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12.5 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas

Objetivos de aprendizaje

• 12.5.1 Evalúe una integral triple cambiando a coordenadas cilíndricas
• 12.5.2 Evalúe una integral triple cambiando a coordenadas esféricas.

Anteriormente en este capítulo mostramos cómo convertir una integral doble en coordenadas rectangulares en una integral doble en coordenadas polares, con el fin de tratar de manera más conveniente problemas que involucran simetría circular. Una situación similar ocurre con las integrales triples, pero aquí necesitamos distinguir entre simetría cilíndrica y simetría esférica. En esta sección convertimos integrales triples en coordenadas rectangulares en una integral triple ya sea en coordenadas cilíndricas o esféricas.

Recuerde también la introducción del capítulo, en la cual se mostró la ópera l’Hemisfèric en Valencia, España. Tiene cuatro secciones, y una de ellas es un teatro dentro de una esfera de cinco pisos de altura bajo un techo ovalado tan largo como un campo de fútbol. En su interior hay una pantalla IMAX que transforma la esfera en un planetario con un cielo lleno de 9000 estrellas centelleantes. Usando integrales triples en coordenadas esféricas, podemos encontrar los volúmenes de diferentes formas geométricas como estas.

Revisión de las Coordenadas Cilíndricas

Como hemos visto anteriormente, en el espacio bidimensional $\mathbb{R}^2$, un punto con coordenadas rectangulares $(x,y)$ puede identificarse con $(r,\theta)$ en coordenadas polares y viceversa, donde $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$, $r^2=x^2+y^2$ y $\tan\theta=\left(\dfrac{y}{x}\right)$ son las relaciones entre las variables.

En el espacio tridimensional $\mathbb{R}^3$, un punto con coordenadas rectangulares $(x,y,z)$ puede identificarse con coordenadas cilíndricas $(r,\theta,z)$ y viceversa. Podemos usar estas mismas relaciones de conversión, agregando $z$ como la distancia vertical desde el plano $xy$ hasta el punto, como se muestra en la siguiente figura.

Para convertir de coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas, usamos las transformaciones $x=r\cos\theta$ y $y=r\sin\theta$. Para convertir de coordenadas cilíndricas a rectangulares, usamos $r^2=x^2+y^2$ y $\tan\theta=\dfrac{y}{x}$. La coordenada $z$ permanece igual en ambos casos.

En el plano bidimensional con un sistema de coordenadas rectangulares, cuando decimos $x=k$ (constante) nos referimos a una recta vertical no acotada paralela al eje $y$, y cuando $y=l$ (constante) nos referimos a una recta horizontal no acotada paralela al eje $x$. Con el sistema de coordenadas polares, cuando decimos $r=c$ (constante) nos referimos a una circunferencia de radio $c$ unidades, y cuando $\theta=\alpha$ (constante) nos referimos a un rayo infinito que forma un ángulo $\alpha$ con el eje positivo $x$.

De manera similar, en el espacio tridimensional con coordenadas rectangulares $(x,y,z)$, las ecuaciones $x=k$, $y=l$ y $z=m$, donde $k$, $l$ y $m$ son constantes, representan planos no acotados paralelos a los planos $yz$, $xz$ y $xy$, respectivamente. Con coordenadas cilíndricas $(r,\theta,z)$, las ecuaciones $r=c$, $\theta=\alpha$ y $z=m$, donde $c$, $\alpha$ y $m$ son constantes, representan, respectivamente, un cilindro vertical no acotado cuyo eje es el eje $z$; un plano que forma un ángulo constante $\alpha$ con el plano $xy$; y un plano horizontal no acotado paralelo al plano $xz$. Esto significa que el cilindro circular $x^2+y^2=c^2$ en coordenadas rectangulares puede representarse simplemente como $r=c$ en coordenadas cilíndricas. (Véase Coordenadas cilíndricas y esféricas para mayor revisión.)

Integración en Coordenadas Cilíndricas

Las integrales triples a menudo pueden evaluarse más fácilmente utilizando coordenadas cilíndricas en lugar de coordenadas rectangulares. Algunas ecuaciones comunes de superficies en coordenadas rectangulares, junto con sus ecuaciones correspondientes en coordenadas cilíndricas, se presentan en la Tabla 12.5.1. Estas ecuaciones resultarán útiles a medida que avancemos en la resolución de problemas usando integrales triples.

	Cilindro circular	Cono circular	Esfera	Paraboloide
Rectangulares	\[ x^2 + y^2 = c^2 \]	\[ z^2 = c^2 (x^2 + y^2) \]	\[ x^2 + y^2 + z^2 = c^2 \]	\[ z = c(x^2 + y^2) \]
Cilíndricas	\[ r = c \]	\[ z = cr \]	\[ r^2 + z^2 = c^2 \]	\[ z = cr^2 \]

Tabla 12.5.1 Ecuaciones de Algunas Formas Comunes

Como antes, comenzamos con la región acotada más simple $B$ en $\mathbb{R}^3$ para describirla en coordenadas cilíndricas, en forma de una caja cilíndrica, $$ B=\{(r,\theta,z)\mid a\le r\le b,\ \alpha\le \theta\le \beta,\ c\le z\le d\} $$ (Figura 12.5.2). Supongamos que dividimos cada intervalo en $l$, $m$ y $n$ subdivisiones tales que $$ \Delta r=\frac{b-a}{l},\quad \Delta \theta=\frac{\beta-\alpha}{m},\quad \Delta z=\frac{d-c}{n}. $$ Entonces podemos establecer la siguiente definición para una integral triple en coordenadas cilíndricas.

