| 12. Integración múltiple | 12.5 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas |
Ejercicios propuestos para el Capítulo 12.5
En los siguientes ejercicios, evalúe las integrales triples \(\iiint_B f(x,y,z) \, dV\) sobre el sólido \(B\).
241. \(f(x,y,z) = z\),
\[ B = \{ (x,y,z) \mid x^2 + y^2 \le 9, x \ge 0, y \ge 0, 0 \le z \le 1 \} \]
242. \(f(x,y,z) = xz^2, B = \{ (x,y,z) \mid x^2 + y^2 \le 16, x \ge 0, y \le 0, -1 \le z \le 1 \}\)
243. \(f(x,y,z) = xy, B = \{ (x,y,z) \mid x^2 + y^2 \le 1, x \ge 0, y \ge 0, x \le y, -1 \le z \le 1 \}\)
244. \(f(x,y,z) = x^2 + y^2, B = \{ (x,y,z) \mid x^2 + y^2 \le 4, x \ge 0, x \le y, 0 \le z \le 3 \}\)
245. \(f(x,y,z) = e^{\sqrt{x^2+y^2}}, B = \{ (x,y,z) \mid 1 \le x^2 + y^2 \le 4, y \le 0, x \le y\sqrt{3}, 2 \le z \le 3 \}\)
246. \(f(x,y,z) = \sqrt{x^2 + y^2}, B = \{ (x,y,z) \mid 1 \le x^2 + y^2 \le 9, y \le 0, 0 \le z \le 1 \}\)
247. a. Sea \(B\) un cascarón cilíndrico con radio interno \(a\), radio externo \(b\) y altura \(c\), donde \(0 < a < b\) y \(c > 0\). Suponga que una función \(F\) definida en \(B\) puede expresarse en coordenadas cilíndricas como \(F(x, y, z) = f(r) + h(z)\), donde \(f\) y \(h\) son funciones diferenciables. Si \(\int_{a}^{b} \tilde{f}(r) \, dr = 0\) y \(\tilde{h}(0) = 0\), donde \(\tilde{f}\) y \(\tilde{h}\) son antiderivadas de \(f\) y \(h\), respectivamente, demuestre que
\[ \iiint_{B} F(x, y, z) \, dV = 2\pi c \left( b\tilde{f}(b) – a\tilde{f}(a) \right) + \pi(b^2 – a^2)\tilde{h}(c). \]b. Use el resultado anterior para demostrar que \(\iiint_{B} (z + \sin\sqrt{x^2 + y^2}) \, dx \, dy \, dz = 6\pi^2(\pi – 2)\), donde \(B\) es un cascarón cilíndrico con radio interno \(\pi\), radio externo \(2\pi\) y altura 2.
248. a. Sea \(B\) un cascarón cilíndrico con radio interno \(a\), radio externo \(b\) y altura \(c\), donde \(0 < a < b\) y \(c > 0\). Suponga que una función \(F\) definida en \(B\) puede expresarse en coordenadas cilíndricas como \(F(x, y, z) = f(r)g(\theta)h(z)\), donde \(f, g\) y \(h\) son funciones diferenciables. Si \(\int_{a}^{b} \tilde{f}(r) \, dr = 0\), donde \(\tilde{f}\) es una antiderivada de \(f\), demuestre que
\[ \iiint_{B} F(x, y, z) \, dV = [b\tilde{f}(b) – a\tilde{f}(a)] [\tilde{g}(2\pi) – \tilde{g}(0)] [\tilde{h}(c) – \tilde{h}(0)], \]donde \(\tilde{g}\) y \(\tilde{h}\) son antiderivadas de \(g\) y \(h\), respectivamente.
b. Use el resultado anterior para demostrar que \(\iiint_{B} z \sin\sqrt{x^2 + y^2} \, dx \, dy \, dz = -12\pi^2\), donde \(B\) es un cascarón cilíndrico con radio interno \(\pi\), radio externo \(2\pi\) y altura 2.
