Ejercicios propuestos para el Capítulo 10.18
Para los siguientes ejercicios, sin usar el teorema de Stokes, calcule directamente tanto el flujo del rotacional de \(\mathbf{F} \cdot \mathbf{N}\) sobre la superficie dada como la integral de circulación alrededor de su frontera, asumiendo que todas las fronteras tienen orientación positiva.
326. \(\mathbf{F}(x, y, z) = y^2 \mathbf{i} + z^2 \mathbf{j} + x^2 \mathbf{k}\); \(S\) es la porción del primer octante del plano \(x + y + z = 1\).
327. \(\mathbf{F}(x, y, z) = z \mathbf{i} + x \mathbf{j} + y \mathbf{k}\); \(S\) es el hemisferio \(z = (a^2 – x^2 – y^2)^{1/2}\).
328. \(\mathbf{F}(x, y, z) = y^2 \mathbf{i} + 2x \mathbf{j} + 5 \mathbf{k}\); \(S\) es el hemisferio \(z = (4 – x^2 – y^2)^{1/2}\).
329. \(\mathbf{F}(x, y, z) = z \mathbf{i} + 2x \mathbf{j} + 3y \mathbf{k}\); \(S\) es el hemisferio superior \(z = \sqrt{9 – x^2 – y^2}\).
330. \(\mathbf{F}(x, y, z) = (x + 2z) \mathbf{i} + (y – x) \mathbf{j} + (z – y) \mathbf{k}\); \(S\) es una región triangular con vértices \((3, 0, 0)\), \((0, 3/2, 0)\), y \((0, 0, 3)\).
331. \(\mathbf{F}(x, y, z) = 2y \mathbf{i} – 6z \mathbf{j} + 3x \mathbf{k}\); \(S\) es una porción de paraboloide \(z = 4 – x^2 – y^2\) y está por encima del plano xy.
Para los siguientes ejercicios, use el teorema de Stokes para evaluar \(\displaystyle \iint_S (\text{rot} \, \mathbf{F} \cdot \mathbf{N}) \, dS\) para los campos vectoriales y superficie dados.
332. \(\mathbf{F}(x, y, z) = xy \mathbf{i} – z \mathbf{j}\) y \(S\) es la superficie del cubo \(0 \leq x \leq 1\), \(0 \leq y \leq 1\), \(0 \leq z \leq 1\), excepto por la cara donde \(z = 0\), y usando el vector normal unitario hacia afuera.
333. \(\mathbf{F}(x, y, z) = xy \mathbf{i} + x^2 \mathbf{j} + z^2 \mathbf{k}\); y \(C\) es la intersección del paraboloide \(z = x^2 + y^2\) y el plano \(z = y\), y usando el vector normal hacia afuera.
334. \(\mathbf{F}(x, y, z) = 4y \mathbf{i} + z \mathbf{j} + 2y \mathbf{k}\) y \(C\) es la intersección de la esfera \(x^2 + y^2 + z^2 = 4\) con el plano \(z = 0\), y usando el vector normal hacia afuera.
335. Use el teorema de Stokes para evaluar \(\displaystyle \oint_C [2xy^2 z \, dx + 2x^2 yz \, dy + (x^2 y^2 – 2z) \, dz]\), donde \(C\) es la curva dada por \(x = \cos t\), \(y = \sin t\), \(z = \sin t\), \(0 \leq t \leq 2\pi\), recorrida en la dirección de incremento de \(t\).
336. [T] Use un sistema algebraico computacional (CAS) y el teorema de Stokes para aproximar la integral de línea \(\displaystyle \oint_C (y \, dx + z \, dy + x \, dz)\), donde \(C\) es la intersección del plano \(x + y = 2\) y la superficie \(x^2 + y^2 + z^2 = 2(x + y)\), recorrida en sentido antihorario vista desde el origen.
