integrales triples para localizar el centro de masa de un objeto tridimensional.
Ya hemos discutido algunas aplicaciones de las integrales múltiples, como encontrar áreas, volúmenes y el valor promedio de una función sobre una región acotada. En esta sección desarrollamos técnicas de cálculo para hallar el centro de masa y los momentos de inercia de varios tipos de objetos físicos, usando integrales dobles para una lámina (placa plana) e integrales triples para un objeto tridimensional con densidad variable. La densidad generalmente se considera un número constante cuando la lámina o el objeto es homogéneo; es decir, cuando el objeto tiene densidad uniforme.
Centro de Masa en Dos Dimensiones
El centro de masa también se conoce como centro de gravedad si el objeto se encuentra en un campo gravitacional uniforme. Si el objeto tiene densidad uniforme, el centro de masa es el centro geométrico del objeto, el cual se llama centroide. La Figura 12.6.1 muestra un punto P como el centro de masa de una lámina. La lámina está perfectamente equilibrada alrededor de su centro de masa.
Para encontrar las coordenadas del centro de masa \(P(\bar{x}, \bar{y})\) de una lámina, necesitamos encontrar el momento \(M_x\) de la lámina respecto al eje \(x\) y el momento \(M_y\) respecto al eje \(y\). También necesitamos encontrar la masa \(m\) de la lámina. Entonces:
\[ \displaystyle \bar{x} = \frac{M_y}{m} \quad \text{y} \quad \bar{y} = \frac{M_x}{m}. \]Consulte Momentos y Centros de Masa para las definiciones y los métodos de integración simple para encontrar el centro de masa de un objeto unidimensional (por ejemplo, una varilla delgada). Vamos a utilizar una idea similar aquí, excepto que el objeto es una lámina bidimensional y utilizamos una integral doble.
Si permitimos una función de densidad constante, entonces \(\displaystyle \bar{x} = \frac{M_y}{m}\) y \(\displaystyle \bar{y} = \frac{M_x}{m}\) dan el centroide de la lámina.
Suponga que la lámina ocupa una región \(R\) en el plano \(xy\), y sea \(\rho(x, y)\) su densidad (en unidades de masa por unidad de área) en cualquier punto \((x, y)\). Por lo tanto, \(\displaystyle \rho(x, y) = \lim_{\Delta A \to 0} \frac{\Delta m}{\Delta A}\), donde \(\Delta m\) y \(\Delta A\) son la masa y el área de un pequeño rectángulo que contiene al punto \((x, y)\) y el límite se toma a medida que las dimensiones del rectángulo tienden a 0 (ver la siguiente figura).
Como antes, dividimos la región $R$ en pequeños rectángulos $R_{ij}$ con área $\Delta A$ y elegimos $(x^*_{ij},y^*_{ij})$ como puntos de muestra. Entonces, la masa $m_{ij}$ de cada $R_{ij}$ es igual a $\rho(x^*_{ij},y^*_{ij})\,\Delta A$ (Figura 12.6.3). Sea $k$ y $l$ el número de subintervalos en $x$ y $y$, respectivamente. Además, observe que la forma puede no ser siempre rectangular, pero el límite funciona de todos modos, como se vio en secciones anteriores.
Figura 12.6.3 Subdivisión de la lámina en pequeños rectángulos $R_{ij}$, cada uno de los cuales contiene un punto de muestra $(x^*_{ij},y^*_{ij})$.
Por lo tanto, la masa de la lámina es
\[ \displaystyle m = \lim_{k,l \to \infty} \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{l} m_{ij} = \lim_{k,l \to \infty} \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{l} \rho(x_{ij}^*, y_{ij}^*) \Delta A = \iint_{R} \rho(x, y) \, dA. \tag{12.6.1} \]Veamos ahora un ejemplo de cómo encontrar la masa total de una lámina triangular.
Ejemplo ilustrativo 12.6.1. Encontrando la Masa Total de una Lámina
Considere una lámina triangular $R$ con vértices $(0,0)$, $(0,3)$ y $(3,0)$, y con densidad $\rho(x,y)=xy\ \text{kg/m}^2$. Halle la masa total.