En los siguientes ejercicios, se dan los límites del sólido \(E\) en coordenadas cilíndricas. Sea \(f(r, \theta, z)\) la función correspondiente en coordenadas cilíndricas.
- Defina la región en coordenadas cilíndricas.
- Convierta la integral \(\iiint_{E} g(x, y, z) \, dV\) a coordenadas cilíndricas.
249. \(E\) está dentro del cilindro circular recto \(r = 4 \sin \theta\), arriba del plano \(r\theta\), y dentro de la esfera \(r^2 + z^2 = 16\).
250. \(E\) está dentro del cilindro circular recto \(r = \cos \theta\), arriba del plano \(r\theta\), y dentro de la esfera \(r^2 + z^2 = 9\).
251. \(E\) se ubica en el primer octante y está limitado por el paraboloide circular \(z = 9 – 3r^2\), el cilindro \(r = \sqrt{3}\), y el plano \(r(\cos \theta + \sin \theta) = 20 – z\).
252. \(E\) se ubica en el primer octante fuera del paraboloide circular \(z = 10 – 2r^2\) e dentro del cilindro \(r = \sqrt{5}\) y está limitado también por los planos \(z = 20\) y \(\theta = \frac{\pi}{4}\).
En los siguientes ejercicios, la función \(g\) y la región \(E\) se dan en coordenadas rectangulares.
- Exprese la región \(E\) y la función \(g\) en coordenadas cilíndricas. Sea \(f(r, \theta, z)\) la función correspondiente en coordenadas cilíndricas.
- Convierta la integral \(\iiint_{E} g(x, y, z) \, dV\) a coordenadas cilíndricas y evalúela.
253. \(g(x, y, z) = \frac{1}{x+3}, E = \{ (x, y, z) \mid 0 \le x^2 + y^2 \le 9, x \ge 0, y \ge 0, 0 \le z \le x + 3 \}\)
254. \(g(x, y, z) = x^2 + y^2, E = \{ (x, y, z) \mid 0 \le x^2 + y^2 \le 4, y \ge 0, 0 \le z \le 3 – x \}\)
255. \(g(x, y, z) = x, E = \{ (x, y, z) \mid 1 \le y^2 + z^2 \le 9, 0 \le x \le 9 – y^2 – z^2 \}\)
256. \(g(x, y, z) = y, E = \{ (x, y, z) \mid 1 \le x^2 + z^2 \le 9, 0 \le y \le 9 – x^2 – z^2 \}\)
En los siguientes ejercicios, encuentre el volumen del sólido \(E\) cuyos límites se dan en coordenadas rectangulares.
257. \(E\) está arriba del plano \(xy\), dentro del cilindro \(x^2 + y^2 = 1\), y debajo del plano \(z = 1\).
258. \(E\) está debajo del plano \(z = 1\) e dentro del paraboloide \(z = x^2 + y^2\).
259. \(E\) está limitado por el cono circular \(z = \sqrt{x^2 + y^2}\) y \(z = 1\).
260. \(E\) se ubica arriba del plano \(xy\), debajo de \(z = 1\), fuera del hiperboloide de una hoja \(x^2 + y^2 – z^2 = 1\), e dentro del cilindro \(x^2 + y^2 = 2\).
261. \(E\) se ubica dentro del cilindro \(x^2 + y^2 = 1\) y entre los paraboloides circulares \(z = 1 – x^2 – y^2\) y \(z = x^2 + y^2\).
262. \(E\) se ubica dentro de la esfera \(x^2 + y^2 + z^2 = 1\), arriba del plano \(xy\), e dentro del cono circular \(z = \sqrt{x^2 + y^2}\).
263. \(E\) se ubica dentro del cono circular \(x^2 + y^2 = (z – 1)^2\) y entre los planos \(z = 0\) y \(z = 2\).