Definición

Considere la caja cilíndrica (expresada en coordenadas cilíndricas) \[ B = \{ (r, \theta, z) \mid a \le r \le b, \alpha \le \theta \le \beta, c \le z \le d \}. \]

Si la función \( f(r, \theta, z) \) es continua en \( B \) y si \( (r_{ijk}^*, \theta_{ijk}^*, z_{ijk}^*) \) es cualquier punto de muestra en la subcaja cilíndrica \( B_{ijk} = [r_{i-1}, r_i] \times [\theta_{j-1}, \theta_j] \times [z_{k-1}, z_k] \), entonces podemos definir la integral triple en coordenadas cilíndricas como el límite de una suma triple de Riemann, siempre que el siguiente límite exista: \[ \lim_{l, m, n \to \infty} \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{m} \sum_{k=1}^{n} f(r_{ijk}^*, \theta_{ijk}^*, z_{ijk}^*) r_{ijk}^* \Delta r \Delta \theta \Delta z. \]

♦

Tenga en cuenta que si \( g(x, y, z) \) es la función en coordenadas rectangulares y la caja \( B \) se expresa en coordenadas rectangulares, entonces la integral triple \( \displaystyle \iiint_B g(x, y, z) \, dV \) es igual a la integral triple \[ \iiint_B g(r \cos \theta, r \sin \theta, z) \, r \, dr \, d\theta \, dz \] y tenemos \[ \iiint_B g(x, y, z) \, dV = \iiint_B g(r \cos \theta, r \sin \theta, z) \, r \, dr \, d\theta \, dz = \iiint_B f(r, \theta, z) \, r \, dr \, d\theta \, dz. \tag{12.5.1} \]

Como se mencionó en la sección anterior, todas las propiedades de una integral doble funcionan bien en las integrales triples, ya sea en coordenadas rectangulares o cilíndricas. También se mantienen para las integrales iteradas. Para reiterar, en coordenadas cilíndricas, el teorema de Fubini toma la siguiente forma:

Teorema 12.5.1. Teorema de Fubini en Coordenadas Cilíndricas

Suponga que \( g(x, y, z) \) es continua en una porción de un cilindro circular \( B \), que cuando se describe en coordenadas cilíndricas se expresa como \( B = \{ (r, \theta, z) \mid a \le r \le b, \alpha \le \theta \le \beta, c \le z \le d \} \).

Entonces \( g(x, y, z) = g(r \cos \theta, r \sin \theta, z) = f(r, \theta, z) \) y tenemos: \[ \iiint_B g(x, y, z) \, dV = \int_{c}^{d} \int_{\alpha}^{\beta} \int_{a}^{b} f(r, \theta, z) \, r \, dr \, d\theta \, dz. \]

♦

La integral iterada puede reemplazarse de manera equivalente por cualquiera de las otras cinco integrales iteradas que se obtienen al integrar con respecto a las tres variables en otros órdenes.

Los sistemas de coordenadas cilíndricas funcionan bien para sólidos que son simétricos alrededor de un eje, como los cilindros y los conos. Veamos algunos ejemplos antes de definir la integral triple en coordenadas cilíndricas sobre regiones cilíndricas generales.

Ejemplo ilustrativo 12.5.1. Evaluando una Integral Triple sobre una Caja Cilíndrica

Evalúe la integral triple \(\displaystyle \iiint_B (zr \sin \theta) \, r \, dr \, d\theta \, dz \), donde la caja cilíndrica \( B \) es \[ B = \{ (r, \theta, z) \mid 0 \le r \le 2, 0 \le \theta \le \pi/2, 0 \le z \le 4 \}. \]

Solución:

Como se establece en el teorema de Fubini, podemos escribir la integral triple como la integral iterada: \[ \iiint_B (zr \sin \theta) \, r \, dr \, d\theta \, dz = \int_{\theta=0}^{\theta=\pi/2} \int_{r=0}^{r=2} \int_{z=0}^{z=4} (zr \sin \theta) \, r \, dz \, dr \, d\theta. \]

La evaluación de la integral iterada es directa. Cada variable en la integral es independiente de las demás, por lo que podemos integrar cada variable por separado y multiplicar los resultados. Esto facilita mucho el cálculo:

\[ \begin{aligned} & \int_{\theta=0}^{\theta=\pi/2} \int_{r=0}^{r=2} \int_{z=0}^{z=4} (zr^2 \sin \theta) \, dz \, dr \, d\theta \\ &= \left( \int_{0}^{\pi/2} \sin \theta \, d\theta \right) \left( \int_{0}^{2} r^2 \, dr \right) \left( \int_{0}^{4} z \, dz \right) \\ &= \left( -\cos \theta \Big|_{0}^{\pi/2} \right) \left( \frac{r^3}{3} \Big|_{0}^{2} \right) \left( \frac{z^2}{2} \Big|_{0}^{4} \right) \\ &= (1) \left( \frac{8}{3} \right) (8) = \frac{64}{3}. \end{aligned} \]

♦

Ejercicio de control 12.5.1

Evalúe la integral triple \[ \int_{\theta=0}^{\theta=\pi} \int_{r=0}^{r=1} \int_{z=0}^{z=4} (rz \sin \theta) \, r \, dz \, dr \, d\theta. \] ♦

Si la región cilíndrica sobre la cual tenemos que integrar es un sólido general, observamos las proyecciones sobre los planos coordenados. Por lo tanto, la integral triple de una función continua \( f(r, \theta, z) \) sobre una región sólida general \( E = \{ (r, \theta, z) \mid (r, \theta) \in D, u_1(r, \theta) \le z \le u_2(r, \theta) \} \) en \( \mathbb{R}^3 \), donde \( D \) es la proyección de \( E \) sobre el plano \( r\theta \), es: \[ \iiint_E f(r, \theta, z) \, r \, dr \, d\theta \, dz = \iint_D \left[ \int_{u_1(r, \theta)}^{u_2(r, \theta)} f(r, \theta, z) \, dz \right] r \, dr \, d\theta. \]

En particular, si \( D = \{ (r, \theta) \mid g_1(\theta) \le r \le g_2(\theta), \alpha \le \theta \le \beta \} \), entonces tenemos: \[ \iiint_E f(r, \theta, z) \, r \, dr \, d\theta \, dz = \int_{\theta=\alpha}^{\theta=\beta} \int_{r=g_1(\theta)}^{r=g_2(\theta)} \int_{z=u_1(r, \theta)}^{z=u_2(r, \theta)} f(r, \theta, z) \, r \, dz \, dr \, d\theta. \]

Existen fórmulas similares para las proyecciones sobre los otros planos coordenados. Podemos utilizar coordenadas polares en esos planos si es necesario.

