Sigamos la estrategia de resolución de problemas:

1. La función de optimización es \( f(x, y) = x^2 + 4y^2 – 2x + 8y \). Para determinar la función de restricción, primero debemos restar 7 de ambos lados de la restricción. Esto da \( x + 2y – 7 = 0 \). La función de restricción es igual al lado izquierdo, por lo que \( g(x, y) = x + 2y – 7 \). El problema nos pide hallar el valor mínimo de \( f \), sujeto a la restricción.



Figura 11.8.3 Gráfica de las curvas de nivel de la función \( f(x,y) = x^2 + 4y^2 – 2x + 8y \), correspondientes a \( c = 10 \) y \( 26 \). La gráfica en rojo corresponde a la función de restricción.

2. Luego, debemos calcular los gradientes de tanto \( f \) como \( g \):

   $$\nabla f(x, y) = (2x – 2)\mathbf{i} + (8y + 8)\mathbf{j}$$ $$\nabla g(x, y) = \mathbf{i} + 2\mathbf{j}$$

   La ecuación \( \nabla f(x_0, y_0) = \lambda \nabla g(x_0, y_0) \) se convierte en:

   $$(2x_0 – 2)\mathbf{i} + (8y_0 + 8)\mathbf{j} = \lambda(\mathbf{i} + 2\mathbf{j}),$$

   que puede reescribirse como:

   $$(2x_0 – 2)\mathbf{i} + (8y_0 + 8)\mathbf{j} = \lambda\mathbf{i} + 2\lambda\mathbf{j}.$$

   A continuación, igualamos los coeficientes de \( \mathbf{i} \) y \( \mathbf{j} \):

   $$2x_0 – 2 = \lambda$$ $$8y_0 + 8 = 2\lambda$$

   La ecuación \( g(x_0, y_0) = 0 \) se convierte en \( x_0 + 2y_0 – 7 = 0 \). Por lo tanto, el sistema de ecuaciones que necesita ser resuelto es:

   $$\begin{cases} 2x_0 – 2 &= \lambda \\ 8y_0 + 8 &= 2\lambda \\ x_0 + 2y_0 – 7 &= 0 \end{cases}$$

3. Este es un sistema lineal de tres ecuaciones con tres variables. Comenzamos resolviendo la segunda ecuación para \( \lambda \) y sustituyéndola en la primera ecuación. Esto da \( \lambda = 4y_0 + 4 \), por lo que al sustituir esto en la primera ecuación obtenemos:

   $$2x_0 – 2 = 4y_0 + 4$$

   Resolviendo esta ecuación para \( x_0 \) obtenemos \( x_0 = 2y_0 + 3 \). Luego sustituimos esto en la tercera ecuación:

   $$(2y_0 + 3) + 2y_0 – 7 = 0$$ $$4y_0 – 4 = 0$$ $$y_0 = 1$$

   Dado que \( x_0 = 2y_0 + 3 \), esto nos da \( x_0 = 5 \).
4. A continuación, sustituimos \( (5, 1) \) en \( f(x, y) = x^2 + 4y^2 – 2x + 8y \), lo que da:

   $$f(5, 1) = 5^2 + 4(1)^2 – 2(5) + 8(1) = 27$$

   Para asegurar que esto corresponde a un valor mínimo en la función de restricción, probemos algunos otros valores, como las intersecciones de \( g(x, y) = 0 \), que son \( (7, 0) \) y \( (0, 3.5) \). Obtenemos \( f(7, 0) = 35 \) y \( f(0, 3.5) = 77 \), por lo que parece que \( f \) tiene un mínimo en \( (5, 1) \).

Nuevamente, sigamos la estrategia de resolución de problemas:

1. La función de optimización es \( f(x, y) = 48x + 96y – x^2 – 2xy – 9y^2 \). Para determinar la función de restricción, primero restamos 216 de ambos lados de la restricción y luego dividimos ambos lados por 4, lo que nos da \( 5x + y – 54 = 0 \). La función de restricción es igual al lado izquierdo, por lo tanto \( g(x, y) = 5x + y – 54 \). El problema nos pide resolver para el valor máximo de \( f \), sujeto a esta restricción.
2. Por lo tanto, calculamos los gradientes de tanto \( f \) como \( g \):

   $$\nabla f(x, y) = (48 – 2x – 2y)\mathbf{i} + (96 – 2x – 18y)\mathbf{j}$$ $$\nabla g(x, y) = 5\mathbf{i} + \mathbf{j}$$