Solución:
Un bosquejo de la región R siempre es útil, como se muestra en la siguiente figura.
Figura 12.6.4 Una lámina en el plano $xy$ con densidad $\rho(x,y)=xy$.
Utilizando la expresión desarrollada para la masa, vemos que
\[ \displaystyle \begin{aligned} m &= \iint_{R} dm = \iint_{R} \rho(x, y) \, dA = \int_{x=0}^{x=3} \int_{y=0}^{y=3-x} xy \, dy \, dx = \int_{x=0}^{x=3} \left[ x \frac{y^2}{2} \bigg|_{y=0}^{y=3-x} \right] \, dx \\ &= \int_{x=0}^{x=3} \frac{1}{2} x (3 – x)^2 \, dx = \left[ \frac{9x^2}{4} – x^3 + \frac{x^4}{8} \right] \bigg|_{x=0}^{x=3} \\ &= \frac{27}{8}. \end{aligned} \]El cálculo es directo, dando como resultado \(m = \frac{27}{8} \, \text{kg}\). ♦
Ejercicio de control 12.6.1
Considere la misma región $R$ del ejemplo anterior y use la función de densidad $\rho(x,y)=\sqrt{xy}$. Halle la masa total. Sugerencia: Use la sustitución trigonométrica $\sqrt{x}=\sqrt{3}\sin\theta$ y luego emplee las fórmulas de reducción de potencia para funciones trigonométricas. ♦
Ahora que hemos establecido la expresión para la masa, tenemos las herramientas necesarias para calcular los momentos y centros de masa. El momento \(M_x\) respecto al eje \(x\) para \(R\) es el límite de las sumas de momentos de las regiones \(R_{ij}\) respecto al eje \(x\). Por lo tanto:
\[ \displaystyle M_x = \lim_{k,l \to \infty} \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{l} (y_{ij}^*) m_{ij} = \lim_{k,l \to \infty} \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{l} (y_{ij}^*) \rho(x_{ij}^*, y_{ij}^*) \Delta A = \iint_{R} y \rho(x, y) \, dA. \tag{12.6.2} \]De manera similar, el momento \(M_y\) respecto al eje \(y\) para \(R\) es el límite de las sumas de momentos de las regiones \(R_{ij}\) respecto al eje \(y\). Por lo tanto:
\[ \displaystyle M_y = \lim_{k,l \to \infty} \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{l} (x_{ij}^*) m_{ij} = \lim_{k,l \to \infty} \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{l} (x_{ij}^*) \rho(x_{ij}^*, y_{ij}^*) \Delta A = \iint_{R} x \rho(x, y) \, dA. \tag{12.6.3} \]Ejemplo ilustrativo 12.6.2. Encontrando los Momentos
Considere la misma lámina triangular $R$ con vértices $(0,0)$, $(0,3)$ y $(3,0)$, y con densidad $\rho(x,y)=xy$. Halle los momentos $M_x$ y $M_y$.
Solución:
Utilice integrales dobles para cada momento y calcule sus valores:
\[ \displaystyle M_x = \iint_{R} y \rho(x, y) \, dA = \int_{x=0}^{x=3} \int_{y=0}^{y=3-x} xy^2 \, dy \, dx = \frac{81}{20}, \] \[ \displaystyle M_y = \iint_{R} x \rho(x, y) \, dA = \int_{x=0}^{x=3} \int_{y=0}^{y=3-x} x^2 y \, dy \, dx = \frac{81}{20}. \]El cálculo es bastante directo. ♦
Ejercicio de control 12.6.2
Considere la misma lámina $R$ que antes y use la función de densidad $\rho(x,y)=\sqrt{xy}$. Halle los momentos $M_x$ y $M_y$. ♦
Finalmente, estamos listos para replantear las expresiones del centro de masa en términos de integrales. Denotamos la coordenada \(x\) del centro de masa como \(\bar{x}\) y la coordenada \(y\) como \(\bar{y}\). Específicamente,
\[ \displaystyle \bar{x} = \frac{M_y}{m} = \frac{\iint_{R} x \rho(x, y) \, dA}{\iint_{R} \rho(x, y) \, dA} \quad \text{y} \quad \bar{y} = \frac{M_x}{m} = \frac{\iint_{R} y \rho(x, y) \, dA}{\iint_{R} \rho(x, y) \, dA}. \tag{12.6.4} \]Ejemplo ilustrativo 12.6.3. Encontrando el Centro de Masa
Considere nuevamente la misma región triangular $R$ con vértices $(0,0)$, $(0,3)$ y $(3,0)$, y con función de densidad $\rho(x,y)=xy$. Halle el centro de masa.
