| 12. Integración múltiple | Ejercicios propuestos para el Capítulo 12.2 |
12.2 Integrales dobles sobre regiones generales
Objetivos de aprendizaje
- 12.2.1 Reconocer cuándo una función de dos variables es integrable sobre una región general.
- 12.2.2 Evaluar una integral doble calculando una integral iterada sobre una región limitada por dos rectas verticales y dos funciones de x, o por dos rectas horizontales y dos funciones de y.
- 12.2.3 Simplificar el cálculo de una integral iterada cambiando el orden de integración.
- 12.2.4 Usar integrales dobles para calcular el volumen de una región entre dos superficies o el área de una región plana.
- 12.2.5 Resolver problemas que involucren integrales dobles impropias.
En Integrales dobles sobre regiones rectangulares, estudiamos el concepto de integrales dobles y examinamos las herramientas necesarias para calcularlas. Aprendimos técnicas y propiedades para integrar funciones de dos variables sobre regiones rectangulares. También analizamos varias aplicaciones, como hallar el volumen limitado por una función sobre una región rectangular, encontrar áreas mediante integración y calcular el valor promedio de una función de dos variables.
En esta sección consideramos integrales dobles de funciones definidas sobre una región general acotada D en el plano. La mayoría de los resultados anteriores también se mantienen en esta situación, pero algunas técnicas necesitan ampliarse para cubrir este caso más general.
Regiones generales de integración
Un ejemplo de una región acotada general \( D \) en el plano se muestra en la Figura 12.2.1. Como \( D \) está acotada en el plano, debe existir una región rectangular \( R \) en el mismo plano que encierre a la región \( D \); es decir, existe una región rectangular \( R \) tal que \( D \) es un subconjunto de \( R \) \((D \subseteq R)\).
Figura 12.2.1 Para una región \( D \) que es un subconjunto de \( R \), podemos definir una función \( g(x,y) \) que sea igual a \( f(x,y) \) en cada punto de \( D \) y 0 en cada punto de \( R \) que no pertenece a \( D \).
Suponga que \( z = f(x, y) \) está definida en una región plana acotada general \( D \), como en la Figura 12.2.1. Para desarrollar integrales dobles de \( f \) sobre \( D \), extendemos la definición de la función para incluir todos los puntos en la región rectangular \( R \) y luego utilizamos los conceptos y herramientas de la sección precedente. Pero, ¿cómo extendemos la definición de \( f \) para incluir todos los puntos en \( R \)? Lo hacemos definiendo una nueva función \( g(x, y) \) en \( R \) de la siguiente manera:
\[ g(x, y) = \begin{cases} f(x, y) & \text{si } (x, y) \text{ está en } D \\ 0 & \text{si } (x, y) \text{ está en } R \text{ pero no en } D \end{cases} \]
Tenga en cuenta que podríamos tener algunas dificultades técnicas si el contorno de \( D \) es complicado. Por lo tanto, asumimos que el contorno es una curva cerrada simple, continua y suave por tramos. Además, dado que todos los resultados desarrollados en Integrales Dobles sobre Regiones Rectangulares utilizaron una función integrable \( f(x, y) \), debemos tener cuidado con \( g(x, y) \) y verificar que \( g(x, y) \) sea una función integrable sobre la región rectangular \( R \). Esto ocurre siempre que la región \( D \) esté acotada por curvas cerradas simples. Por ahora, nos concentraremos en las descripciones de las regiones más que en la función y extenderemos nuestra teoría de manera apropiada para la integración.
Consideramos dos tipos de regiones planas acotadas.
Definición
Una región \( D \) en el plano \( (x, y) \) es de Tipo I si se encuentra entre dos líneas verticales y las gráficas de dos funciones continuas \( g_1(x) \) y \( g_2(x) \). Esto es (Figura 12.2.2),
\[ D = \{ (x, y) \mid a \leq x \leq b, g_1(x) \leq y \leq g_2(x) \} \]
Una región \( D \) en el plano \( xy \) es de Tipo II si se encuentra entre dos líneas horizontales y las gráficas de dos funciones continuas \( h_1(y) \) y \( h_2(y) \). Esto es (Figura 12.2.3),
\[ D = \{ (x, y) \mid c \leq y \leq d, h_1(y) \leq x \leq h_2(y) \} \]
♦
Ejemplo ilustrativo 12.2.1. Descripción de una Región como Tipo I y También como Tipo II
Considere la región en el primer cuadrante entre las funciones \( y=\sqrt{x} \) y \( y=x^3 \) (Figura 12.2.4). Describa la región primero como de Tipo I y luego como de Tipo II.