264. \(E\) se ubica dentro del cilindro \(x^2 + y^2 = 1\), arriba del cono circular \(z = 1 – \sqrt{x^2 + y^2}\), debajo del paraboloide circular \(z = 1 + x^2 + y^2\), y entre los planos \(z = 0\) y \(z = 2\).
265. [T] Use un sistema de álgebra computacional (CAS) para graficar el sólido cuyo volumen está dado por la integral iterada en coordenadas cilíndricas \(\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_{0}^{1} \int_{r^2}^{r} r \, dz \, dr \, d\theta\). Encuentre el volumen \(V\) del sólido. Redondee su respuesta a cuatro decimales.
266. [T] Use un CAS para graficar el sólido cuyo volumen está dado por la integral iterada en coordenadas cilíndricas \(\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{1} \int_{r^4}^{r} r \, dz \, dr \, d\theta\). Encuentre el volumen \(V\) del sólido. Redondee su respuesta a cuatro decimales.
267. Convierta la integral \(\displaystyle \int_{0}^{1} \int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} \int_{x^2+y^2}^{\sqrt{x^2+y^2}} xz \, dz \, dx \, dy\) en una integral en coordenadas cilíndricas.
268. Convierta la integral \(\displaystyle \int_{0}^{2} \int_{0}^{y} \int_{0}^{1} (xy + z) \, dz \, dx \, dy\) en una integral en coordenadas cilíndricas.
En los siguientes ejercicios, evalúe la integral triple \(\displaystyle \iiint_{B} f(x,y,z) \, dV\) sobre el sólido \(B\).
269. \(f(x,y,z) = 1, B = \{ (x,y,z) \mid x^2 + y^2 + z^2 \le 90, z \ge 0 \}\)
270. \(f(x,y,z) = 1 – \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}, B = \{ (x,y,z) \mid x^2 + y^2 + z^2 \le 9, y \ge 0, z \ge 0 \}\)
271. \(f(x,y,z) = \sqrt{x^2 + y^2}\), \(B\) está acotado superiormente por la semiesfera \(x^2 + y^2 + z^2 = 9\) con \(z \ge 0\) e inferiormente por el cono \(z^2 = x^2 + y^2\).
272. \(f(x,y,z) = z\), \(B\) está acotado superiormente por la semiesfera \(x^2 + y^2 + z^2 = 16\) con \(z \ge 0\) e inferiormente por el cono \(z^2 = x^2 + y^2\).
273. Demuestre que si \(F(\rho, \theta, \varphi) = f(\rho)g(\theta)h(\varphi)\) es una función continua en la caja esférica \(B = \{ (\rho, \theta, \varphi) \mid a \le \rho \le b, \alpha \le \theta \le \beta, \gamma \le \varphi \le \psi \}\), entonces
\[ \displaystyle \iiint_{B} F \, dV = \left( \int_{a}^{b} \rho^2 f(\rho) \, d\rho \right) \left( \int_{\alpha}^{\beta} g(\theta) \, d\theta \right) \left( \int_{\gamma}^{\psi} h(\varphi) \sin \varphi \, d\varphi \right). \]274. a. Se dice que una función \(F\) tiene simetría esférica si depende únicamente de la distancia al origen, es decir, si puede expresarse en coordenadas esféricas como \(F(x, y, z) = f(\rho)\), donde \(\rho = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\). Demuestre que
\[ \displaystyle \iiint_{B} F(x, y, z) \, dV = 2\pi \int_{a}^{b} \rho^2 f(\rho) \, d\rho, \]donde \(B\) es la región entre los hemisferios concéntricos superiores de radios \(a\) y \(b\) centrados en el origen, con \(0 < a < b\) y \(F\) una función esférica definida en \(B\).
