12.2 Integrales dobles sobre regiones generales

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Ejercicios propuestos para el Capítulo 12.2

En los siguientes ejercicios, especifique si la región es de Tipo I o de Tipo II.

60. La región \( D \) acotada por \( y = x^3 \), \( y = x^3 + 1 \), \( x = 0 \) y \( x = 1 \) como se indica en la siguiente figura.

61. Encuentre el valor promedio de la función \( f(x, y) = 3xy \) en la región graficada en el ejercicio anterior.

62. Encuentre el área de la región \( D \) dada en el ejercicio anterior.

63. La región \( D \) acotada por \( y = \sin x \), \( y = 1 + \sin x \), \( x = 0 \) y \( x = \frac{\pi}{2} \) como se indica en la siguiente figura.

64. Encuentre el valor promedio de la función \( f(x, y) = \cos x \) en la región graficada en el ejercicio anterior.

65. Encuentre el área de la región \( D \) dada en el ejercicio anterior.

66. La región \( D \) acotada por \( x = y^2 – 1 \) y \( x = \sqrt{1 – y^2} \) como se indica en la siguiente figura.

67. Encuentre el volumen del sólido bajo la gráfica de la función \( f(x, y) = xy + 1 \) y sobre la región en la figura del ejercicio anterior.

68. La región \( D \) acotada por \( y = 0 \), \( x = -10 + y \), y \( x = 10 – y \) como se indica en la siguiente figura.

69. Encuentre el volumen del sólido bajo la gráfica de la función \( f(x, y) = x + y \) y sobre la región en la figura del ejercicio anterior.

70. La región \( D \) acotada por \( y = 0 \), \( x = y – 1 \), \( x = \frac{\pi}{2} \) como se indica en la siguiente figura.

71. La región \( D \) acotada por \( y = 0 \) y \( y = x^2 – 1 \) como se indica en la siguiente figura.

71. La región \( D \) acotada por \( y = 0 \) y \( y = x^2 – 1 \) como se indica en la siguiente figura.

72. Sea \( D \) la región acotada por las curvas de ecuaciones \( y = x \), \( y = -x \), y \( y = 2 – x^2 \). Explique por qué \( D \) no es ni de Tipo I ni de Tipo II.

73. Sea \( D \) la región acotada por las curvas de ecuaciones \( y = \cos x \) y \( y = 4 – x^2 \) y el eje \( x \). Explique por qué \( D \) no es ni de Tipo I ni de Tipo II.

En los siguientes ejercicios, evalúe la integral doble \( \iint\limits_{D} f(x, y) \, dA \) sobre la región \( D \).

74. \( f(x, y) = 2x + 5y \) y \( D = \{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1, x^3 \leq y \leq x^3 + 1\} \)

75. \( f(x, y) = 1 \) y \( D = \{(x, y) \mid 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}, \sin x \leq y \leq 1 + \sin x\} \)

76. \( f(x, y) = 2 \) y \( D = \{(x, y) \mid 0 \leq y \leq 1, y – 1 \leq x \leq \arccos y\} \)

77. \( f(x, y) = xy \) y \( D = \{(x, y) \mid -1 \leq y \leq 1, y^2 – 1 \leq x \leq \sqrt{1 – y^2}\} \)

78. \( f(x, y) = \sin y \) y \( D \) es la región triangular con vértices \( (0, 0), (0, 3), \) y \( (3, 0) \)

79. \( f(x, y) = -x + 1 \) y \( D \) es la región triangular con vértices \( (0, 0), (0, 2), \) y \( (2, 2) \)

Evalúe las integrales iteradas.

80. \( \displaystyle \int_{0}^{1} \int_{2x}^{3x} (x + y^2) \, dy \, dx \)

81. \( \displaystyle \int_{0}^{1} \int_{2\sqrt{x}}^{2\sqrt{x}+1} (xy + 1) \, dy \, dx \)

82. \( \displaystyle \int_{e}^{e^2} \int_{\ln u}^{2} (v + \ln u) \, dv \, du \)

83. \( \displaystyle \int_{1}^{2} \int_{-u^2-1}^{-u} (8uv) \, dv \, du \)

84. \( \displaystyle \int_{0}^{1} \int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} (2x + 4x^3) \, dx \, dy \)