   La ecuación \( \nabla f(x_0, y_0) = \lambda \nabla g(x_0, y_0) \) se convierte en:

   $$(48 – 2x_0 – 2y_0)\mathbf{i} + (96 – 2x_0 – 18y_0)\mathbf{j} = \lambda(5\mathbf{i} + \mathbf{j}),$$

   que puede reescribirse como:

   $$(48 – 2x_0 – 2y_0)\mathbf{i} + (96 – 2x_0 – 18y_0)\mathbf{j} = 5\lambda\mathbf{i} + \lambda\mathbf{j}.$$

   Luego, igualamos los coeficientes de \( \mathbf{i} \) y \( \mathbf{j} \):

   $$48 – 2x_0 – 2y_0 = 5\lambda$$ $$96 – 2x_0 – 18y_0 = \lambda$$

   La ecuación \( g(x_0, y_0) = 0 \) se convierte en \( 5x_0 + y_0 – 54 = 0 \). Por lo tanto, el sistema de ecuaciones que debe resolverse es:

   $$\begin{cases} 48 – 2x_0 – 2y_0 &= 5\lambda \\ 96 – 2x_0 – 18y_0 &= \lambda \\ 5x_0 + y_0 – 54 &= 0 \end{cases}$$

3. Usamos el lado izquierdo de la segunda ecuación para sustituir \( \lambda \) en la primera ecuación:

   $$48 – 2x_0 – 2y_0 = 5(96 – 2x_0 – 18y_0)$$ $$48 – 2x_0 – 2y_0 = 480 – 10x_0 – 90y_0$$ $$8x_0 = 432 – 88y_0$$ $$x_0 = 54 – 11y_0$$

   Luego sustituimos esto en la tercera ecuación:

   $$5(54 – 11y_0) + y_0 – 54 = 0$$ $$270 – 55y_0 + y_0 – 54 = 0$$ $$216 – 54y_0 = 0$$ $$y_0 = 4$$

   Dado que \( x_0 = 54 – 11y_0 \), esto nos da \( x_0 = 10 \).
4. A continuación, sustituimos \( (10, 4) \) en \( f(x, y) = 48x + 96y – x^2 – 2xy – 9y^2 \), lo que da:

   $$f(10, 4) = 48(10) + 96(4) – (10)^2 – 2(10)(4) – 9(4)^2$$ $$f(10, 4) = 480 + 384 – 100 – 80 – 144 = 540$$

   Por lo tanto, el beneficio máximo que se puede alcanzar, sujeto a las restricciones presupuestarias, es de $540,000 con un nivel de producción de 10,000 pelotas de golf y 4 horas de publicidad compradas al mes. Verifiquemos para asegurarnos de que esto es realmente un máximo. Los puntos extremos de la línea que define la restricción son \( (10.8, 0) \) y \( (0, 54) \). Evaluemos \( f \) en ambos puntos:

   $$f(10.8, 0) = 48(10.8) + 96(0) – 10.8^2 – 2(10.8)(0) – 9(0^2) = 401.76$$ $$f(0, 54) = 48(0) + 96(54) – 0^2 – 2(0)(54) – 9(54^2) = -21,060$$

   El segundo valor representa una pérdida, ya que no se producen pelotas de golf. Ninguno de estos valores supera 540, por lo que parece que nuestro extremo es un valor máximo de \( f \).

1. La función de optimización es \( f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 \). Para determinar la función de restricción, restamos 1 de cada lado de la restricción: \( x + y + z – 1 = 0 \), lo que nos da la función de restricción como \( g(x, y, z) = x + y + z – 1 \).
2. A continuación, calculamos \( \nabla f(x, y, z) \) y \( \nabla g(x, y, z) \):

   $$\nabla f(x, y, z) = \langle 2x, 2y, 2z \rangle$$ $$\nabla g(x, y, z) = \langle 1, 1, 1 \rangle$$

   Esto nos lleva a las ecuaciones:

   $$\langle 2x_0, 2y_0, 2z_0 \rangle = \lambda \langle 1, 1, 1 \rangle$$ $$x_0 + y_0 + z_0 – 1 = 0$$

   las cuales pueden reescribirse de la siguiente forma:

   $$\begin{cases} 2x_0 &= \lambda \\ 2y_0 &= \lambda \\ 2z_0 &= \lambda \\ x_0 + y_0 + z_0 – 1 &= 0 \end{cases}$$