337. [T] Use un CAS y el teorema de Stokes para aproximar la integral de línea \(\displaystyle \oint_C (3y \, dx + 2z \, dy – 5x \, dz)\), donde \(C\) es la intersección del plano xy y el hemisferio \(z = \sqrt{1 – x^2 – y^2}\), recorrida en sentido antihorario vista desde arriba, es decir, desde el eje z positivo hacia el plano xy.
338. [T] Use un CAS y el teorema de Stokes para aproximar la integral de línea \(\displaystyle \oint_C [(1 + y) \, dz + (1 + z) \, dx + (1 + x) \, dy]\), donde \(C\) es un triángulo con vértices \((1, 0, 0)\), \((0, 1, 0)\) y \((0, 0, 1)\) orientado en sentido antihorario.
339. Use el teorema de Stokes para evaluar \(\displaystyle \iint_S (\text{rot} \, \mathbf{F} \cdot \mathbf{N}) \, dS\), donde \(\mathbf{F}(x, y, z) = e^{xy} \cos z \mathbf{i} + x^2 z \mathbf{j} + xy \mathbf{k}\), y \(S\) es la mitad de la esfera \(x = \sqrt{1 – y^2 – z^2}\), orientada hacia afuera hacia el eje x positivo.
340. [T] Use un CAS y el teorema de Stokes para evaluar \(\displaystyle \iint_S (\text{rot} \, \mathbf{F} \cdot \mathbf{N}) \, dS\), donde \(\mathbf{F}(x, y, z) = x^2 y \mathbf{i} + xy^2 \mathbf{j} + z^3 \mathbf{k}\) y \(C\) es la curva de la intersección del plano \(3x + 2y + z = 6\) y el cilindro \(x^2 + y^2 = 4\), orientada en sentido horario cuando se ve desde arriba.
341. [T] Use un sistema algebraico computacional (CAS) y el teorema de Stokes para evaluar \(\displaystyle \iint_S \text{rot} \, \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\), donde \(\mathbf{F}(x, y, z) = \left( \sin(y + z) – yx^2 – \frac{y^3}{3} \right) \mathbf{i} + x \cos(y + z) \mathbf{j} + \cos(2y) \mathbf{k}\) y \(S\) consiste en la parte superior y los cuatro lados pero no la base del cubo con vértices \((\pm 1, \pm 1, \pm 1)\), orientado hacia afuera.
342. [T] Use un CAS y el teorema de Stokes para evaluar \(\displaystyle \iint_S \text{rot} \, \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\), donde \(\mathbf{F}(x, y, z) = z^2 \mathbf{i} – 3xy \mathbf{j} + x^3 y^3 \mathbf{k}\) y \(S\) es la parte superior de \(z = 5 – x^2 – y^2\) por encima del plano \(z = 1\), y \(S\) está orientada hacia arriba.
343. Use el teorema de Stokes para evaluar \(\displaystyle \iint_S (\text{rot} \, \mathbf{F} \cdot \mathbf{N}) \, dS\), donde \(\mathbf{F}(x, y, z) = z^2 \mathbf{i} + y^2 \mathbf{j} + x \mathbf{k}\) y \(S\) es un triángulo con vértices \((1, 0, 0)\), \((0, 1, 0)\) y \((0, 0, 1)\) con orientación en sentido antihorario.
344. Use el teorema de Stokes para evaluar la integral de línea \(\oint_C (z \, dx + x \, dy + y \, dz)\), donde \(C\) es un triángulo con vértices \((3, 0, 0)\), \((0, 0, 2)\) y \((0, 6, 0)\) recorrido en el orden dado.
345. Use el teorema de Stokes para evaluar \(\displaystyle \oint_C \left( \frac{1}{2} y^2 \, dx + z \, dy + x \, dz \right)\), donde \(C\) es la curva de intersección del plano \(x + z = 1\) y el elipsoide \(x^2 + 2y^2 + z^2 = 1\), orientada en sentido horario desde el origen.