Solución:
Al describir una región como de Tipo I, necesitamos identificar la función que se encuentra arriba de la región y la función que se encuentra debajo de la región. Aquí, la región \( D \) está acotada arriba por \( y = \sqrt{x} \) y abajo por \( y = x^3 \) en el intervalo para \( x \) en \( [0, 1] \). Por lo tanto, como Tipo I, \( D \) se describe como el conjunto:
\[ \{ (x, y) \mid 0 \leq x \leq 1, x^3 \leq y \leq \sqrt{x} \} \]
Sin embargo, al describir una región como de Tipo II, necesitamos identificar la función que se encuentra a la izquierda de la región y la función que se encuentra a la derecha de la región. Aquí, la región \( D \) está acotada a la izquierda por \( x = y^2 \) y a la derecha por \( x = \sqrt[3]{y} \) en el intervalo para \( y \) en \( [0, 1] \). Por lo tanto, como Tipo II, \( D \) se describe como el conjunto:
\[ \{ (x, y) \mid 0 \leq y \leq 1, y^2 \leq x \leq \sqrt[3]{y} \} \]
♦Ejercicio de control 12.2.1
Considere la región en el primer cuadrante entre las funciones \( y=2x \) y \( y=x^2 \). Describa la región primero como de Tipo I y luego como de Tipo II. ♦
Integrales Dobles sobre Regiones No Rectangulares
Para desarrollar el concepto y las herramientas para evaluar una integral doble sobre una región general no rectangular, primero necesitamos comprender la región y ser capaces de expresarla como Tipo I, Tipo II o una combinación de ambas. Sin comprender las regiones, no podremos determinar los límites de integración en las integrales dobles. Como primer paso, observemos el siguiente teorema.
Teorema 12.2.1. Integrales Dobles sobre Regiones No Rectangulares
Suponga que \( g(x, y) \) es la extensión al rectángulo \( R \) de la función integrable \( f(x, y) \) definida en la región \( D \), donde \( D \) está contenida en \( R \). Las regiones de muestra se muestran en la Figura 12.2.1 . Entonces \( g(x, y) \) es integrable y definimos la integral doble de \( f(x, y) \) sobre \( D \) mediante:
\[ \iint_D f(x, y) \, dA = \iint_R g(x, y) \, dA \]
♦
El lado derecho de esta ecuación es lo que ya hemos visto antes, por lo tanto, este teorema es razonable porque \( R \) es un rectángulo y \( \iint_R g(x,y)\,dA \) se ha discutido en la sección anterior. Además, la igualdad funciona porque los valores de \( g(x,y) \) son 0 para cualquier punto \( (x,y) \) que se encuentre fuera de \( D \), y por lo tanto, estos puntos no aportan nada a la integral. Sin embargo, es importante que el rectángulo \( R \) contenga a la región \( D \). Como cuestión de hecho, si la región \( D \) está limitada por curvas suaves en el plano y podemos describirla como de Tipo I o Tipo II o una combinación de ambas, entonces podemos usar el siguiente teorema y no tener que encontrar un rectángulo \( R \) que contenga a la región.
Teorema 12.2.2. Teorema de Fubini (Forma Fuerte)
Para una función \( f(x, y) \) que es continua en una región \( D \) de Tipo I, tenemos
De manera similar, para una función \( f(x, y) \) que es continua en una región \( D \) de Tipo II, tenemos
♦
La integral en cada una de estas expresiones es una integral iterada, similar a las que hemos visto antes. Observe que, en la integral interna de la primera expresión, integramos \( f(x,y) \) manteniendo \( x \) constante y siendo los límites de integración \( g_1(x) \) y \( g_2(x) \). En la integral interna de la segunda expresión, integramos \( f(x,y) \) manteniendo \( y \) constante y siendo los límites de integración \( h_1(x) \) y \( h_2(x) \).
Ejemplo ilustrativo 12.2.2. Evaluación de una Integral Iterada sobre una Región Tipo I
Evalúe la integral \(\iint_{D} x^2 e^{xy}\, dA\), donde \(D\) se muestra en la Figura 12.2.5.
Solución:
Primero construya la región \( D \) como una región de Tipo I (Figura 12.2.5). Aquí \( D = \{ (x, y) \mid 0 \leq x \leq 2, \frac{1}{2}x \leq y \leq 1 \} \). Entonces tenemos
\[ \iint_D x^2 e^{xy} \, dA = \int_{x=0}^{x=2} \int_{y=1/2x}^{y=1} x^2 e^{xy} \, dy \, dx. \]
Figura 12.2.5 Podemos expresar la región \(D\) como una región de Tipo I e integrar desde \(y=\frac{1}{2}x\) hasta \(y=1\), entre las rectas \(x=0\) y \(x=2\).