Ejemplo ilustrativo 12.5.2. Planteando una Integral Triple en Coordenadas Cilíndricas sobre una Región General

Considere la región $E$ dentro del cilindro circular recto con ecuación $r=2\sin\theta$, limitada inferiormente por el plano $r\theta$ y limitada superiormente por la esfera de radio $4$ centrada en el origen (Figura 12.5.3). Plantee una integral triple sobre esta región con una función $f(r,\theta,z)$ en coordenadas cilíndricas.

Solución:

Primero, identifique que la ecuación para la esfera es \( r^2 + z^2 = 16 \). Podemos ver que los límites para \( z \) van desde \( 0 \) hasta \( z = \sqrt{16 – r^2} \). Luego, los límites para \( r \) van desde \( 0 \) hasta \( r = 2 \sin \theta \). Finalmente, los límites para \( \theta \) van desde \( 0 \) hasta \( \pi \). Por lo tanto, la región es: \[ E = \{ (r, \theta, z) \mid 0 \le \theta \le \pi, 0 \le r \le 2 \sin \theta, 0 \le z \le \sqrt{16 – r^2} \}. \]

Por lo tanto, la integral triple es: \[ \iiint_E f(r, \theta, z) \, r \, dz \, dr \, d\theta = \int_{\theta=0}^{\theta=\pi} \int_{r=0}^{r=2 \sin \theta} \int_{z=0}^{z=\sqrt{16-r^2}} f(r, \theta, z) \, r \, dz \, dr \, d\theta. \]

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Ejercicio de control 12.5.2

Considere la región $E$ dentro del cilindro circular recto con ecuación $r=2\sin\theta$, limitada inferiormente por el plano $r\theta$ y limitada superiormente por $z=4-y$. Plantee una integral triple con una función $f(r,\theta,z)$ en coordenadas cilíndricas. ♦

Ejemplo ilustrativo 12.5.3. Planteando una Integral Triple de Dos Maneras

Sea \( E \) la región acotada inferiormente por el cono \( z = \sqrt{x^2 + y^2} \) y superiormente por el paraboloide \( z = 2 – x^2 – y^2 \). Plantee una integral triple en coordenadas cilíndricas para encontrar el volumen de la región, utilizando los siguientes órdenes de integración:

1. \( dz \, dr \, d\theta \)
2. \( dr \, dz \, d\theta \)

Solución:

a. El cono tiene un radio de 1 donde se encuentra con el paraboloide. Dado que \( z = 2 – x^2 – y^2 = 2 – r^2 \) y \( z = \sqrt{x^2 + y^2} = r \) (asumiendo que \( r \) es no negativo), tenemos \( 2 – r^2 = r \). Resolviendo, obtenemos \( r^2 + r – 2 = (r + 2)(r – 1) = 0 \). Dado que \( r \ge 0 \), tenemos \( r = 1 \). Por lo tanto, \( z = 1 \). Así, la intersección de estas dos superficies es un círculo de radio 1 en el plano \( z = 1 \). El cono es el límite inferior para \( z \) y el paraboloide es el límite superior. La proyección de la región sobre el plano \( xy \) es el círculo de radio 1 centrado en el origen. Por lo tanto, podemos describir la región como: \[ E = \{ (r, \theta, z) \mid 0 \le \theta \le 2\pi, 0 \le r \le 1, r \le z \le 2 – r^2 \}. \]

Por lo tanto, la integral para el volumen es: \[ V = \int_{\theta=0}^{\theta=2\pi} \int_{r=0}^{r=1} \int_{z=r}^{z=2-r^2} r \, dz \, dr \, d\theta. \]

b. También podemos escribir la superficie del cono como \( r = z \) y la del paraboloide como \( r^2 = 2 – z \). El límite inferior para \( r \) es cero, pero el límite superior es a veces el cono y otras veces el paraboloide. El plano \( z = 1 \) divide la región en dos subregiones. Entonces la región puede describirse como: \[ \begin{aligned} E &= \{ (r, \theta, z) \mid 0 \le \theta \le 2\pi, 0 \le z \le 1, 0 \le r \le z \} \\ &\cup \{ (r, \theta, z) \mid 0 \le \theta \le 2\pi, 1 \le z \le 2, 0 \le r \le \sqrt{2 – z} \}. \end{aligned} \]

Ahora la integral para el volumen se convierte en: \[ V = \int_{\theta=0}^{\theta=2\pi} \int_{z=0}^{z=1} \int_{r=0}^{r=z} r \, dr \, dz \, d\theta + \int_{\theta=0}^{\theta=2\pi} \int_{z=1}^{z=2} \int_{r=0}^{r=\sqrt{2-z}} r \, dr \, dz \, d\theta. \]

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Ejercicio de control 12.5.3

Repita el ejemplo anterior cambiando el orden de integración a $d\theta\,dz\,dr$. ♦

Ejemplo ilustrativo 12.5.4. Encontrando un Volumen con Integrales Triples de Dos Maneras

Sea \( E \) la región acotada inferiormente por el plano \( r\theta \), superiormente por la esfera \( x^2 + y^2 + z^2 = 4 \), y en los lados por el cilindro \( x^2 + y^2 = 1 \) (Figura 5.54). Plantee una integral triple en coordenadas cilíndricas para encontrar el volumen de la región utilizando los siguientes órdenes de integración, y en cada caso encuentre el volumen y verifique que las respuestas sean las mismas:

1. \( dz \, dr \, d\theta \)
2. \( dr \, dz \, d\theta \)

Solución:

a. Note que la ecuación de la esfera es \[ x^2 + y^2 + z^2 = 4 \quad \text{o} \quad r^2 + z^2 = 4 \] y la ecuación del cilindro es \[ x^2 + y^2 = 1 \quad \text{o} \quad r^2 = 1. \] Así, para la región \( E \) tenemos \[ E = \{ (r, \theta, z) \mid 0 \le z \le \sqrt{4 – r^2}, 0 \le r \le 1, 0 \le \theta \le 2\pi \}. \]

Por lo tanto, la integral para el volumen es: \[ \begin{aligned} V(E) &= \int_{\theta=0}^{\theta=2\pi} \int_{r=0}^{r=1} \int_{z=0}^{z=\sqrt{4-r^2}} r \, dz \, dr \, d\theta \\ &= \int_{\theta=0}^{\theta=2\pi} \int_{r=0}^{r=1} \left[ rz \Big|_{z=0}^{z=\sqrt{4-r^2}} \right] dr \, d\theta = \int_{\theta=0}^{\theta=2\pi} \int_{r=0}^{r=1} \left( r\sqrt{4-r^2} \right) dr \, d\theta \\ &= \int_{0}^{2\pi} \left( \frac{8}{3} – \sqrt{3} \right) d\theta = 2\pi \left( \frac{8}{3} – \sqrt{3} \right) \text{ unidades cúbicas.} \end{aligned} \]

b. Dado que la esfera es \( r^2 + z^2 = 4 \) y el cilindro es \( r^2 = 1 \), tenemos \( 1 + z^2 = 4 \), es decir, \( z^2 = 3 \). Por lo tanto, tenemos dos regiones, ya que la esfera y el cilindro se intersecan en \( (1, \sqrt{3}) \) en el plano \( rz \): \[ E_1 = \{ (r, \theta, z) \mid 0 \le r \le \sqrt{4 – r^2}, \sqrt{3} \le z \le 2, 0 \le \theta \le 2\pi \} \] y \[ E_2 = \{ (r, \theta, z) \mid 0 \le r \le 1, 0 \le z \le \sqrt{3}, 0 \le \theta \le 2\pi \}. \]

Por lo tanto, la integral para el volumen es: \[ \begin{aligned} V(E) &= \int_{\theta=0}^{\theta=2\pi} \int_{z=\sqrt{3}}^{z=2} \int_{r=0}^{r=\sqrt{4-z^2}} r \, dr \, dz \, d\theta + \int_{\theta=0}^{\theta=2\pi} \int_{z=0}^{z=\sqrt{3}} \int_{r=0}^{r=1} r \, dr \, dz \, d\theta \\ &= \sqrt{3}\pi + \left( \frac{16}{3} – 3\sqrt{3} \right) \pi = 2\pi \left( \frac{8}{3} – \sqrt{3} \right) \text{ unidades cúbicas.} \end{aligned} \]

♦

Ejercicio de control 12.5.4

Repita el ejemplo anterior cambiando el orden de integración a $d\theta\,dz\,dr$. ♦

Revisión de las Coordenadas Esféricas

En el espacio tridimensional $\mathbb{R}^3$, en el sistema de coordenadas esféricas, se especifica un punto $P$ por su distancia $\rho$ al origen, el ángulo polar $\theta$ medido desde el eje positivo $x$ (el mismo que en el sistema de coordenadas cilíndricas) y el ángulo $\varphi$ medido entre el eje positivo $z$ y el segmento $OP$ (Figura 12.5.6). Observe que $\rho\ge 0$ y $0\le \varphi\le \pi$. (Consulte Coordenadas cilíndricas y esféricas para una revisión). Las coordenadas esféricas son útiles para integrales triples sobre regiones que son simétricas respecto al origen.

Recuerde las relaciones que conectan las coordenadas rectangulares con las coordenadas esféricas.

De coordenadas esféricas a coordenadas rectangulares: \[ x = \rho \sin \varphi \cos \theta, \quad y = \rho \sin \varphi \sin \theta, \quad \text{y} \quad z = \rho \cos \varphi. \]

De coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas: \[ \rho^2 = x^2 + y^2 + z^2, \quad \tan \theta = \frac{y}{x}, \quad \varphi = \arccos\left( \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \right). \]

Otras relaciones que es importante conocer para las conversiones son:

• \( r = \rho \sin \varphi \)
• \( \theta = \theta \)
• \( z = \rho \cos \varphi \)

Estas ecuaciones se utilizan para convertir de coordenadas esféricas a coordenadas cilíndricas.

y

• \( \rho = \sqrt{r^2 + z^2} \)
• \( \theta = \theta \)
• \( \varphi = \arccos\left( \frac{z}{\sqrt{r^2 + z^2}} \right) \)

Estas ecuaciones se utilizan para convertir de coordenadas cilíndricas a coordenadas esféricas.

La siguiente figura muestra algunas regiones sólidas que son convenientes de expresar en coordenadas esféricas.

Integración en Coordenadas Esféricas

Ahora establecemos una integral triple en el sistema de coordenadas esféricas, como hicimos anteriormente en el sistema de coordenadas cilíndricas. Sea la función \( f(\rho, \theta, \varphi) \) continua en una caja esférica acotada, \[ B = \{ (\rho, \theta, \varphi) \mid a \le \rho \le b, \alpha \le \theta \le \beta, \gamma \le \varphi \le \psi \}. \] Luego dividimos cada intervalo en \( l, m \) y \( n \) subdivisiones tales que \( \Delta \rho = \frac{b-a}{l}, \Delta \theta = \frac{\beta-\alpha}{m}, \Delta \varphi = \frac{\psi-\gamma}{n} \).

