| 10.16 Divergencia y curvatura |
Ejercicios propuestos para el Capítulo 10.16
Para los siguientes ejercicios, determina si la afirmación es verdadera o falsa.
206. Si las funciones coordenadas de \( \mathbf{F} : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \) tienen derivadas parciales segundas continuas, entonces \( \text{rot } (\operatorname{div}(\mathbf{F})) \) es igual a cero.
207. \( \nabla \cdot (x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}) = 1 \).
208. Todos los campos vectoriales de la forma \( \mathbf{F}(x, y, z) = f(x)\mathbf{i} + g(y)\mathbf{j} + h(z)\mathbf{k} \) son conservativos.
209. Si \( \operatorname{rot} \mathbf{F} = 0 \), entonces \( \mathbf{F} \) es conservativo.
210. Si \( \mathbf{F} \) es un campo vectorial constante, entonces \( \operatorname{div} \mathbf{F} = 0 \).
211. Si \( \mathbf{F} \) es un campo vectorial constante, entonces \( \operatorname{rot} \mathbf{F} = 0 \).
Para los siguientes ejercicios, encuentra el rotacional de \( \mathbf{F} \).
212. \( \mathbf{F} \left( x, y, z \right) = xy^2z^4 \mathbf{i} + \left( 2x^2y + z \right) \mathbf{j} + y^3z^2 \mathbf{k} \)
213. \( \mathbf{F} \left( x, y, z \right) = x^2z \mathbf{i} + y^2x \mathbf{j} + (y + 2z) \mathbf{k} \)
214. \( \mathbf{F} \left( x, y, z \right) = 3xyz^2 \mathbf{i} + y^2\sin z \mathbf{j} + xe^{2z} \mathbf{k} \)
215. \( \mathbf{F} \left( x, y, z \right) = x^2yz \mathbf{i} + xy^2z \mathbf{j} + xyz^2 \mathbf{k} \)
216. \( \mathbf{F} \left( x, y, z \right) = \left( x \cos y \right) \mathbf{i} + xy^2 \mathbf{j} \)
217. \( \mathbf{F} \left( x, y, z \right) = \left( x – y \right) \mathbf{i} + \left( y – z \right) \mathbf{j} + \left( z – x \right) \mathbf{k} \)
218. \( \mathbf{F} \left( x, y, z \right) = xyz \mathbf{i} + x^2y^2z^2 \mathbf{j} + y^2z^3 \mathbf{k} \)
219. \( \mathbf{F} \left( x, y, z \right) = xy \mathbf{i} + yz \mathbf{j} + xz \mathbf{k} \)
220. \( \mathbf{F} \left( x, y, z \right) = x^2 \mathbf{i} + y^2 \mathbf{j} + z^2 \mathbf{k} \)
221. \( \mathbf{F} \left( x, y, z \right) = a x \mathbf{i} + b y \mathbf{j} + c \mathbf{k} \) para constantes \( a, b, c \)
Para los siguientes ejercicios, encuentra la divergencia de \( \mathbf{F} \).
222. \( \mathbf{F}(x, y, z) = x^2 z \mathbf{i} + y^2 x \mathbf{j} + (y + 2z) \mathbf{k} \)
223. \( \mathbf{F}(x, y, z) = 3xyz^2 \mathbf{i} + y^2 \sin z \mathbf{j} + xe^{2z} \mathbf{k} \)
224. \( \mathbf{F}(x, y) = (\sin x) \mathbf{i} + (\cos y) \mathbf{j} \)
225. \( \mathbf{F}(x, y, z) = x^2 \mathbf{i} + y^2 \mathbf{j} + z^2 \mathbf{k} \)
226. \( \mathbf{F}(x, y, z) = (x – y) \mathbf{i} + (y – z) \mathbf{j} + (z – x) \mathbf{k} \)
227. \( \mathbf{F}(x, y) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \mathbf{i} + \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \mathbf{j} \)
228. \( \mathbf{F}(x, y) = x \mathbf{i} – y \mathbf{j} \)
229. \( \mathbf{F}(x, y, z) = a x \mathbf{i} + b y \mathbf{j} + c \mathbf{k} \) para constantes \( a, b, c \)
230. \( \mathbf{F}(x, y, z) = xyz \mathbf{i} + x^2 y^2 z^2 \mathbf{j} + y^2 z^3 \mathbf{k} \)
231. \( \mathbf{F}(x, y, z) = xy \mathbf{i} + yz \mathbf{j} + xz \mathbf{k} \)
Para los siguientes ejercicios, determina si cada una de las funciones escalares dadas es armónica.