Solución:
Utilizando las fórmulas que hemos desarrollado y los valores obtenidos previamente para la masa (\(m = \frac{27}{8}\)) y los momentos (\(M_x = M_y = \frac{81}{20}\)), tenemos:
\[ \displaystyle \bar{x} = \frac{M_y}{m} = \frac{\iint_{R} x \rho(x, y) \, dA}{\iint_{R} \rho(x, y) \, dA} = \frac{81/20}{27/8} = \frac{6}{5}, \] \[ \displaystyle \bar{y} = \frac{M_x}{m} = \frac{\iint_{R} y \rho(x, y) \, dA}{\iint_{R} \rho(x, y) \, dA} = \frac{81/20}{27/8} = \frac{6}{5}. \]Por lo tanto, el centro de masa de la lámina es el punto \(\left( \frac{6}{5}, \frac{6}{5} \right)\).
Análisis:
Si elegimos que la densidad \(\rho(x, y)\) sea uniforme en toda la región (es decir, constante), como por ejemplo el valor 1 (cualquier constante servirá), entonces podemos calcular el centroide:
\[ \displaystyle x_c = \frac{M_y}{m} = \frac{\iint_{R} x \, dA}{\iint_{R} \, dA} = \frac{9/2}{9/2} = 1, \] \[ \displaystyle y_c = \frac{M_x}{m} = \frac{\iint_{R} y \, dA}{\iint_{R} \, dA} = \frac{9/2}{9/2} = 1. \]Observe que el centro de masa \(\left( \frac{6}{5}, \frac{6}{5} \right)\) no es exactamente el mismo que el centroide \((1, 1)\) de la región triangular. Esto se debe a la densidad variable de \(R\). Si la densidad es constante, entonces simplemente usamos \(\rho(x, y) = c\) (constante). Este valor se cancela en las fórmulas, por lo que para una densidad constante, el centro de masa coincide con el centroide de la lámina. ♦
Ejercicio de control 12.6.3
Use nuevamente la misma región $R$ que antes y la función de densidad $\rho(x,y)=\sqrt{xy}$. Halle el centro de masa. ♦
Una vez más, basándonos en los comentarios al final del Ejemplo 12.6.3, tenemos las expresiones para el centroide de una región en el plano:
\[ \displaystyle x_c = \frac{M_y}{m} = \frac{\iint_{R} x \, dA}{\iint_{R} \, dA} \quad \text{y} \quad y_c = \frac{M_x}{m} = \frac{\iint_{R} y \, dA}{\iint_{R} \, dA}. \]Deberíamos usar estas fórmulas y verificar el centroide de la región triangular \(R\) mencionada en los últimos tres ejemplos.
Ejemplo ilustrativo 12.6.4. Encontrando la Masa, los Momentos y el Centro de Masa
Halle la masa, los momentos y el centro de masa de la lámina con densidad $\rho(x,y)=x+y$ que ocupa la región $R$ bajo la curva $y=x^2$ en el intervalo $0\le x\le 2$ (véase la figura siguiente).
Figura 12.6.5 Localización del centro de masa de una lámina $R$ con densidad $\rho(x,y)=x+y$.