3. Dado que cada una de las tres primeras ecuaciones tiene a \( \lambda \) en el lado derecho, sabemos que \( 2x_0 = 2y_0 = 2z_0 \) y las tres variables son iguales entre sí. Sustituyendo \( y_0 = x_0 \) y \( z_0 = x_0 \) en la última ecuación se obtiene \( 3x_0 – 1 = 0 \), por lo que \( x_0 = \frac{1}{3} \), \( y_0 = \frac{1}{3} \) y \( z_0 = \frac{1}{3} \), lo cual corresponde a un punto crítico en la curva de restricción.
4. Luego, evaluamos \( f \) en el punto \( \left( \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right) \):

   $$f\left( \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right) = \left( \frac{1}{3} \right)^2 + \left( \frac{1}{3} \right)^2 + \left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$$

   Por lo tanto, un extremo de la función es \( \frac{1}{3} \). Para verificar que es un mínimo, elegimos otros puntos que satisfagan la restricción y calculamos \( f \) en esos puntos. Por ejemplo:

   $$f(1, 0, 0) = 1^2 + 0^2 + 0^2 = 1$$ $$f(0, -2, 3) = 0^2 + (-2)^2 + 3^2 = 13$$

   Ambos valores son mayores que \( \frac{1}{3} \), lo que nos lleva a creer que el extremo es un mínimo. ♦

Sigamos la estrategia de resolución de problemas:

1. La función de optimización es \( f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 \). Para determinar las funciones de restricción, primero restamos \( z^2 \) de ambos lados de la primera restricción, lo que nos da \( x^2 + y^2 – z^2 = 0 \), por lo que \( g(x, y, z) = x^2 + y^2 – z^2 \). La segunda función de restricción es \( h(x, y, z) = x + y – z + 1 \).
2. Luego calculamos los gradientes de \( f, g \) y \( h \):

   $$\nabla f(x, y, z) = 2x\mathbf{i} + 2y\mathbf{j} + 2z\mathbf{k}$$ $$\nabla g(x, y, z) = 2x\mathbf{i} + 2y\mathbf{j} – 2z\mathbf{k}$$ $$\nabla h(x, y, z) = \mathbf{i} + \mathbf{j} – \mathbf{k}$$

   La ecuación \( \nabla f(x_0, y_0, z_0) = \lambda_1 \nabla g(x_0, y_0, z_0) + \lambda_2 \nabla h(x_0, y_0, z_0) \) se convierte en:

   $$2x_0\mathbf{i} + 2y_0\mathbf{j} + 2z_0\mathbf{k} = \lambda_1 (2x_0\mathbf{i} + 2y_0\mathbf{j} – 2z_0\mathbf{k}) + \lambda_2 (\mathbf{i} + \mathbf{j} – \mathbf{k}),$$

   que puede reescribirse como:

   $$2x_0\mathbf{i} + 2y_0\mathbf{j} + 2z_0\mathbf{k} = (2\lambda_1 x_0 + \lambda_2)\mathbf{i} + (2\lambda_1 y_0 + \lambda_2)\mathbf{j} – (2\lambda_1 z_0 + \lambda_2)\mathbf{k}.$$

   A continuación, igualamos los coeficientes de \( \mathbf{i}, \mathbf{j} \) y \( \mathbf{k} \) iguales entre sí:

   $$2x_0 = 2\lambda_1 x_0 + \lambda_2$$ $$2y_0 = 2\lambda_1 y_0 + \lambda_2$$ $$2z_0 = -2\lambda_1 z_0 – \lambda_2$$

   Las dos ecuaciones que surgen de las restricciones son \( z_0^2 = x_0^2 + y_0^2 \) y \( x_0 + y_0 – z_0 + 1 = 0 \). Combinando estas ecuaciones con las tres anteriores obtenemos:

   $$2x_0 = 2\lambda_1 x_0 + \lambda_2$$ $$2y_0 = 2\lambda_1 y_0 + \lambda_2$$ $$2z_0 = -2\lambda_1 z_0 – \lambda_2$$ $$z_0^2 = x_0^2 + y_0^2$$ $$x_0 + y_0 – z_0 + 1 = 0.$$