b. Use el resultado anterior para demostrar que \(\displaystyle \iiint_{B} (x^2 + y^2 + z^2) \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \, dV = 21\pi\), donde
\[ B = \{ (x, y, z) \mid 1 \le x^2 + y^2 + z^2 \le 2, z \ge 0 \}. \]275. a. Sea \(B\) la región entre los hemisferios concéntricos superiores de radios \(a\) y \(b\) centrados en el origen y situados en el primer octante, donde \(0 < a < b\). Considere una función \(F\) definida en \(B\) cuya forma en coordenadas esféricas \((\rho, \theta, \varphi)\) es \(F(x, y, z) = f(\rho) \cos \varphi\). Demuestre que si \(g(a) = g(b) = 0\) y \(\displaystyle \int_{a}^{b} h(\rho) \, d\rho = 0\), entonces
\[ \displaystyle \iiint_{B} F(x, y, z) \, dV = \frac{\pi^2}{4} [ah(a) – bh(b)], \]donde \(g\) es una antiderivada de \(f\) y \(h\) es una antiderivada de \(g\).
b. Use el resultado anterior para demostrar que \(\displaystyle \iiint_{B} \frac{z \cos\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \, dV = \frac{3\pi^2}{2}\), donde \(B\) es la región entre los hemisferios concéntricos superiores de radios \(\pi\) y \(2\pi\) centrados en el origen y situados en el primer octante.
En los siguientes ejercicios, la función \(g\) y la región \(E\) se dan en coordenadas rectangulares.
- Exprese la región \(E\) y la función \(g\) en coordenadas esféricas. Sea \(f(\rho, \theta, \varphi)\) la función correspondiente en coordenadas esféricas.
- Convierta la integral \(\displaystyle \iiint_{E} g(x, y, z) \, dV\) a coordenadas esféricas y evalúela.
276. \(g(x, y, z) = z; E = \{ (x, y, z) \mid 0 \le x^2 + y^2 + z^2 \le 1, z \ge 0 \}\)
277. \(g(x, y, z) = x + y; E = \{ (x, y, z) \mid 1 \le x^2 + y^2 + z^2 \le 4, z \ge 0, y \ge 0 \}\)
278. \(g(x, y, z) = 2xy; E = \{ (x, y, z) \mid \sqrt{x^2 + y^2} \le z \le \sqrt{1 – x^2 – y^2}, x \ge 0, y \ge 0 \}\)
279. \(g(x, y, z) = z; E = \{ (x, y, z) \mid x^2 + y^2 + z^2 – 2z \le 0, \sqrt{x^2 + y^2} \le z \}\)
En los siguientes ejercicios, encuentre el volumen del sólido \(E\) cuyos límites se dan en coordenadas rectangulares.
280. \(E = \{ (x, y, z) \mid \sqrt{x^2 + y^2} \le z \le \sqrt{16 – x^2 – y^2}, x \ge 0, y \ge 0 \}\)
281. \(E = \{ (x, y, z) \mid x^2 + y^2 + z^2 – 2z \le 0, \sqrt{x^2 + y^2} \le z \}\)
282. Use coordenadas esféricas para encontrar el volumen del sólido situado dentro de la esfera \(\rho = 1\) y fuera de la esfera \(\rho = \cos \varphi\), con \(\varphi \in [0, \frac{\pi}{2}]\).
283. Use coordenadas esféricas para encontrar el volumen de la bola \(\rho \le 3\) que está situada entre los conos \(\varphi = \frac{\pi}{4}\) y \(\varphi = \frac{\pi}{3}\).
284. Convierta la integral \(\displaystyle \int_{-4}^{4} \int_{-\sqrt{16-y^2}}^{\sqrt{16-y^2}} \int_{-\sqrt{16-x^2-y^2}}^{\sqrt{16-x^2-y^2}} (x^2 + y^2 + z^2) \, dz \, dx \, dy\) en una integral en coordenadas esféricas.
285. Convierta la integral \(\displaystyle \int_{0}^{4} \int_{0}^{\sqrt{16-x^2}} \int_{-\sqrt{16-x^2-y^2}}^{\sqrt{16-x^2-y^2}} (x^2 + y^2 + z^2)^2 \, dz \, dy \, dx\) en una integral en coordenadas esféricas.