Por lo tanto, tenemos el siguiente desarrollo para evaluar la integral doble sobre la región de Tipo I:
♦
En el Ejemplo 12.2.2, podríamos haber considerado la región de otra manera, como \(D=\{(x,y)\mid 0\le y\le 1,\; 0\le x\le 2y\}\) (Figura 12.2.6).
Esta es una región de Tipo II y la integral se vería entonces de la siguiente manera:
Sin embargo, si integramos primero con respecto a \( x \), esta integral es larga de calcular porque tenemos que usar integración por partes dos veces.
Ejemplo ilustrativo 12.2.3. Evaluación de una Integral Iterada sobre una Región Tipo II
Evalúe la integral \(\iint_D (3x^2+y^2)\,dA\), donde \(D=\{(x,y)\mid -2\le y\le 3,\; y^2-3\le x\le y+3\}\).
Solución:
Observe que \(D\) puede verse como una región de Tipo I o de Tipo II, como se muestra en la Figura 5.18. Sin embargo, en este caso describir \(D\) como región de Tipo I es más complicado que describirla como región de Tipo II. Por lo tanto, usamos \(D\) como una región de Tipo II para la integración.
Al elegir este orden de integración, tenemos el siguiente desarrollo para evaluar la integral doble sobre una región de Tipo II:
♦
Ejercicio de control 12.2.2
Bosqueje la región $D$ y evalúe la integral iterada $\iint_D x y \, dy \, dx$, donde $D$ es la región limitada por las curvas $y=\cos x$ y $y=\sin x$ en el intervalo $\left[-\frac{3\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right]$. ♦
Recuerde de Integrales Dobles sobre Regiones Rectangulares las propiedades de las integrales dobles. Como hemos visto en los ejemplos aquí, todas estas propiedades también son válidas para una función definida en una región acotada no rectangular en un plano. En particular, la propiedad 3 establece:
Si \( R = S \cup T \) y \( S \cap T = \emptyset \) excepto en sus fronteras, entonces
De manera similar, tenemos la siguiente propiedad de las integrales dobles sobre una región acotada no rectangular en un plano.
Teorema 12.2.3. Descomposición de Regiones en Regiones Más Pequeñas
Suponga que la región \( D \) puede expresarse como \( D = D_1 \cup D_2 \), donde \( D_1 \) y \( D_2 \) no se traslapan excepto en sus fronteras. Entonces
♦
Este teorema es particularmente útil para regiones no rectangulares porque nos permite dividir una región en una unión de regiones de Tipo I y Tipo II. Luego podemos calcular la integral doble en cada parte de manera conveniente, como en el siguiente ejemplo.
Ejemplo ilustrativo 12.2.4. Descomposición de Regiones
Exprese la región \( D \) mostrada en la Figura 12.2.8 como una unión de regiones de Tipo I o Tipo II, y evalúe la integral:
Solución:
La región \( D \) no es fácil de descomponer en un solo tipo; en realidad es una combinación de diferentes tipos. Por lo tanto, podemos escribirla como una unión de tres regiones \( D_1, D_2, \) y \( D_3 \) donde,
Estas regiones se ilustran con mayor claridad en la Figura 12.2.9.
Aquí \( D_1 \) es de Tipo I, mientras que \( D_2 \) y \( D_3 \) son ambos de Tipo II. Por lo tanto, el cálculo de la integral se desarrolla de la siguiente manera:
Ahora podríamos rehacer este ejemplo utilizando una unión de dos regiones de Tipo II (véase el siguiente Ejercicio de control). ♦
Ejercicio de control 12.2.3
Rehaga el Ejemplo 12.2.4 utilizando una unión de dos regiones de Tipo II. ♦
Ejercicio de control 12.2.4
Considere la región limitada por las curvas $y=\ln x$ y $y=e^x$ en el intervalo $[1,2]$. Descomponga la región en regiones más pequeñas de Tipo II. ♦
Cambio del Orden de Integración
Como ya hemos visto al evaluar una integral iterada, a veces un orden de integración conduce a un cálculo significativamente más sencillo que el otro. En ocasiones, el orden de integración no importa, pero es importante aprender a reconocer cuándo un cambio de orden simplificará nuestro trabajo.
Ejemplo ilustrativo 12.2.5. Cambio del Orden de Integración
Invierta el orden de integración en la integral iterada \( \int_{x=0}^{x=\sqrt{2}} \int_{y=0}^{y=2-x^2} x e^{x^2} \, dy \, dx \). Luego, evalúe la nueva integral iterada.
Solución:
La región, tal como se presenta, es de Tipo I. Para invertir el orden de integración, primero debemos expresar la región como de Tipo II. Consulte la Figura 12.2.10.