Ahora podemos ilustrar el siguiente teorema para integrales triples en coordenadas esféricas con \( (\rho_{ijk}^*, \theta_{ijk}^*, \varphi_{ijk}^*) \) siendo cualquier punto de muestra en la sub-caja esférica \( B_{ijk} \). Para el elemento de volumen de la sub-caja \( \Delta V \) en coordenadas esféricas, tenemos \( \Delta V = (\Delta \rho)(\rho \Delta \varphi)(\rho \sin \varphi \Delta \theta) \), como se muestra en la siguiente figura.

Definición

La integral triple en coordenadas esféricas es el límite de una suma triple de Riemann, \[ \lim_{l,m,n\to\infty} \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{m} \sum_{k=1}^{n} f(\rho_{ijk}^*, \theta_{ijk}^*, \varphi_{ijk}^*) (\rho_{ijk}^*)^2 \sin \varphi_{ijk}^* \Delta \rho \Delta \theta \Delta \varphi \] siempre que el límite exista. ♦

Al igual que con las otras integrales múltiples que hemos estudiado, todas las propiedades funcionan de manera similar para una integral triple en el sistema de coordenadas esféricas, y lo mismo ocurre con las integrales iteradas. El teorema de Fubini toma la siguiente forma.

Teorema 12.5.2. Teorema de Fubini para Coordenadas Esféricas

Si \( f(\rho, \theta, \varphi) \) es continua en una caja sólida esférica \( B = [a, b] \times [\alpha, \beta] \times [\gamma, \psi] \), entonces \[ \iiint_B f(\rho, \theta, \varphi) \rho^2 \sin \varphi \, d\rho \, d\varphi \, d\theta = \int_{\theta=\alpha}^{\theta=\beta} \int_{\varphi=\gamma}^{\varphi=\psi} \int_{\rho=a}^{\rho=b} f(\rho, \theta, \varphi) \rho^2 \sin \varphi \, d\rho \, d\varphi \, d\theta. \tag{12.5.2} \]

Esta integral iterada puede ser reemplazada por otras integrales iteradas integrando con respecto a las tres variables en otros órdenes. ♦

Como se indicó anteriormente, los sistemas de coordenadas esféricas funcionan bien para sólidos que son simétricos alrededor de un punto, como las esferas y los conos. Veamos algunos ejemplos antes de considerar integrales triples en coordenadas esféricas sobre regiones esféricas generales.

Ejemplo ilustrativo 12.5.5. Evaluando una Integral Triple en Coordenadas Esféricas

Evalúe la integral triple iterada \[ \int_{\theta=0}^{\theta=2\pi} \int_{\varphi=0}^{\varphi=\pi/2} \int_{\rho=0}^{\rho=1} \rho^2 \sin \varphi \, d\rho \, d\varphi \, d\theta. \]

Solución:

Como antes, en este caso las variables en la integral iterada son de hecho independientes entre sí y, por lo tanto, podemos integrar cada parte y multiplicar: \[ \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{1} \rho^2 \sin \varphi \, d\rho \, d\varphi \, d\theta = \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{\pi/2} \sin \varphi \, d\varphi \int_{0}^{1} \rho^2 \, d\rho = (2\pi) (1) \left( \frac{1}{3} \right) = \frac{2\pi}{3}. \]

♦

El concepto de integración triple en coordenadas esféricas puede extenderse a la integración sobre un sólido general, utilizando las proyecciones sobre los planos coordenados. Observe que \( dV \) y \( dA \) significan los incrementos en volumen y área, respectivamente. Las variables \( V \) y \( A \) se utilizan como las variables de integración para expresar las integrales.

La integral triple de una función continua \( f(\rho, \theta, \varphi) \) sobre una región sólida general \[ E = \{ (\rho, \theta, \varphi) \mid (\rho, \theta) \in D, u_1(\rho, \theta) \le \varphi \le u_2(\rho, \theta) \} \] en \( \mathbb{R}^3 \), donde \( D \) es la proyección de \( E \) sobre el plano \( \rho\theta \), es \[ \iiint_E f(\rho, \theta, \varphi) \, dV = \iint_D \left[ \int_{u_1(\rho, \theta)}^{u_2(\rho, \theta)} f(\rho, \theta, \varphi) \, d\varphi \right] dA. \]

En particular, si \( D = \{ (\rho, \theta) \mid g_1(\theta) \le \rho \le g_2(\theta), \alpha \le \theta \le \beta \} \), entonces tenemos \[ \iiint_E f(\rho, \theta, \varphi) \, dV = \int_{\alpha}^{\beta} \int_{g_1(\theta)}^{g_2(\theta)} \int_{u_1(\rho, \theta)}^{u_2(\rho, \theta)} f(\rho, \theta, \varphi) \rho^2 \sin \varphi \, d\varphi \, d\rho \, d\theta. \]

Fórmulas similares ocurren para proyecciones sobre los otros planos coordenados.

Ejemplo ilustrativo 12.5.6. Planteando una Integral Triple en Coordenadas Esféricas

Plantee una integral para el volumen de la región limitada por el cono $z=\sqrt{3(x^2+y^2)}$ y la hemisfera $z=\sqrt{4-x^2-y^2}$ (ver la figura a continuación).

Solución:

Utilizando las fórmulas de conversión de coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas, tenemos:

Para el cono: \( z = \sqrt{3(x^2 + y^2)} \) o \( \rho \cos \varphi = \sqrt{3}\rho \sin \varphi \) o \( \tan \varphi = \frac{1}{\sqrt{3}} \) o \( \varphi = \frac{\pi}{6} \).

Para la esfera: \( z = \sqrt{4 – x^2 – y^2} \) o \( z^2 + x^2 + y^2 = 4 \) o \( \rho^2 = 4 \) o \( \rho = 2 \).

Por lo tanto, la integral triple para el volumen es \( V(E) = \int_{\theta=0}^{\theta=2\pi} \int_{\varphi=0}^{\varphi=\pi/6} \int_{\rho=0}^{\rho=2} \rho^2 \sin \varphi \, d\rho \, d\varphi \, d\theta \).