232. \( u(x, y, z) = e^{-x} (\cos y – \sin y) \)
233. \( w(x, y, z) = (x^2 + y^2 + z^2)^{-1/2} \)
234. Si \( \mathbf{F}(x, y, z) = 2\mathbf{i} + 2x\mathbf{j} + 3y\mathbf{k} \) y \( \mathbf{G}(x, y, z) = x\mathbf{i} – y\mathbf{j} + z\mathbf{k} \), encuentra \( \text{rot } (\mathbf{F} \times \mathbf{G}) \).
235. Si \( \mathbf{F}(x, y, z) = 2\mathbf{i} + 2x\mathbf{j} + 3y\mathbf{k} \) y \( \mathbf{G}(x, y, z) = x\mathbf{i} – y\mathbf{j} + z\mathbf{k} \), encuentra \( \text{div } (\mathbf{F} \times \mathbf{G}) \).
236. Encuentra \( \text{div } \mathbf{F} \), dado que \( \mathbf{F} = \nabla f \), donde \( f(x, y, z) = xy^3z^2 \).
237. Encuentra la divergencia de \( \mathbf{F} \) para el campo vectorial
\[ \mathbf{F}(x, y, z) = (y^2 + z^2)(x + y)\mathbf{i} + (z^2 + x^2)(y + z)\mathbf{j} + (x^2 + y^2)(z + x)\mathbf{k}. \]238. Encuentra la divergencia de \( \mathbf{F} \) para el campo vectorial
\[ \mathbf{F}(x, y, z) = f_1(y, z)\mathbf{i} + f_2(x, z)\mathbf{j} + f_3(x, y)\mathbf{k}. \]Para los siguientes ejercicios, usa \( r = |\mathbf{r}| \) y \( \mathbf{r} = (x, y, z) \).
239. Encuentra el rotacional de \( \mathbf{r} \).
240. Encuentra el rotacional de \( \frac{\mathbf{r}}{r} \).
241. Encuentra el rotacional de \( \frac{\mathbf{r}}{r^3} \).
242. Sea \( \mathbf{F}(x, y) = \frac{-y\mathbf{i} + x\mathbf{j}}{x^2 + y^2} \), donde \( \mathbf{F} \) está definido en \( \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid (x, y) \neq (0, 0)\} \). Encuentra el rotacional de \( \mathbf{F} \).
Para los siguientes ejercicios, usa un sistema de álgebra computacional para encontrar el rotacional de los campos vectoriales dados.
243. [T] \( \mathbf{F}(x, y, z) = \arctan\left(\frac{x}{y}\right) \mathbf{i} + \ln\sqrt{x^2 + y^2} \mathbf{j} + \mathbf{k} \)
244. [T] \( \mathbf{F}(x, y, z) = \sin(x – y) \mathbf{i} + \sin(y – z) \mathbf{j} + \sin(z – x) \mathbf{k} \)
Para los siguientes ejercicios, encuentra la divergencia de \( \mathbf{F} \) en el punto dado.
245. \( \mathbf{F}(x, y, z) = \mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k} \) en (2, -1, 3)
246. \( \mathbf{F}(x, y, z) = xyz \mathbf{i} + y \mathbf{j} + z \mathbf{k} \) en (1, 2, 3)
247. \( \mathbf{F}(x, y, z) = e^{-xy} \mathbf{i} + e^{xz} \mathbf{j} + e^{yz} \mathbf{k} \) en (3, 2, 0)
248. \( \mathbf{F}(x, y, z) = xyz \mathbf{i} + y \mathbf{j} + z \mathbf{k} \) en (1, 2, 1)
249. \( \mathbf{F}(x, y, z) = e^x \sin y \mathbf{i} – e^x \cos y \mathbf{j} \) en (0, 0, 3)
Para los siguientes ejercicios, encuentra el rotacional de \( \mathbf{F} \) en el punto dado.