Solución:
Primero calculamos la masa \(m\). Necesitamos describir la región entre la gráfica de \(y = x^2\) y las líneas verticales \(x = 0\) y \(x = 2\):
\[ \displaystyle \begin{aligned} m &= \iint_{R} dm = \iint_{R} \rho(x, y) \, dA = \int_{x=0}^{x=2} \int_{y=0}^{y=x^2} (x + y) \, dy \, dx = \int_{x=0}^{x=2} \left[ xy + \frac{y^2}{2} \bigg|_{y=0}^{y=x^2} \right] \, dx \\ &= \int_{x=0}^{x=2} \left[ x^3 + \frac{x^4}{2} \right] \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{10} \right] \bigg|_{x=0}^{x=2} = \frac{36}{5}. \end{aligned} \]Ahora calcule los momentos \(M_x\) y \(M_y\):
\[ \displaystyle M_x = \iint_{R} y \rho(x, y) \, dA = \int_{x=0}^{x=2} \int_{y=0}^{y=x^2} y(x + y) \, dy \, dx = \frac{80}{7}, \] \[ \displaystyle M_y = \iint_{R} x \rho(x, y) \, dA = \int_{x=0}^{x=2} \int_{y=0}^{y=x^2} x(x + y) \, dy \, dx = \frac{176}{15}. \]Finalmente, evalúe el centro de masa:
\[ \displaystyle \bar{x} = \frac{M_y}{m} = \frac{\iint_{R} x \rho(x, y) \, dA}{\iint_{R} \rho(x, y) \, dA} = \frac{176/15}{36/5} = \frac{44}{27}, \] \[ \displaystyle \bar{y} = \frac{M_x}{m} = \frac{\iint_{R} y \rho(x, y) \, dA}{\iint_{R} \rho(x, y) \, dA} = \frac{80/7}{36/5} = \frac{100}{63}. \]Por lo tanto, el centro de masa es \((\bar{x}, \bar{y}) = \left( \frac{44}{27}, \frac{100}{63} \right)\).
♦Ejercicio de control 12.6.4
Calcule la masa, los momentos y el centro de masa de la región comprendida entre las curvas $y=x$ y $y=x^2$, con función de densidad $\rho(x,y)=x$, en el intervalo $0\le x\le 1$. ♦
Ejemplo ilustrativo 12.6.5. Encontrando un Centroide
Halle el centroide de la región bajo la curva $y=e^x$ en el intervalo $1\le x\le 3$ (véase la figura siguiente).
Figura 12.6.6 Cálculo del centroide de una región bajo la curva $y=e^x$.
Solución:
Para calcular el centroide, asumimos que la función de densidad es constante y, por lo tanto, se cancela:
\[ \displaystyle x_c = \frac{M_y}{m} = \frac{\iint_{R} x \, dA}{\iint_{R} \, dA} \quad \text{y} \quad y_c = \frac{M_x}{m} = \frac{\iint_{R} y \, dA}{\iint_{R} \, dA}, \] \[ \displaystyle x_c = \frac{M_y}{m} = \frac{\int_{x=1}^{x=3} \int_{y=0}^{y=e^x} x \, dy \, dx}{\int_{x=1}^{x=3} \int_{y=0}^{y=e^x} \, dy \, dx} = \frac{\int_{x=1}^{x=3} xe^x \, dx}{\int_{x=1}^{x=3} e^x \, dx} = \frac{2e^3}{e^3 – e} = \frac{2e^2}{e^2 – 1}, \] \[ \displaystyle y_c = \frac{M_x}{m} = \frac{\int_{x=1}^{x=3} \int_{y=0}^{y=e^x} y \, dy \, dx}{\int_{x=1}^{x=3} \int_{y=0}^{y=e^x} \, dy \, dx} = \frac{\int_{x=1}^{x=3} \frac{e^{2x}}{2} \, dx}{\int_{x=1}^{x=3} e^x \, dx} = \frac{\frac{1}{4} e^2 (e^4 – 1)}{e(e^2 – 1)} = \frac{1}{4} e (e^2 + 1). \]Por lo tanto, el centroide de la región es
\[ \displaystyle (x_c, y_c) = \left( \frac{2e^2}{e^2 – 1}, \frac{1}{4} e (e^2 + 1) \right). \]♦
Ejercicio de control 12.6.5
Calcule el centroide de la región comprendida entre las curvas $y=x$ y $y=\sqrt{x}$, con densidad uniforme, en el intervalo $0\le x\le 1$. ♦
Momentos de Inercia
Para una comprensión clara de cómo calcular momentos de inercia usando integrales dobles, necesitamos volver a la definición general de momentos y centros de masa en la Sección 6.6 Momentos y Centros de Masa . El momento de inercia de una partícula de masa \(m\) alrededor de un eje es \(mr^2\), donde \(r\) es la distancia de la partícula al eje. Podemos ver en la Figura 12.6.3 que el momento de inercia del subrectángulo \(R_{ij}\) alrededor del eje \(x\) es \((y_{ij}^*)^2 \rho(x_{ij}^*, y_{ij}^*) \Delta A\). De manera similar, el momento de inercia del subrectángulo \(R_{ij}\) alrededor del eje \(y\) es \((x_{ij}^*)^2 \rho(x_{ij}^*, y_{ij}^*) \Delta A\). El momento de inercia está relacionado con la rotación de la masa; específicamente, mide la tendencia de la masa a resistir un cambio en el movimiento de rotación alrededor de un eje.