♦

Ejercicio de control 12.5.5

Plantee una integral triple para el volumen de la región sólida limitada superiormente por la esfera $\rho=2$ y limitada inferiormente por el cono $\varphi=\pi/3$. ♦

Ejemplo ilustrativo 12.5.7. Intercambiando el Orden de Integración en Coordenadas Esféricas

Sea \( E \) la región acotada inferiormente por el cono \( z = \sqrt{x^2 + y^2} \) y superiormente por la esfera \( z = x^2 + y^2 + z^2 \) (Figura 5.59). Plantee una integral triple en coordenadas esféricas para encontrar el volumen de la región utilizando los siguientes órdenes de integración:

1. \( d\rho \, d\phi \, d\theta \)
2. \( d\varphi \, d\rho \, d\theta \)

Solución:

a. Utilice las fórmulas de conversión para escribir las ecuaciones de la esfera y el cono en coordenadas esféricas.

Para la esfera: \[ \begin{aligned} x^2 + y^2 + z^2 &= z \\ \rho^2 &= \rho \cos \varphi \\ \rho &= \cos \varphi. \end{aligned} \]

Para el cono: \[ \begin{aligned} z &= \sqrt{x^2 + y^2} \\ \rho \cos \varphi &= \sqrt{\rho^2 \sin^2 \varphi \cos^2 \theta + \rho^2 \sin^2 \varphi \sin^2 \theta} \\ \rho \cos \varphi &= \sqrt{\rho^2 \sin^2 \varphi (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)} \\ \rho \cos \varphi &= \rho \sin \varphi \\ \cos \varphi &= \sin \varphi \\ \varphi &= \pi/4. \end{aligned} \]

Por lo tanto, la integral para el volumen de la región sólida \( E \) se convierte en: \[ V(E) = \int_{\theta=0}^{\theta=2\pi} \int_{\varphi=0}^{\varphi=\pi/4} \int_{\rho=0}^{\rho=\cos \varphi} \rho^2 \sin \varphi \, d\rho \, d\varphi \, d\theta. \]

b. Considere el plano \( \varphi\rho \). Note que los rangos para \( \varphi \) y \( \rho \) (de la parte a.) son: \[ 0 \le \varphi \le \pi/4 \] \[ 0 \le \rho \le \cos \varphi. \]

La curva \( \rho = \cos \varphi \) se encuentra con la línea \( \varphi = \pi/4 \) en el punto \( (\pi/4, \sqrt{2}/2) \). Por lo tanto, para cambiar el orden de integración, necesitamos usar dos piezas: \[ 0 \le \rho \le \sqrt{2}/2 \quad \text{y} \quad 0 \le \varphi \le \pi/4 \] y \[ \sqrt{2}/2 \le \rho \le 1 \quad \text{y} \quad 0 \le \varphi \le \cos^{-1} \rho. \]

Por lo tanto, la integral para el volumen de la región sólida \( E \) se convierte en: \[ V(E) = \int_{\theta=0}^{\theta=2\pi} \int_{\rho=0}^{\rho=\sqrt{2}/2} \int_{\varphi=0}^{\varphi=\pi/4} \rho^2 \sin \varphi \, d\varphi \, d\rho \, d\theta + \int_{\theta=0}^{\theta=2\pi} \int_{\rho=\sqrt{2}/2}^{\rho=1} \int_{\varphi=0}^{\varphi=\cos^{-1} \rho} \rho^2 \sin \varphi \, d\varphi \, d\rho \, d\theta. \]

En cada caso, el resultado de la integración es \( V(E) = \pi/8 \).

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Antes de finalizar esta sección, presentamos un par de ejemplos que pueden ilustrar la conversión de coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas y de coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas.

Ejemplo ilustrativo 12.5.8. Convirtiendo de Coordenadas Rectangulares a Coordenadas Cilíndricas

Convierta la siguiente integral a coordenadas cilíndricas: \[ \int_{y=-1}^{y=1} \int_{x=0}^{x=\sqrt{1-y^2}} \int_{z=x^2+y^2}^{z=\sqrt{x^2+y^2}} xyz \, dz \, dx \, dy. \]

Solución:

Los rangos de las variables son

\[ \begin{aligned} -1 \le & y \le 1 \\ 0 \le & x \le \sqrt{1 – y^2} \\ x^2 + y^2 \le & z \le \sqrt{x^2 + y^2}. \end{aligned} \]

Las dos primeras desigualdades describen la mitad derecha de un círculo de radio 1. Por lo tanto, los rangos para \(\theta\) y \(r\) son

\[ -\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2} \quad \text{y} \quad 0 \le r \le 1. \]

Los límites de \(z\) son \(r^2 \le z \le r\), por lo tanto

\[ \int_{y=-1}^{y=1} \int_{x=0}^{x=\sqrt{1-y^2}} \int_{z=x^2+y^2}^{z=\sqrt{x^2+y^2}} xyz \, dz \, dx \, dy = \int_{\theta=-\pi/2}^{\theta=\pi/2} \int_{r=0}^{r=1} \int_{z=r^2}^{z=r} r (r \cos \theta) (r \sin \theta) z \, dz \, dr \, d\theta. \]

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Ejemplo ilustrativo 12.5.9. Convirtiendo de Coordenadas Rectangulares a Coordenadas Esféricas

Convierte la siguiente integral a coordenadas esféricas:

\[ \int_{y=0}^{y=3} \int_{x=0}^{x=\sqrt{9-y^2}} \int_{z=\sqrt{x^2+y^2}}^{z=\sqrt{18-x^2-y^2}} (x^2 + y^2 + z^2) \, dz \, dx \, dy. \]

Solución:

Los rangos de las variables son

\[ \begin{aligned} 0 \le & y \le 3 \\ 0 \le & x \le \sqrt{9 – y^2} \\ \sqrt{x^2 + y^2} \le & z \le \sqrt{18 – x^2 – y^2}. \end{aligned} \]

Los dos primeros rangos de variables describen un cuarto de disco en el primer cuadrante del plano \(xy\). Por lo tanto, el rango para \(\theta\) es \(0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}\).