250. \( \mathbf{F}(x, y, z) = \mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k} \) en \( (2, -1, 3) \)
251. \( \mathbf{F}(x, y, z) = xyz\mathbf{i} + y\mathbf{j} + x\mathbf{k} \) en \( (1, 2, 3) \)
252. \( \mathbf{F}(x, y, z) = e^{-xyz}\mathbf{i} + e^{xz}\mathbf{j} + e^{yz}\mathbf{k} \) en \( (3, 2, 0) \)
253. \( \mathbf{F}(x, y, z) = xyz\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k} \) en \( (1, 2, 1) \)
254. \( \mathbf{F}(x, y, z) = e^x\sin y\mathbf{i} – e^x\cos y\mathbf{j} \) en \( (0, 0, 3) \)
255. Sea \( \mathbf{F}(x, y, z) = \left( 3x^2y + az \right)\mathbf{i} + x^3\mathbf{j} + \left( 3x + 3z^2 \right)\mathbf{k} \). ¿Para qué valor de \( a \) es \( \mathbf{F} \) conservativo?
256. Dado el campo vectorial \( \mathbf{F}(x, y) = \frac{1}{x^2+y^2}(-y, x) \) en el dominio
\[ D = \mathbb{R}^2 – \{(0, 0)\} = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid (x, y) \neq (0, 0)\}, \text{ ¿es } \mathbf{F} \text{ conservativo?} \]257. Dado el campo vectorial \( \mathbf{F}(x, y) = \frac{1}{x^2+y^2}(x, y) \) en el dominio
\[ D = \mathbb{R}^2 – \{(0, 0)\} = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid (x, y) \neq (0, 0)\}, \text{ ¿es } \mathbf{F} \text{ conservativo?} \]258. Encuentra el trabajo realizado por el campo de fuerza \( \mathbf{F}(x, y) = e^{-y}\mathbf{i} – xe^{-y}\mathbf{j} \) al mover un objeto desde \( P(0, 1) \) hasta \( Q(2, 0) \). ¿Es el campo de fuerza conservativo?
259. Calcula la divergencia de \( \mathbf{F} = (\sinh x)\mathbf{i} + (\cosh y)\mathbf{j} – xyz\mathbf{k} \).
260. Calcula el rotacional de \( \mathbf{F} = (\sinh x)\mathbf{i} + (\cosh y)\mathbf{j} – xyz\mathbf{k} \).
Para los siguientes ejercicios, considera un cuerpo rígido que está girando alrededor del eje \( x \) en sentido contrario a las agujas del reloj con una velocidad angular constante \(\omega = \langle a, b, c \rangle\). Si \( P \) es un punto en el cuerpo ubicado en \( \mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k} \), la velocidad en \( P \) está dada por el campo vectorial \( \mathbf{F} = \omega \times \mathbf{r} \).
261. Expresa \( \mathbf{F} \) en términos de los vectores \( \mathbf{i} \), \( \mathbf{j} \) y \( \mathbf{k} \).
262. Encuentra \( \text{div } \mathbf{F} \).
263. Encuentra \( \text{rot } \mathbf{F} \).
En los siguientes ejercicios, supón que \(\nabla \cdot \mathbf{F} = 0\) y \(\nabla \cdot \mathbf{G} = 0\).
264. ¿Tiene \(\mathbf{F} + \mathbf{G}\) necesariamente divergencia cero?
265. ¿Tiene \(\mathbf{F} \times \mathbf{G}\) necesariamente divergencia cero?
En los siguientes ejercicios, supón que un objeto sólido en \(\mathbb{R}^3\) tiene una distribución de temperatura dada por \(T(x, y, z)\). El campo vectorial de flujo de calor en el objeto es \(\mathbf{F} = -k \nabla T\), donde \(k > 0\) es una propiedad del material. El vector de flujo de calor apunta en la dirección opuesta a la del gradiente, que es la dirección de mayor disminución de temperatura. La divergencia del vector de flujo de calor es \(\nabla \cdot \mathbf{F} = -k \nabla \cdot \nabla T = -k \nabla^2 T\).
266. Calcula el campo vectorial de flujo de calor.
267. Calcula la divergencia.
268. [T] Considera el campo de velocidad rotacional \(\mathbf{v} = \langle 0, 10z, -10y \rangle\). Si se coloca una rueda de paletas en el plano \(x + y + z = 1\) con su eje normal a este plano, usando un sistema de álgebra computacional, calcula qué tan rápido gira la rueda de paletas en revoluciones por unidad de tiempo.