85. \( \displaystyle \int_{0}^{1/2} \int_{-\sqrt{1-4y^2}}^{\sqrt{1-4y^2}} 4 \, dx \, dy \)

86. Sea \( D \) la región en el primer cuadrante acotada por \( y = 1 – x^2 \), \( y = 4 – x^2 \), y los ejes \( x \) e \( y \).

a. Demuestre que \( \displaystyle \iint\limits_{D} x \, dA = \int_{0}^{1} \int_{1-x^2}^{4-x^2} x \, dy \, dx + \int_{1}^{2} \int_{0}^{4-x^2} x \, dy \, dx \) dividiendo la región \( D \) en dos regiones de Tipo I.

b. Evalúe la integral \( \displaystyle \iint\limits_{D} x \, dA \).

87. Sea \( D \) la región acotada por \( y = 1 \), \( y = x \), \( y = \ln x \), y el eje \( x \).

a. Demuestre que \( \displaystyle \iint\limits_{D} y \, dA = \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} y \, dy \, dx + \int_{1}^{e} \int_{\ln x}^{1} y \, dy \, dx \) dividiendo \( D \) en dos regiones de Tipo I.

b. Evalúe la integral \( \displaystyle \iint\limits_{D} y \, dA \).

88. a. Demuestre que \( \displaystyle \iint\limits_{D} y^2 \, dA = \int_{-1}^{0} \int_{-x}^{2-x^2} y^2 \, dy \, dx + \int_{0}^{1} \int_{x}^{2-x^2} y^2 \, dy \, dx \) dividiendo la región \( D \) en dos regiones de Tipo I, donde \( D = \{(x, y) \mid y \geq x, y \geq -x, y \leq 2 – x^2\} \).

b. Evalúe la integral \( \displaystyle \iint\limits_{D} y^2 \, dA \).

89. Sea \( D \) la región acotada por \( y = x^2 \), \( y = x + 2 \), y \( y = -x \).

a. Demuestre que \( \displaystyle \iint\limits_{D} x \, dA = \int_{0}^{1} \int_{-y}^{\sqrt{y}} x \, dx \, dy + \int_{1}^{4} \int_{y-2}^{\sqrt{y}} x \, dx \, dy \) dividiendo la región \( D \) en dos regiones de Tipo II, donde \( D = \{(x, y) \mid y \geq x^2, y \geq -x, y \leq x + 2\} \).

b. Evalúe la integral \( \displaystyle \iint\limits_{D} x \, dA \).

90. La región \( D \) acotada por \( x = 0 \), \( y = x^5 + 1 \), y \( y = 3 – x^2 \) se muestra en la siguiente figura. Encuentre el área \( A(D) \) de la región \( D \).

91. La región \( D \) acotada por \( y = \cos x \), \( y = 4 + \cos x \), y \( x = \pm \frac{\pi}{3} \) se muestra en la siguiente figura. Encuentre el área \( A(D) \) de la región \( D \).

92. Encuentre el área \( A(D) \) de la región \( D = \{(x, y) \mid y \geq 1 – x^2, y \leq 4 – x^2, y \geq 0, x \geq 0\} \).

93. Sea \( D \) la región acotada por \( y = 1 \), \( y = x \), \( y = \ln x \), y el eje \( x \). Encuentre el área \( A(D) \) de la región \( D \).

94. Encuentre el valor promedio de la función \( f(x, y) = \sin y \) en la región triangular con vértices \( (0, 0) \), \( (0, 3) \), y \( (3, 0) \).

95. Encuentre el valor promedio de la función \( f(x, y) = -x + 1 \) en la región triangular con vértices \( (0, 0) \), \( (0, 2) \), y \( (2, 2) \).

En los siguientes ejercicios, cambie el orden de integración y evalúe la integral.

96. \( \displaystyle \int_{-1}^{\pi/2} \int_{0}^{x+1} \sin x \, dy \, dx \)

97. \( \displaystyle \int_{0}^{1} \int_{x-1}^{1-x} x \, dy \, dx \)

98. \( \displaystyle \int_{-1}^{0} \int_{-\sqrt{y+1}}^{\sqrt{y+1}} y^2 \, dx \, dy \)

99. \( \displaystyle \int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} y \, dx \, dy \)

100. La región \( D \) se muestra en la siguiente figura. Evalúe la integral doble \( \displaystyle \iint\limits_{D} (x^2 + y) \, dA \) utilizando el orden de integración más sencillo.