El límite inferior \(z = \sqrt{x^2 + y^2}\) es la mitad superior de un cono y el límite superior \(z = \sqrt{18 – x^2 – y^2}\) es la mitad superior de una esfera. Por lo tanto, tenemos \(0 \le \rho \le \sqrt{18}\), que es \(0 \le \rho \le 3\sqrt{2}\).

Para los rangos de \(\phi\), necesitamos encontrar dónde se intersectan el cono y la esfera, así que resolvemos la ecuación

\[ \begin{aligned} r^2 + z^2 &= 18 \\ \left(\sqrt{x^2 + y^2}\right)^2 + z^2 &= 18 \\ z^2 + z^2 &= 18 \\ 2z^2 &= 18 \\ z^2 &= 9 \\ z &= 3. \end{aligned} \]

Esto da

\[ \begin{aligned} 3\sqrt{2} \cos \phi &= 3 \\ \cos \phi &= \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \phi &= \frac{\pi}{4}. \end{aligned} \]

Juntando todo esto, obtenemos

\[ \int_{y=0}^{y=3} \int_{x=0}^{x=\sqrt{9-y^2}} \int_{z=\sqrt{x^2+y^2}}^{z=\sqrt{18-x^2-y^2}} (x^2 + y^2 + z^2) \, dz \, dx \, dy = \int_{\phi=0}^{\phi=\pi/4} \int_{\theta=0}^{\theta=\pi/2} \int_{\rho=0}^{\rho=3\sqrt{2}} \rho^4 \sin \phi \, d\rho \, d\theta \, d\phi. \]

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Ejercicio de control 12.5.6

Utilice coordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricas para plantear integrales triples que permitan hallar el volumen de la región que está dentro de la esfera $x^2+y^2+z^2=4$ pero fuera del cilindro $x^2+y^2=1$.

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Ahora que estamos familiarizados con el sistema de coordenadas esféricas, encontremos el volumen de algunas figuras geométricas conocidas, como esferas y elipsoides.

Ejemplo ilustrativo 12.5.10. Apertura del Capítulo: Encontrando el Volumen de l’Hemisphèric

Halle el volumen del planetario esférico del l’Hemisfèric en Valencia, España, que tiene cinco pisos de altura y un radio aproximado de $50$ ft, usando la ecuación $x^2+y^2+z^2=r^2$.

Solución:

Calculamos el volumen de la bola en el primer octante, donde \(x \ge 0, y \ge 0,\) y \(z \ge 0\), usando coordenadas esféricas, y luego multiplicamos el resultado por 8 por simetría. Dado que consideramos la región \(D\) como el primer octante en la integral, los rangos de las variables son

\[ 0 \le \phi \le \frac{\pi}{2}, 0 \le \rho \le r, 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}. \]

Por lo tanto,

\[ \begin{aligned} V & = \iiint\limits_{D} dx \, dy \, dz = 8 \int_{\theta=0}^{\theta=\pi/2} \int_{\rho=0}^{\rho=r} \int_{\phi=0}^{\phi=\pi/2} \rho^2 \sin \phi \, d\phi \, d\rho \, d\theta \\ & = 8 \int_{\phi=0}^{\phi=\pi/2} d\phi \int_{\rho=0}^{\rho=r} \rho^2 \, d\rho \int_{\theta=0}^{\theta=\pi/2} \sin \theta \, d\theta \\ & = 8 \left( \frac{\pi}{2} \right) \left( \frac{r^3}{3} \right) (1) \\ & = \frac{4}{3} \pi r^3. \end{aligned} \]

Esto coincide exactamente con lo que sabíamos. Así que para una esfera con un radio de aproximadamente 50 pies, el volumen es \(\frac{4}{3} \pi (50)^3 \approx 523,600 \text{ ft}^3\). ♦

Para el siguiente ejemplo, encontramos el volumen de un elipsoide.

Ejemplo ilustrativo 12.5.11. Encontrando el Volumen de un Elipsoide

Halle el volumen del elipsoide $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$.

Solución:

Nuevamente usamos la simetría y evaluamos el volumen del elipsoide usando coordenadas esféricas. Como antes, usamos el primer octante \(x \ge 0, y \ge 0,\) y \(z \ge 0\) y luego multiplicamos el resultado por 8. En este caso, los rangos de las variables son

\[ 0 \le \phi \le \frac{\pi}{2}, 0 \le \rho \le 1, \text{ y } 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}. \]

Además, necesitamos cambiar las coordenadas rectangulares a esféricas de esta manera:

\[ x = a\rho \cos \phi \sin \theta, y = b\rho \sin \phi \sin \theta, \text{ y } z = c\rho \cos \theta. \]

Entonces, el volumen del elipsoide se convierte en

\[ \begin{aligned} V & = \iiint\limits_{D} dx \, dy \, dz \\ & = 8 \int_{\theta=0}^{\theta=\pi/2} \int_{\rho=0}^{\rho=1} \int_{\phi=0}^{\phi=\pi/2} abc\rho^2 \sin \theta \, d\phi \, d\rho \, d\theta \\ & = 8abc \int_{\phi=0}^{\phi=\pi/2} d\phi \int_{\rho=0}^{\rho=1} \rho^2 \, d\rho \int_{\theta=0}^{\theta=\pi/2} \sin \theta \, d\theta \\ & = 8abc \left( \frac{\pi}{2} \right) \left( \frac{1}{3} \right) (1) \\ & = \frac{4}{3} \pi abc. \end{aligned} \]

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Ejemplo ilustrativo 12.5.12. Encontrando el Volumen del Espacio Dentro de un Elipsoide y Fuera de una Esfera

Halle el volumen de la región que está dentro del elipsoide $\dfrac{x^2}{75^2}+\dfrac{y^2}{80^2}+\dfrac{z^2}{90^2}=1$ y fuera de la esfera $x^2+y^2+z^2=50^2$.