♦
Ejemplo ilustrativo 12.2.6. Evaluación de una Integral Iterada Invirtiendo el Orden de Integración
Considere la integral iterada \( \iint_R f(x, y) \, dx \, dy \) donde \( z = f(x, y) = x – 2y \) sobre una región triangular \( R \) que tiene lados en \( x = 0 \), \( y = 0 \), y la línea \( x + y = 1 \). Bosqueje la región y luego evalúe la integral iterada mediante:
- Integrando primero con respecto a \( y \) y luego
- Integrando primero con respecto a \( x \).
Solución:
Un bosquejo de la región aparece en la Figura 12.2.11
Podemos completar esta integración de dos maneras diferentes:
a. Una forma de verlo es integrando primero \( y \) desde \( y = 0 \) hasta \( y = 1 – x \) verticalmente y luego integrando \( x \) desde \( x = 0 \) hasta \( x = 1 \):
b. la otra forma de hacer este problema es integrando primero \( x \) desde \( x = 0 \) hasta \( x = 1 – y \) horizontalmente y luego integrando \( y \) desde \( y = 0 \) hasta \( y = 1 \):
♦
Ejercicio de control 12.2.5
Evalúe la integral iterada \( \iint_D (x^2 + y^2) \, dA \) sobre la región \( D \) en el primer cuadrante situada entre las funciones \( y = 2x \) y \( y = x^2 \). Evalúe la integral iterada integrando primero con respecto a \( y \) y luego integrando primero con respecto a \( x \). ♦
Cálculo de Volúmenes, Áreas y Valores Promedio
Podemos usar integrales dobles sobre regiones generales para calcular volúmenes, áreas y valores promedio. Los métodos son los mismos que en Integrales Dobles sobre Regiones Rectangulares, pero sin la restricción a una región rectangular, ahora podemos resolver una mayor variedad de problemas.
Ejemplo ilustrativo 12.2.7. Determinación del Volumen de un Tetraedro
Halle el volumen del sólido limitado por los planos $x=0$, $y=0$, $z=0$ y $2x+3y+z=6$.
Solución:
El sólido es un tetraedro con base en el plano $xy$ y altura $z=6-2x-3y$. La base es la región $D$ limitada por las rectas $x=0$, $y=0$ y $2x+3y=6$, donde $z=0$ (Figura 12.2.12). Observe que podemos considerar la región $D$ como de Tipo I o como de Tipo II, y podemos integrar de ambas formas.
Figura 12.2.12 Un tetraedro formado por los tres planos coordenados y el plano $z=6-2x-3y$, con base limitada por $x=0$, $y=0$ y $2x+3y=6$.
Primero, considere \( D \) como una región de Tipo I, y por lo tanto \( D = \{ (x, y) \mid 0 \leq x \leq 3, 0 \leq y \leq 2 – \frac{2}{3}x \} \).
Por lo tanto, el volumen es:
Ahora considere \( D \) como una región de Tipo II, de modo que \( D = \{ (x, y) \mid 0 \leq y \leq 2, 0 \leq x \leq 3 – \frac{3}{2}y \} \). En este cálculo, el volumen es:
Por lo tanto, el volumen es de 6 unidades cúbicas. ♦
Ejercicio de control 12.2.6
Halle el volumen del sólido limitado superiormente por $f(x,y)=10-2x+y$ sobre la región encerrada por las curvas $y=0$ y $y=e^x$, donde $x$ está en el intervalo $[0,1]$. ♦
Hallar el área de una región rectangular es fácil, pero hallar el área de una región no rectangular no es tan sencillo. Como hemos visto, podemos usar integrales dobles para encontrar el área de una región rectangular. De hecho, esto resulta muy útil para hallar el área de una región general no rectangular, como se establece en la siguiente definición.
Definición
El área de una región \( D \) acotada en el plano se define como la integral doble:
♦
Ya hemos visto cómo hallar áreas mediante integrales simples. Aquí estamos viendo otra forma de encontrar áreas usando integrales dobles, lo cual puede ser muy útil, como veremos en las secciones posteriores de este capítulo.
Ejemplo ilustrativo 12.2.8. Determinación del Área de una Región
Halle el área de la región limitada inferiormente por la curva $y=x^2$ y superiormente por la recta $y=2x$ en el primer cuadrante (Figura 12.2.13).
Figura 12.2.13 La región limitada por $y=x^2$ y $y=2x$.