101. La región \( D \) se da en la siguiente figura. Evalúe la integral doble \( \displaystyle \iint\limits_{D} (x^2 – y^2) \, dA \) utilizando el orden de integración más sencillo.

102. Encuentre el volumen del sólido bajo la superficie \( z = 2x + y^2 \) y por encima de la región acotada por \( y = x^5 \) y \( y = x \).

103. Encuentre el volumen en el primer octante del sólido bajo el plano \( z = 3x + y \) y por encima de la región determinada por \( y = x^7 \) y \( y = x \).

104. Encuentre el volumen del sólido bajo el plano \( z = x – y \) y por encima de la región acotada por \( x = \tan y \), \( x = -\tan y \), y \( x = 1 \).

105. Encuentre el volumen del sólido bajo la superficie \( z = x^3 \) y por encima de la región plana acotada por \( x = \sin y \), \( x = -\sin y \), y \( x = 1 \) para valores de \( y \) entre \( y = -\frac{\pi}{2} \) y \( y = \frac{\pi}{2} \).

106. Sea \( g \) una función positiva, creciente y diferenciable en el intervalo \( [a, b] \). Demuestre que el volumen del sólido bajo la superficie \( z = g'(x) \) y por encima de la región acotada por \( y = 0 \), \( y = g(x) \), \( x = a \), y \( x = b \) está dado por \( \displaystyle \frac{1}{2} (g^2(b) – g^2(a)) \).

107. Sea \( g \) una función positiva, creciente y diferenciable en el intervalo \( [a, b] \), y sea \( k \) un número real positivo. Demuestre que el volumen del sólido bajo la superficie \( z = g'(x) \) y por encima de la región acotada por \( y = g(x) \), \( y = g(x) + k \), \( x = a \), y \( x = b \) está dado por \( k(g(b) – g(a)) \).

108. Encuentre el volumen del sólido situado en el primer octante y determinado por los planos \( z = 2 \), \( z = 0 \), \( x + y = 1 \), \( x = 0 \), y \( y = 0 \).

109. Encuentre el volumen del sólido situado en el primer octante y acotado por los planos \( x + 2y = 1 \), \( x = 0 \), \( y = 0 \), \( z = 4 \), y \( z = 0 \).

110. Encuentre el volumen del sólido acotado por los planos \( x + y = 1 \), \( x – y = 1 \), \( x = 0 \), \( z = 0 \), y \( z = 10 \).

111. Encuentre el volumen del sólido acotado por los planos \( x + y = 1 \), \( x – y = 1 \), \( x + y = -1 \), \( x – y = -1 \), \( z = 1 \) y \( z = 0 \).

112. Sean \( S_1 \) y \( S_2 \) los sólidos situados en el primer octante bajo los planos \( x + y + z = 1 \) y \( x + y + 2z = 1 \), respectivamente, y sea \( S \) el sólido situado entre \( S_1, S_2, x = 0, \) y \( y = 0 \).

a. Encuentre el volumen del sólido \( S_1 \).
b. Encuentre el volumen del sólido \( S_2 \).
c. Encuentre el volumen del sólido \( S \) restando los volúmenes de los sólidos \( S_1 \) y \( S_2 \).

113. Sean \( S_1 \) y \( S_2 \) los sólidos situados en el primer octante bajo los planos \( 2x + 2y + z = 2 \) y \( x + y + z = 1 \), respectivamente, y sea \( S \) el sólido situado entre \( S_1, S_2, x = 0, \) y \( y = 0 \).

114. Sean \( S_1 \) y \( S_2 \) los sólidos situados en el primer octante bajo el plano \( x + y + z = 2 \) y bajo la esfera \( x^2 + y^2 + z^2 = 4 \), respectivamente. Si el volumen del sólido \( S_2 \) es \( \displaystyle \frac{4\pi}{3} \), determine el volumen del sólido \( S \) situado entre \( S_1 \) y \( S_2 \) restando los volúmenes de estos sólidos.

115. Considere el plano \( x + y + z = 2 \) y el cilindro \( x^2 + y^2 = 4 \) en el primer octante.

a. Encuentre el volumen bajo el plano.
b. Encuentre el volumen dentro del cilindro bajo el plano \( z = 2 \).
c. Encuentre el volumen sobre el plano, dentro del cilindro y debajo del plano \( z = 2 \).