286. Convierta la integral \(\displaystyle \int_{-2\sqrt{2}}^{2\sqrt{2}} \int_{-\sqrt{8-x^2}}^{\sqrt{8-x^2}} \int_{\sqrt{x^2+y^2}}^{\sqrt{16-x^2-y^2}} \, dz \, dy \, dx\) en una integral en coordenadas esféricas y evalúela.
287. [T] Use un CAS para graficar el sólido cuyo volumen está dado por la integral iterada en coordenadas esféricas \(\displaystyle \int_{\pi/2}^{\pi} \int_{5\pi/6}^{\pi/6} \int_{0}^{2} \rho^2 \sin \varphi \, d\rho \, d\varphi \, d\theta\). Encuentre el volumen \(V\) del sólido. Redondee su respuesta a tres decimales.
288. [T] Use un CAS para graficar el sólido cuyo volumen está dado por la integral iterada en coordenadas esféricas \(\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \int_{\pi/4}^{3\pi/4} \int_{0}^{1} \rho^2 \sin \varphi \, d\rho \, d\varphi \, d\theta\). Encuentre el volumen \(V\) del sólido. Redondee su respuesta a tres decimales.
289. [T] Use un CAS para evaluar la integral \(\displaystyle \iiint_{E} (x^2 + y^2) \, dV\) donde \(E\) se encuentra arriba del paraboloide \(z = x^2 + y^2\) y debajo del plano \(z = 3y\).
290. [T]
- Evalúe la integral \(\displaystyle \iiint_{E} e^{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \, dV\), donde \(E\) está acotado por las esferas \(4x^2 + 4y^2 + 4z^2 = 1\) y \(x^2 + y^2 + z^2 = 1\).
- Use un CAS para encontrar una aproximación de la integral anterior. Redondee su respuesta a dos decimales.
291. Exprese el volumen del sólido dentro de la esfera \(x^2 + y^2 + z^2 = 16\) y fuera del cilindro \(x^2 + y^2 = 4\) como integrales triples en coordenadas cilíndricas y coordenadas esféricas.
292. Exprese el volumen del sólido dentro de la esfera \(x^2 + y^2 + z^2 = 16\) y fuera del cilindro \(x^2 + y^2 = 4\) que se ubica en el primer octante como integrales triples en coordenadas cilíndricas y coordenadas esféricas.
293. La potencia emitida por una antena tiene una densidad de potencia por unidad de volumen dada en coordenadas esféricas por \(\displaystyle p(\rho, \theta, \varphi) = \frac{P_0}{\rho^2} \cos^2 \theta \sin^4 \varphi\), donde \(P_0\) es una constante con unidades en vatios. La potencia total dentro de una esfera \(B\) de radio \(r\) metros se define como \(\displaystyle P = \iiint_{B} p(\rho, \theta, \varphi) \, dV\). Encuentre la potencia total \(P\) dentro de una esfera de radio 20 metros.
294. Use el ejercicio anterior para encontrar la potencia total dentro de una esfera \(B\) de radio 5 metros cuando la densidad de potencia por unidad de volumen está dada por \(\displaystyle p(\rho, \theta, \varphi) = \frac{30}{\rho^2} \cos^2 \theta \sin^4 \varphi\).
295. Una nube de carga contenida en una esfera \(B\) de radio \(r\) centímetros centrada en el origen tiene una densidad de carga dada por \(\displaystyle q(x, y, z) = k\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \, \frac{\mu\text{C}}{\text{cm}^3}\), donde \(k > 0\). La carga total contenida en \(B\) está dada por \(\displaystyle Q = \iiint_{B} q(x, y, z) \, dV\). Encuentre la carga total \(Q\).
296. Use el ejercicio anterior para encontrar la carga total de la nube contenida en la esfera unitaria si la densidad de carga es \(\displaystyle q(x, y, z) = 20\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \, \frac{\mu\text{C}}{\text{cm}^3}\).