Solución:

Este problema está directamente relacionado con la estructura de l’Hemisphèric. El volumen del espacio dentro del elipsoide y fuera de la esfera podría ser útil para encontrar el gasto de calefacción o refrigeración de ese espacio. Podemos usar los dos ejemplos anteriores para el volumen de la esfera y el elipsoide y luego restar.

Primero encontramos el volumen del elipsoide usando \(a = 75 \text{ ft}\), \(b = 80 \text{ ft}\), y \(c = 90 \text{ ft}\) en el resultado del Ejemplo 10.5.11. Por lo tanto, el volumen del elipsoide es

\[ V_{\text{elipsoide}} = \frac{4}{3} \pi (75)(80)(90) \approx 2,262,000 \text{ ft}^3. \]

Del Ejemplo 10.5.10, el volumen de la esfera es

\[ V_{\text{esfera}} \approx 523,600 \text{ ft}^3. \]

Por lo tanto, el volumen del espacio dentro del elipsoide \(\frac{x^2}{75^2} + \frac{y^2}{80^2} + \frac{z^2}{90^2} = 1\) y fuera de la esfera \(x^2 + y^2 + z^2 = 50^2\) es aproximadamente

\[ V_{\text{Hemisferic}} = V_{\text{elipsoide}} – V_{\text{esfera}} = 1,738,400 \text{ ft}^3. \]

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Proyecto del Estudiante
Globos Aerostáticos

El vuelo en globo aerostático es una actividad relajante y tranquila que muchas personas disfrutan. En todo el mundo se realizan numerosos encuentros de globos aerostáticos, como el Festival Internacional de Globos de Albuquerque. El evento de Albuquerque es el festival de globos aerostáticos más grande del mundo, con más de 500 globos participando cada año.

Como su nombre lo indica, los globos aerostáticos utilizan aire caliente para generar sustentación. (El aire caliente es menos denso que el aire más frío, por lo que el globo flota mientras el aire caliente se mantenga caliente). El calor es generado por un quemador de propano suspendido debajo de la abertura de la canasta. Una vez que el globo despega, el piloto controla la altitud del globo, ya sea usando el quemador para calentar el aire y ascender, o utilizando una válvula cerca de la parte superior del globo para liberar aire caliente y descender. Sin embargo, el piloto tiene muy poco control sobre la dirección del globo, ya que estos quedan a merced de los vientos. La incertidumbre sobre dónde terminaremos es una de las razones por las que los aeronautas se sienten atraídos por este deporte.

En este proyecto usamos integrales triples para aprender más sobre los globos aerostáticos. Modelamos el globo en dos partes. La parte superior del globo se modela mediante una semiesfera de radio 28 pies. La parte inferior del globo se modela mediante un tronco de cono (piense en un cono de helado con la punta cortada). El radio del extremo mayor del tronco es de 28 pies y el radio del extremo menor es de 6 pies. En la siguiente figura se muestra una gráfica de nuestro modelo del globo y un diagrama de sección transversal que presenta sus dimensiones.

Primero queremos encontrar el volumen del globo. Si observamos la parte superior y la parte inferior del globo por separado, vemos que son sólidos geométricos con fórmulas de volumen conocidas. Sin embargo, vale la pena plantear y evaluar las integrales que necesitaríamos para encontrar el volumen. Si calculamos el volumen mediante integración, podemos usar las fórmulas de volumen conocidas para verificar nuestras respuestas. Esto ayudará a asegurar que tengamos las integrales planteadas correctamente para las etapas posteriores y más complicadas del proyecto.

1. Encuentra el volumen del globo de dos maneras.
   1. Usa integrales triples para calcular el volumen. Considera cada parte del globo por separado. (Considera usar coordenadas esféricas para la parte superior y coordenadas cilíndricas para la parte inferior).
   2. Verifica la respuesta usando las fórmulas para el volumen de una esfera, \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\), y para el volumen de un cono, \(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\).

En realidad, calcular la temperatura en un punto dentro del globo es un esfuerzo tremendamente complicado. De hecho, una rama entera de la física (la termodinámica) se dedica a estudiar el calor y la temperatura. Para los propósitos de este proyecto, sin embargo, vamos a hacer algunas suposiciones simplificadoras sobre cómo varía la temperatura de un punto a otro dentro del globo. Supón que justo antes del despegue, la temperatura (en grados Fahrenheit) del aire dentro del globo varía según la función

\[ T_0(r, \theta, z) = \frac{z – r}{10} + 210. \]

2. ¿Cuál es la temperatura promedio del aire en el globo justo antes del despegue? (Nuevamente, analiza cada parte del globo por separado y no olvides convertir la función a coordenadas esféricas cuando analices la parte superior del globo).

Ahora el piloto activa el quemador durante 10 segundos. Esta acción afecta la temperatura en una columna de 12 pies de ancho y 20 pies de alto, directamente sobre el quemador. En la siguiente figura se muestra una sección transversal del globo que representa esta columna.

Supongamos que después de que el piloto activa el quemador durante 10 segundos, la temperatura del aire en la columna descrita anteriormente aumenta de acuerdo con la fórmula

\[ H(r, \theta, z) = -2z – 48. \]

Entonces, la temperatura del aire en la columna está dada por

\[ T_1(r, \theta, z) = \frac{z – r}{10} + 210 + (-2z – 48), \]

mientras que la temperatura en el resto del globo sigue estando dada por

\[ T_0(r, \theta, z) = \frac{z – r}{10} + 210. \]

3. Encuentra la temperatura promedio del aire en el globo después de que el piloto ha activado el quemador durante 10 segundos.

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