Solución:
Para calcular el área, simplemente integramos la función constante \( f(x, y) = 1 \) sobre la región \( D \). Así, el área \( A \) de la región acotada se puede expresar mediante los siguientes órdenes de integración:
Realizando el cálculo con el primer orden de integración, tenemos:
♦
Ejercicio de control 12.2.7
Halle el área de una región limitada superiormente por la curva $y=x^3$ e inferiormente por $y=0$ en el intervalo $[0,3]$. ♦
También podemos usar una integral doble para hallar el valor promedio de una función sobre una región general. La definición es una extensión directa de la fórmula anterior.
Definición
Si \( f(x, y) \) es integrable sobre una región plana acotada \( D \) con área positiva \( A(D) \), entonces el valor promedio de la función es
\[ f_{prom} = \frac{1}{A(D)} \iint\limits_{D} f(x, y) \, dA. \]
Note que el área es \( A(D) = \iint\limits_{D} 1 \, dA. \)
♦
Ejemplo ilustrativo 12.2.9. Determinación de un Valor Promedio
Halle el valor promedio de la función $f(x,y)=7xy^2$ sobre la región limitada por la recta $x=y$ y la curva $x=\sqrt{y}$ (Figura 12.2.14).
Figura 12.2.14 La región limitada por $x=y$ y $x=\sqrt{y}$.
Solución:
Si \( f(x, y) \) es integrable sobre una región plana acotada \( D \) con área positiva \( A(D) \), entonces el valor promedio de la función es
\[ f_{prom} = \frac{1}{A(D)} \iint\limits_{D} f(x, y) \, dA. \]
Note que el área es \( A(D) = \iint\limits_{D} 1 \, dA. \)
Primero encuentre el área \( A(D) \) donde la región \( D \) está dada por la figura. Tenemos
\[ A(D) = \iint\limits_{D} 1 \, dA = \int_{y=0}^{y=1} \int_{x=y}^{x=\sqrt{y}} 1 \, dx \, dy = \int_{y=0}^{y=1} \left[ x \Big|_{x=y}^{x=\sqrt{y}} \right] \, dy = \int_{y=0}^{y=1} (\sqrt{y} – y) \, dy = \frac{2}{3} y^{3/2} – \frac{y^2}{2} \bigg|_0^1 = \frac{1}{6}. \]
Entonces el valor promedio de la función dada sobre esta región es
\[ \begin{aligned} f_{prom} &= \frac{1}{A(D)} \iint\limits_{D} f(x, y) \, dA = \frac{1}{A(D)} \int_{y=0}^{y=1} \int_{x=y}^{x=\sqrt{y}} 7xy^2 \, dx \, dy = \frac{1}{1/6} \int_{y=0}^{y=1} \left[ \frac{7}{2} x^2 y^2 \Big|_{x=y}^{x=\sqrt{y}} \right] \, dy \\ &= 6 \int_{y=0}^{y=1} \left[ \frac{7}{2} y^2 (y – y^2) \right] \, dy = 6 \int_{y=0}^{y=1} \left[ \frac{7}{2} (y^3 – y^4) \right] \, dy = \frac{42}{2} \left( \frac{y^4}{4} – \frac{y^5}{5} \right) \bigg|_0^1 = \frac{42}{40} = \frac{21}{20}. \end{aligned} \]
♦
Ejercicio de control 12.2.8
Halle el valor promedio de la función $f(x,y)=xy$ sobre el triángulo con vértices $(0,0)$, $(1,0)$ y $(1,3)$. ♦
Integrales Dobles Impropias
Si \( f(x, y) \) es integrable sobre una región plana acotada \( D \) con área positiva \( A(D) \), entonces el valor promedio de la función es
\[ f_{prom} = \frac{1}{A(D)} \iint\limits_{D} f(x, y) \, dA. \]
Note que el área es \( A(D) = \iint\limits_{D} 1 \, dA. \)
Primero encuentre el área \( A(D) \) donde la región \( D \) está dada por la figura. Tenemos
\[ A(D) = \iint\limits_{D} 1 \, dA = \int_{y=0}^{y=1} \int_{x=y}^{x=\sqrt{y}} 1 \, dx \, dy = \int_{y=0}^{y=1} \left[ x \Big|_{x=y}^{x=\sqrt{y}} \right] \, dy = \int_{y=0}^{y=1} (\sqrt{y} – y) \, dy = \frac{2}{3} y^{3/2} – \frac{y^2}{2} \bigg|_0^1 = \frac{1}{6}. \]
Entonces el valor promedio de la función dada sobre esta región es
\[ \begin{aligned} f_{prom} &= \frac{1}{A(D)} \iint\limits_{D} f(x, y) \, dA = \frac{1}{1/6} \int_{y=0}^{y=1} \int_{x=y}^{x=\sqrt{y}} 7xy^2 \, dx \, dy \\ &= 6 \int_{y=0}^{y=1} \left[ \frac{7}{2} x^2 y^2 \Big|_{x=y}^{x=\sqrt{y}} \right] \, dy = 6 \int_{y=0}^{y=1} \left[ \frac{7}{2} y^2 (y – y^2) \right] \, dy \\ &= 6 \int_{y=0}^{y=1} \left[ \frac{7}{2} (y^3 – y^4) \right] \, dy = \frac{42}{2} \left( \frac{y^4}{4} – \frac{y^5}{5} \right) \bigg|_0^1 = \frac{42}{40} = \frac{21}{20}. \end{aligned} \]