El momento de inercia \(I_x\) alrededor del eje \(x\) para la región \(R\) es el límite de la suma de momentos de inercia de las regiones \(R_{ij}\) alrededor del eje \(x\). Por lo tanto,
\[ \displaystyle I_x = \lim_{k,l \to \infty} \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{l} (y_{ij}^*)^2 m_{ij} = \lim_{k,l \to \infty} \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{l} (y_{ij}^*)^2 \rho(x_{ij}^*, y_{ij}^*) \Delta A = \iint_{R} y^2 \rho(x, y) \, dA. \]De manera similar, el momento de inercia \(I_y\) alrededor del eje \(y\) para \(R\) es el límite de la suma de momentos de inercia de las regiones \(R_{ij}\) alrededor del eje \(y\). Por lo tanto,
\[ \displaystyle I_y = \lim_{k,l \to \infty} \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{l} (x_{ij}^*)^2 m_{ij} = \lim_{k,l \to \infty} \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{l} (x_{ij}^*)^2 \rho(x_{ij}^*, y_{ij}^*) \Delta A = \iint_{R} x^2 \rho(x, y) \, dA. \]A veces, necesitamos encontrar el momento de inercia de un objeto alrededor del origen, que se conoce como el momento polar de inercia. Lo denotamos por \(I_0\) y lo obtenemos sumando los momentos de inercia \(I_x\) e \(I_y\). Por lo tanto,
\[ \displaystyle I_0 = I_x + I_y = \iint_{R} (x^2 + y^2) \rho(x, y) \, dA. \]Todas estas expresiones se pueden escribir en coordenadas polares sustituyendo \(x = r \cos \theta\), \(y = r \sin \theta\), y \(dA = r \, dr \, d\theta\). Por ejemplo, \(I_0 = \iint_{R} r^2 \rho(r \cos \theta, r \sin \theta) \, dA\).
Ejemplo ilustrativo 12.6.6. Encontrando los Momentos de Inercia de una Lámina Triangular
Use la región triangular $R$ con vértices $(0,0)$, $(2,2)$ y $(2,0)$, y con densidad $\rho(x,y)=xy$ como en ejemplos anteriores. Halle los momentos de inercia.
Solución:
Utilizando las expresiones establecidas anteriormente para los momentos de inercia, tenemos
\[ I_x = \iint\limits_{R} y^2 \rho (x,y) dA = \int_{x=0}^{x=2} \int_{y=0}^{y=x} xy^3 dy \, dx = \frac{8}{3}, \]
\[ I_y = \iint\limits_{R} x^2 \rho (x,y) dA = \int_{x=0}^{x=2} \int_{y=0}^{y=x} x^3y dy \, dx = \frac{16}{3}, \]
\[ \begin{align*} I_0 &= \iint\limits_{R} (x^2 + y^2) \rho(x,y) dA = \int_{0}^{2} \int_{0}^{x} (x^2 + y^2) xy \, dy \, dx \\ &= I_x + I_y = 8. \end{align*} \]