116. [T] La siguiente figura muestra la región \( D \) acotada por las curvas \( y = \sin x, x = 0, \) y \( y = x^4 \). Utilice una calculadora gráfica o un sistema de álgebra computacional (CAS) para encontrar las coordenadas \( x \) de los puntos de intersección de las curvas y para determinar el área de la región \( D \). Redondee sus respuestas a seis decimales.

117. [T] La región \( D \) acotada por las curvas \( y = \cos x, x = 0, \) y \( y = x^3 \) se muestra en la siguiente figura. Utilice una calculadora gráfica o un sistema de álgebra computacional (CAS) para encontrar las coordenadas \( x \) de los puntos de intersección de las curvas y para determinar el área de la región \( D \). Redondee sus respuestas a seis decimales.

118. Suponga que \( (X, Y) \) es el resultado de un experimento que debe ocurrir en una región particular \( S \) en el plano \( xy \). En este contexto, la región \( S \) se llama el espacio muestral del experimento y \( X \) e \( Y \) son variables aleatorias. Si \( D \) es una región incluida en \( S \), entonces la probabilidad de que \( (X, Y) \) esté en \( D \) se define como \( \displaystyle P[(X, Y) \in D] = \iint\limits_{D} p(x, y) \, dx \, dy \), donde \( p(x, y) \) es la densidad de probabilidad conjunta del experimento.

Aquí, \( p(x, y) \) es una función no negativa para la cual \( \displaystyle \iint\limits_{S} p(x, y) \, dx \, dy = 1 \). Suponga que un punto \( (X, Y) \) se elige arbitrariamente en el cuadrado \( [0, 3] \times [0, 3] \) con la densidad de probabilidad:

\( p(x, y) = \begin{cases} \frac{1}{9} & (x, y) \in [0, 3] \times [0, 3], \\ 0 & \text{en otro caso.} \end{cases} \)

Encuentre la probabilidad de que el punto \( (X, Y) \) esté dentro del cuadrado unitario e interprete el resultado.

119. Considere \( X \) e \( Y \) dos variables aleatorias de densidades de probabilidad \( p_1(x) \) y \( p_2(y) \), respectivamente. Se dice que las variables aleatorias \( X \) e \( Y \) son independientes si su función de densidad conjunta está dada por \( p(x, y) = p_1(x)p_2(y) \). En un restaurante con servicio al automóvil, los clientes pasan, en promedio, 3 minutos realizando sus pedidos y 5 minutos adicionales pagando y recogiendo sus comidas. Suponga que realizar el pedido y pagar/recoger la comida son dos eventos independientes \( X \) e \( Y \). Si los tiempos de espera se modelan mediante las densidades de probabilidad exponencial:

\( p_1(x) = \begin{cases} \frac{1}{3} e^{-x/3} & x \geq 0, \\ 0 & \text{en otro caso,} \end{cases} \) y \( p_2(y) = \begin{cases} \frac{1}{5} e^{-y/5} & y \geq 0, \\ 0 & \text{en otro caso,} \end{cases} \)

respectivamente, la probabilidad de que un cliente pase menos de 6 minutos en la línea del servicio al automóvil está dada por \( \displaystyle P[X + Y \leq 6] = \iint\limits_{D} p(x, y) \, dx \, dy \), donde \( D = \{(x, y) \mid x \geq 0, y \geq 0, x + y \leq 6\} \). Encuentre \( P[X + Y \leq 6] \) e interprete el resultado.

120. [T] El triángulo de Reuleaux consiste en un triángulo equilátero y tres regiones, cada una de ellas acotada por un lado del triángulo y un arco de círculo de radio \( s \) centrado en el vértice opuesto del triángulo. Demuestre que el área del triángulo de Reuleaux en la siguiente figura de longitud de lado \( s \) es \( \displaystyle \frac{s^2}{2} (\pi – \sqrt{3}) \).

121. [T] Demuestre que el área de las lúnulas de Alhazen, las dos lúnulas azules en la siguiente figura, es la misma que el área del triángulo rectángulo \( ABC \). Los límites exteriores de las lúnulas son semicírculos de diámetros \( AB \) y \( BC \), respectivamente, y los límites interiores están formados por el círculo circunscrito del triángulo \( ABC \).

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