Una integral doble impropia es una integral \( \iint\limits_{D} f \, dA \) donde ya sea \( D \) es una región no acotada o \( f \) es una función no acotada. Por ejemplo, \( D = \{(x,y) \mid |x – y| \geq 2\} \) es una región no acotada, y la función \( f(x, y) = 1/(1 – x^2 – 2y^2) \) sobre la elipse \( x^2 + 2y^2 \leq 1 \) es una función no acotada. Por lo tanto, ambas de las siguientes integrales son integrales impropias:
- \( \iint\limits_{D} xy \, dA \) donde \( D = \{(x,y) \mid |x – y| \geq 2\} \);
- \( \iint\limits_{D} \frac{1}{1 – x^2 – 2y^2} \, dA \) donde \( D = \{(x,y) \mid x^2 + 2y^2 \leq 1\} \).
En esta sección nos gustaría tratar con integrales impropias de funciones sobre rectángulos o regiones simples tales que \( f \) tiene solo un número finito de discontinuidades. No todas estas integrales impropias pueden ser evaluadas; sin embargo, una forma del teorema de Fubini se aplica para algunos tipos de integrales impropias.
Teorema 12.2.4. Teorema de Fubini para Integrales Impropias
Si \( D \) es un rectángulo acotado o una región simple en el plano definida por \( \{(x,y) : a \leq x \leq b, g(x) \leq y \leq h(x)\} \) y también por \( \{(x,y) : c \leq y \leq d, j(y) \leq x \leq k(y)\} \) y \( f \) es una función no negativa en \( D \) con finitamente muchas discontinuidades en el interior de \( D \), entonces
\[ \iint\limits_{D} f \, dA = \int_{x=a}^{x=b} \int_{y=g(x)}^{y=h(x)} f(x, y) \, dy \, dx = \int_{y=c}^{y=d} \int_{x=j(y)}^{x=k(y)} f(x, y) \, dx \, dy. \]
♦
Es muy importante notar que requerimos que la función sea no negativa en D para que el teorema funcione. Consideramos únicamente el caso en el que la función tiene un número finito de discontinuidades dentro de D.
Ejemplo ilustrativo 12.2.10. Evaluación de una Integral Doble Impropia
Considere la función $f(x,y)=\frac{e^y}{y}$ sobre la región $D=\{(x,y):0\le x\le 1,\, x\le y\le \sqrt{x}\}$. Observe que la función es no negativa y continua en todos los puntos de $D$ excepto en $(0,0)$. Use el teorema de Fubini para evaluar la integral impropia.
Solución:
Primero trazamos la región D (Figura 12.2.15); luego la expresamos de otra manera.
La otra forma de expresar la misma región \( D \) es
\[ D = \{(x, y) : 0 \leq y \leq 1, y^2 \leq x \leq y \}. \]
Por lo tanto, podemos usar el teorema de Fubini para integrales impropias y evaluar la integral como
\[ \int_{y=0}^{y=1} \int_{x=y^2}^{x=y} \frac{e^y}{y} \, dx \, dy. \]
Por consiguiente, tenemos
\[ \int_{y=0}^{y=1} \int_{x=y^2}^{x=y} \frac{e^y}{y} \, dx \, dy = \int_{y=0}^{y=1} \frac{e^y}{y} x \Big|_{x=y^2}^{x=y} \, dy = \int_{y=0}^{y=1} \frac{e^y}{y} (y – y^2) \, dy = \int_{0}^{1} (e^y – ye^y) \, dy = e – 2. \]
♦
Como se mencionó antes, también tenemos una integral impropia si la región de integración es no acotada. Supongamos ahora que la función f es continua en un rectángulo no acotado R.
Teorema 12.2.5. Integrales Impropias sobre una Región No Acotada
Si \( R \) es un rectángulo no acotado tal como \( R = \{(x,y): a \leq x < \infty, c \leq y < \infty\} \), entonces cuando el límite existe, tenemos
\[ \iint\limits_{R} f(x, y) \, dA = \lim_{(b,d) \to (\infty,\infty)} \int_{a}^{b} \left( \int_{c}^{d} f(x, y) \, dy \right) dx = \lim_{(b,d) \to (\infty,\infty)} \int_{c}^{d} \left( \int_{a}^{b} f(x, y) \, dx \right) dy. \]
♦
El siguiente ejemplo muestra cómo se puede utilizar este teorema en ciertos casos de integrales impropias.