346. Use el teorema de Stokes para evaluar \(\displaystyle \iint_S (\text{rot} \, \mathbf{F} \cdot \mathbf{N}) \, dS\), donde \(\mathbf{F}(x, y, z) = x \mathbf{i} + y^2 \mathbf{j} + ze^{xy} \mathbf{k}\) y \(S\) es parte de la superficie \(z = 1 – x^2 – 2y^2\) con \(z \geq 0\), orientada en sentido antihorario.
347. Use el teorema de Stokes para evaluar \(\displaystyle \iint_S (\text{rot} \, \mathbf{F} \cdot \mathbf{N}) \, dS\), para el campo vectorial \(\mathbf{F}(x, y, z) = z \mathbf{i} + 3x \mathbf{j} + 2z \mathbf{k}\) donde \(S\) es la superficie \(z = 1 – x^2 – y^2\), \(z \geq 0\), \(C\) es el círculo de la frontera \(x^2 + y^2 = 1\), y \(S\) está orientada en la dirección z positiva.
348. Use el teorema de Stokes para evaluar \(\displaystyle \iint_S (\text{rot} \, \mathbf{F} \cdot \mathbf{N}) \, dS\), para el campo vectorial \(\mathbf{F}(x, y, z) = -\frac{3}{2} y^2 \mathbf{i} – 2xy \mathbf{j} + yz \mathbf{k}\), donde \(S\) es esa parte de la superficie del plano \(x + y + z = 1\) contenida dentro del triángulo \(C\) con vértices \((1, 0, 0)\), \((0, 1, 0)\) y \((0, 0, 1)\), recorrido en sentido antihorario como se ve desde arriba.
349. Se sabe que un cierto camino cerrado \(C\) en el plano \(2x + 2y + z = 1\) se proyecta sobre el círculo unitario \(x^2 + y^2 = 1\) en el plano xy. Sea \(c\) una constante y sea \(\mathbf{R}(x, y, z) = x \mathbf{i} + y \mathbf{j} + z \mathbf{k}\). Use el teorema de Stokes para evaluar \(\oint_C (c\mathbf{k} \times \mathbf{R}) \cdot d\mathbf{r}\).
350. Use el teorema de Stokes y sea \(C\) la frontera de la superficie \(z = x^2 + y^2\) con \(0 \leq x \leq 2\) y \(0 \leq y \leq 1\), orientada con la normal que apunta hacia arriba. Defina \(\mathbf{F}(x, y, z) = [\sin(x^3) + xz] \mathbf{i} + (x – yz) \mathbf{j} + \cos(z^4) \mathbf{k}\) y evalúe \(\displaystyle \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\).
351. Sea \(S\) el hemisferio \(x^2 + y^2 + z^2 = 4\) con \(z \geq 0\), orientado hacia arriba. Sea \(\mathbf{F}(x, y, z) = x^2 e^{yz} \mathbf{i} + y^2 e^{xz} \mathbf{j} + z^2 e^{xy} \mathbf{k}\) un campo vectorial. Use el teorema de Stokes para evaluar \(\displaystyle \iint_S \text{rot} \, \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\).
352. Sea \(\mathbf{F}(x, y, z) = xy \mathbf{i} + (e^{z^2} + y) \mathbf{j} + (x + y) \mathbf{k}\) y sea \(S\) la gráfica de la función \(y = \frac{x^2}{9} + \frac{z^2}{9} – 1\) con \(y \leq 0\) orientada de modo que el vector normal \(S\) tenga una componente y positiva. Use el teorema de Stokes para calcular la integral \(\displaystyle \iint_S \text{rot} \, \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\).
353. Use el teorema de Stokes para evaluar \(\displaystyle \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\) donde \(\mathbf{F}(x, y, z) = y \mathbf{i} + z \mathbf{j} + x \mathbf{k}\) y \(C\) es un triángulo con vértices \((0, 0, 0)\), \((2, 0, 0)\) y \((0, -2, 2)\) orientado en sentido antihorario cuando se ve desde arriba.