Ejemplo ilustrativo 12.2.11. Evaluación de una Integral Doble Impropia
Evalúe la integral \( \iint\limits_{R} xye^{-x^2-y^2} \, dA \) donde \( R \) es el primer cuadrante del plano.
Solución:
La región \( R \) es el primer cuadrante del plano, el cual no es acotado. Por lo tanto
\[ \begin{aligned} \iint\limits_{R} xye^{-x^2-y^2} \, dA &= \lim_{(b,d) \to (\infty,\infty)} \int_{x=0}^{x=b} \left( \int_{y=0}^{y=d} xye^{-x^2-y^2} \, dy \right) dx = \lim_{(b,d) \to (\infty,\infty)} \int_{y=0}^{y=d} \left( \int_{x=0}^{x=b} xye^{-x^2-y^2} \, dx \right) dy \\ &= \lim_{(b,d) \to (\infty,\infty)} \frac{1}{4} (1 – e^{-b^2})(1 – e^{-d^2}) = \frac{1}{4}. \end{aligned} \]
Así, \( \iint\limits_{R} xye^{-x^2-y^2} \, dA \) es convergente y su valor es \( \frac{1}{4} \). ♦
Ejercicio de control 12.2.9
Evalúe la integral impropia \( \iint\limits_{D} \frac{y}{\sqrt{1 – x^2 – y^2}} \, dA \) donde
\[ D = \{(x, y) \mid x \geq 0, y \geq 0, x^2 + y^2 \leq 1 \} . \] ♦En algunas situaciones de la teoría de la probabilidad, podemos obtener una mejor comprensión de un problema cuando somos capaces de usar integrales dobles sobre regiones generales. Antes de analizar un ejemplo con una integral doble, necesitamos establecer algunas definiciones y familiarizarnos con algunas propiedades importantes.
Definición
Considere un par de variables aleatorias continuas \( X \) y \( Y \), tales como los cumpleaños de dos personas o el número de días soleados y lluviosos en un mes. La función de densidad conjunta \( f \) de \( X \) y \( Y \) satisface la probabilidad de que \( (X, Y) \) se encuentre en una región determinada \( D \):
\[ P((X, Y) \in D) = \iint\limits_{D} f(x, y) \, dA. \]
Dado que las probabilidades nunca pueden ser negativas y deben estar entre 0 y 1, la función de densidad conjunta satisface la siguiente desigualdad y ecuación:
\[ f(x, y) \geq 0 \quad \text{y} \quad \iint\limits_{\mathbb{R}^2} f(x, y) \, dA = 1. \]
Definición
Se dice que las variables \( X \) y \( Y \) son variables aleatorias independientes si su función de densidad conjunta es el producto de sus funciones de densidad individuales:
\[ f(x, y) = f_1(x) f_2(y). \]
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Ejemplo ilustrativo 12.2.12. Aplicación a la Probabilidad
En el Restaurante Sydney’s, los clientes deben esperar en promedio 15 minutos por una mesa. Desde el momento en que se sientan hasta que terminan su comida se requieren, en promedio, 40 minutos adicionales. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente pase menos de una hora y media en el restaurante, suponiendo que la espera por una mesa y la finalización de la comida son eventos independientes?
Solución:
Los tiempos de espera se modelan matemáticamente mediante funciones de densidad exponencial, siendo \( m \) el tiempo de espera promedio, como
\[ f(t) = \begin{cases} 0 & \text{si } t < 0, \\ \frac{1}{m} e^{-t/m} & \text{si } t \geq 0. \end{cases} \]
Si \( X \) y \( Y \) son variables aleatorias para “esperar una mesa” y “terminar la comida”, entonces las funciones de densidad de probabilidad son, respectivamente,
\[ f_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0, \\ \frac{1}{15} e^{-x/15} & \text{si } x \geq 0. \end{cases} \quad \text{y} \quad f_2(y) = \begin{cases} 0 & \text{si } y < 0, \\ \frac{1}{40} e^{-y/40} & \text{si } y \geq 0. \end{cases} \]
Claramente, los eventos son independientes y, por lo tanto, la función de densidad conjunta es el producto de las funciones individuales
\[ f(x, y) = f_1(x)f_2(y) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0 \text{ o } y < 0, \\ \frac{1}{600} e^{-x/15} e^{-y/40} & \text{si } x, y \geq 0. \end{cases} \]
Queremos encontrar la probabilidad de que el tiempo combinado \( X + Y \) sea menor a 90 minutos. En términos de geometría, esto significa que la región \( D \) está en el primer cuadrante limitada por la recta \( x + y = 90 \).
Por lo tanto, la probabilidad de que \( (X, Y) \) esté en la región \( D \) es
\[ P(X + Y \leq 90) = P((X, Y) \in D) = \iint\limits_{D} f(x, y) \, dA = \iint\limits_{D} \frac{1}{600} e^{-x/15} e^{-y/40} \, dA. \]
Como \( x + y = 90 \) es lo mismo que \( y = 90 – x \), tenemos una región de Tipo I, por lo que
\[ \begin{aligned} D &= \{ (x, y) \mid 0 \leq x \leq 90, 0 \leq y \leq 90 – x \}, \\ P(X + Y \leq 90) &= \frac{1}{600} \int_{x=0}^{x=90} \int_{y=0}^{y=90 – x} e^{-x/15} e^{-y/40} \, dy \, dx \\ &= \frac{1}{600} \int_{x=0}^{x=90} \int_{y=0}^{y=90 – x} e^{-(x/15 + y/40)} \, dy \, dx = 0.8328. \end{aligned} \]
Así, hay un \( 83.28\% \) de probabilidad de que un cliente pase menos de una hora y media en el restaurante. ♦
Otra aplicación importante en probabilidad que puede involucrar integrales dobles impropias es el cálculo de valores esperados. Primero definimos este concepto y luego mostramos un ejemplo de su cálculo.
Definición
En la teoría de la probabilidad, denotamos los valores esperados \( E(X) \) y \( E(Y) \), respectivamente, como los resultados más probables de los eventos. Los valores esperados \( E(X) \) y \( E(Y) \) están dados por
\[ E(X) = \iint\limits_{S} x f(x, y) \, dA \quad \text{y} \quad E(Y) = \iint\limits_{S} y f(x, y) \, dA, \]
donde \( S \) es el espacio muestral de las variables aleatorias \( X \) y \( Y \). ♦
Ejemplo ilustrativo 12.2.13. Cálculo del Valor Esperado
Halle el tiempo esperado para los eventos “esperar una mesa” y “terminar la comida” en el Ejemplo 12.2.12.
Solución:
Utilizando el primer cuadrante del plano de coordenadas rectangulares como espacio muestral, tenemos integrales impropias para \( E(X) \) y \( E(Y) \). El tiempo esperado para una mesa es
\[ \begin{aligned} E(X) &= \iint\limits_{S} x \frac{1}{600} e^{-x/15} e^{-y/40} \, dA = \frac{1}{600} \int_{x=0}^{x=\infty} \int_{y=0}^{y=\infty} x e^{-x/15} e^{-y/40} \, dA \\ &= \frac{1}{600} \lim_{(a,b) \to (\infty, \infty)} \int_{x=0}^{x=a} \int_{y=0}^{y=b} x e^{-x/15} e^{-y/40} \, dx \, dy \\ &= \frac{1}{600} \left( \lim_{a \to \infty} \int_{x=0}^{x=a} x e^{-x/15} \, dx \right) \left( \lim_{b \to \infty} \int_{y=0}^{y=b} e^{-y/40} \, dy \right) \\ &= \frac{1}{600} \left( \left( \lim_{a \to \infty} (-15 e^{-x/15} (x + 15)) \right) \Big|_{x=0}^{x=a} \right) \left( \left( \lim_{b \to \infty} (-40 e^{-y/40}) \right) \Big|_{y=0}^{y=b} \right) \\ &= \frac{1}{600} \left( \lim_{a \to \infty} (-15 e^{-a/15} (a + 15) + 225) \right) \left( \lim_{b \to \infty} (-40 e^{-b/40} + 40) \right) \\ &= \frac{1}{600} (225)(40) \\ &= 15. \end{aligned} \]
Un cálculo similar muestra que \( E(Y) = 40 \). Esto significa que los valores esperados de los dos eventos aleatorios son el tiempo de espera promedio y el tiempo de comida promedio, respectivamente. ♦
Ejercicio de control 12.2.10
La función de densidad conjunta para dos variables aleatorias \( X \) e \( Y \) está dada por
\[ f(x, y) = \begin{cases} \frac{1}{16250}(x^2 + y^2) & \text{si } 0 \leq x \leq 15, 0 \leq y \leq 10 \\ 0 & \text{en otro caso} \end{cases} \]
Encuentre la probabilidad de que \( X \) sea a lo más 10 e \( Y \) sea al menos 5. ♦