354. Use el teorema de Stokes para calcular la circulación del campo \(\mathbf{F}\), donde \(\mathbf{F}(x, y, z) = x^2 y^3 \mathbf{i} + \mathbf{j} + z \mathbf{k}\) alrededor de \(C\), que es la intersección del cilindro \(x^2 + y^2 = 4\) y el hemisferio \(x^2 + y^2 + z^2 = 16\), \(z \geq 0\), orientado en sentido antihorario cuando se ve desde arriba.
355. Use el teorema de Stokes para calcular \(\displaystyle \iint_S \text{rot} \, \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\), donde \(\mathbf{F}(x, y, z) = \mathbf{i} + xy^2 \mathbf{j} + xy^2 \mathbf{k}\) y \(S\) es parte del plano \(y + z = 2\) dentro del cilindro \(x^2 + y^2 = 1\) y orientada hacia afuera.
356. Use el teorema de Stokes para evaluar \(\displaystyle \iint_S \text{rot} \, \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\), donde \(\mathbf{F}(x, y, z) = -y^2 \mathbf{i} + x \mathbf{j} + z^2 \mathbf{k}\) y \(S\) es parte del plano \(x + y + z = 1\) en el octante positivo y orientada hacia arriba \((x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0)\).
357. Sea \(\mathbf{F}(x, y, z) = xy \mathbf{i} + 2z \mathbf{j} – 2y \mathbf{k}\) y sea \(C\) la intersección del plano \(x + z = 5\) y el cilindro \(x^2 + y^2 = 9\), que está orientada en sentido antihorario cuando se ve desde arriba. Calcule la integral de línea de \(\mathbf{F}\) sobre \(C\) usando el teorema de Stokes.
358. [T] Use un CAS y sea \(\mathbf{F}(x, y, z) = xy^2 \mathbf{i} + (yz – x) \mathbf{j} + e^{yxz} \mathbf{k}\). Use el teorema de Stokes para calcular la integral de superficie del rotacional de \(\mathbf{F}\) sobre la superficie \(S\) con orientación hacia adentro que consiste en el cubo \([0, 1] \times [0, 1] \times [0, 1]\) con el lado derecho faltante.
359. Sea \(S\) el elipsoide \(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} + z^2 = 1\) orientado hacia afuera y sea \(\mathbf{F}\) un campo vectorial con funciones componentes que tienen derivadas parciales continuas. Calcule \(\displaystyle \iint_S \text{rot} \, \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s}\).
360. Sea \(S\) la parte del paraboloide \(z = 9 – x^2 – y^2\) con \(z \geq 0\). Verifique el teorema de Stokes para el campo vectorial \(\mathbf{F}(x, y, z) = 3z \mathbf{i} + 4x \mathbf{j} + 2y \mathbf{k}\).
361. [T] Use un CAS y el teorema de Stokes para evaluar \(\displaystyle \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\) si \(\mathbf{F}(x, y, z) = (3z – \sin x) \mathbf{i} + (x^2 + e^y) \mathbf{j} + (y^3 – \cos z) \mathbf{k}\), donde \(C\) es la curva dada por \(x = \cos t\), \(y = \sin t\), \(z = 1\), \(0 \leq t \leq 2\pi\).
362. [T] Use un CAS y el teorema de Stokes para evaluar \(\mathbf{F}(x, y, z) = 2y \mathbf{i} + e^z \mathbf{j} – \arctan x \mathbf{k}\) con \(S\) como una porción de paraboloide \(z = 4 – x^2 – y^2\) cortada por el plano xy orientada en sentido antihorario.
363. [T] Use un CAS para evaluar \(\displaystyle \iint_S \text{rot}(\mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S}\), donde \(\mathbf{F}(x, y, z) = 2z \mathbf{i} + 3x \mathbf{j} + 5y \mathbf{k}\) y \(\mathbf{s}\) es la superficie parametrizada por \(\mathbf{r}(r, \theta) = r \cos \theta \mathbf{i} + r \sin \theta \mathbf{j} + (4 – r^2) \mathbf{k}\) \((0 \leq \theta \leq 2\pi, 0 \leq r \leq 3)\).
364. Sea \(S\) el paraboloide \(z = a(1 – x^2 – y^2)\), para \(z \geq 0\), donde \(a > 0\) es un número real. Sea \(\mathbf{F} = \langle x – y, y + z, z – x \rangle\). ¿Para qué valor(es) de \(a\) (si existe alguno) \(\displaystyle \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} \, dS\) tiene su valor máximo?
Para los siguientes ejercicios de aplicación, el objetivo es evaluar \(A = \displaystyle \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} \, dS\), donde \(\mathbf{F} = \langle xz, -xz, xy \rangle\) y \(S\) es la mitad superior del elipsoide \(x^2 + y^2 + 8z^2 = 1\), donde \(z \geq 0\).
365. Evalúe una integral de superficie sobre una superficie más conveniente para encontrar el valor de \(A\).
366. Evalúe \(A\) usando una integral de línea.
367. Tome el paraboloide \(z = x^2 + y^2\), para \(0 \leq z \leq 4\), y córtelo con el plano \(y = 0\). Sea \(S\) la superficie que permanece para \(y \geq 0\), incluyendo la superficie plana en el plano xz. Sea \(C\) el semicírculo y el segmento de línea que delimitan la tapa de \(S\) en el plano \(z = 4\) con orientación en sentido antihorario. Sea \(\mathbf{F} = \langle 2z + y, 2x + z, 2y + x \rangle\). Evalúe \(\displaystyle \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} \, dS\).
Para los siguientes ejercicios, sea \(S\) el disco encerrado por la curva
\(C\): \(\mathbf{r}(t) = \langle \cos \varphi \cos t, \sin t, \sin \varphi \cos t \rangle\), para \(0 \leq t \leq 2\pi\), donde \(0 \leq \varphi \leq \frac{\pi}{2}\) es un ángulo fijo.
368. ¿Cuál es la longitud de \(C\) en términos de \(\varphi\)?
369. ¿Cuál es la circulación de \(C\) del campo vectorial \(\mathbf{F} = \langle -y, -z, x \rangle\) como una función de \(\varphi\)?
370. ¿Para qué valor de \(\varphi\) la circulación es máxima?
371. El círculo \(C\) en el plano \(x + y + z = 8\) tiene radio 4 y centro \((2, 3, 3)\). Evalúe \(\displaystyle \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\) para \(\mathbf{F} = \langle 0, -z, 2y \rangle\), donde \(C\) tiene una orientación en sentido antihorario cuando se ve desde arriba.
372. El campo de velocidad \(\mathbf{v} = \langle 0, 1 – x^2, 0 \rangle\), para \(|x| \leq 1\) y \(|z| \leq 1\), representa un flujo horizontal en la dirección y. Calcule el rotacional de \(\mathbf{v}\) en una rotación en sentido horario.
373. Evalúe la integral \(\displaystyle \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} \, dS\), donde \(\mathbf{F} = -xz \mathbf{i} + yz \mathbf{j} + xye^{z} \mathbf{k}\) y \(S\) es la tapa del paraboloide \(z = 5 – x^2 – y^2\) por encima del plano \(z = 3\), y \(\mathbf{n}\) apunta en la dirección z positiva sobre \(S\).
Para los siguientes ejercicios, use el teorema de Stokes para encontrar la circulación de los siguientes campos vectoriales alrededor de cualquier curva \(C\) suave, simple y cerrada.
374. \(\mathbf{F} = \nabla (x \sin(ye^z))\)
375. \(\mathbf{F} = \langle y^2 z^3, 2xyz^3, 3xy^2 z^2 \rangle\)