3. Las primeras tres ecuaciones contienen la variable \( \lambda_2 \). Resolviendo la tercera ecuación para \( \lambda_2 \) y sustituyéndola en la primera y segunda ecuaciones, reducimos el número de ecuaciones a cuatro:

   $$2x_0 = 2\lambda_1 x_0 – 2\lambda_1 z_0 – 2z_0$$ $$2y_0 = 2\lambda_1 y_0 – 2\lambda_1 z_0 – 2z_0$$ $$z_0^2 = x_0^2 + y_0^2$$ $$x_0 + y_0 – z_0 + 1 = 0.$$

   A continuación, resolvemos la primera y segunda ecuación para \( \lambda_1 \). La primera ecuación da \( \lambda_1 = \frac{x_0 + z_0}{x_0 – z_0} \), la segunda ecuación da \( \lambda_1 = \frac{y_0 + z_0}{y_0 – z_0} \). Igualamos los lados derechos de cada ecuación y multiplicamos en cruz:

   $$\frac{x_0 + z_0}{x_0 – z_0} = \frac{y_0 + z_0}{y_0 – z_0}$$ $$(x_0 + z_0)(y_0 – z_0) = (x_0 – z_0)(y_0 + z_0)$$ $$x_0 y_0 – x_0 z_0 + y_0 z_0 – z_0^2 = x_0 y_0 + x_0 z_0 – y_0 z_0 – z_0^2$$ $$2y_0 z_0 – 2x_0 z_0 = 0$$ $$2z_0(y_0 – x_0) = 0.$$

   Por lo tanto, \( z_0 = 0 \) o \( y_0 = x_0 \). Si \( z_0 = 0 \), entonces la primera restricción se convierte en \( 0 = x_0^2 + y_0^2 \). La única solución real para esta ecuación es \( x_0 = 0 \) y \( y_0 = 0 \), lo cual da la terna ordenada \( (0, 0, 0) \). Este punto no satisface la segunda restricción, por lo que no es una solución. A continuación, consideramos \( y_0 = x_0 \), lo que reduce el número de ecuaciones a tres:

   $$y_0 = x_0$$ $$z_0^2 = x_0^2 + y_0^2$$ $$x_0 + y_0 – z_0 + 1 = 0.$$

   Sustituimos la primera ecuación en la segunda y tercera ecuaciones:

   $$z_0^2 = x_0^2 + x_0^2$$ $$x_0 + x_0 – z_0 + 1 = 0.$$

   Luego, resolvemos la segunda ecuación para \( z_0 \), lo que da \( z_0 = 2x_0 + 1 \). Sustituimos esto en la primera ecuación:

   $$z_0^2 = 2x_0^2$$ $$(2x_0 + 1)^2 = 2x_0^2$$ $$4x_0^2 + 4x_0 + 1 = 2x_0^2$$ $$2x_0^2 + 4x_0 + 1 = 0.$$

   Recordando que \( y_0 = x_0 \), esto también resuelve para \( y_0 \). Luego, \( z_0 = 2x_0 + 1 \), de modo que

   $$z_0 = 2x_0 + 1 = 2\left( -1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + 1 = -2 + 1 \pm \sqrt{2} = -1 \pm \sqrt{2}.$$

   Por lo tanto, hay dos ternas ordenadas como solución:

   $$\left( -1 + \frac{\sqrt{2}}{2}, -1 + \frac{\sqrt{2}}{2}, -1 + \sqrt{2} \right) \text{ y } \left( -1 – \frac{\sqrt{2}}{2}, -1 – \frac{\sqrt{2}}{2}, -1 – \sqrt{2} \right).$$

4. Sustituimos \( \left( -1 + \frac{\sqrt{2}}{2}, -1 + \frac{\sqrt{2}}{2}, -1 + \sqrt{2} \right) \) en \( f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 \), lo que da

   $$\begin{aligned} f\left( -1 + \frac{\sqrt{2}}{2}, -1 + \frac{\sqrt{2}}{2}, -1 + \sqrt{2} \right) &= \left( -1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 + \left( -1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 + (-1 + \sqrt{2})^2 \\ &= \left( 1 – \sqrt{2} + \frac{1}{2} \right) + \left( 1 – \sqrt{2} + \frac{1}{2} \right) + (1 – 2\sqrt{2} + 2) \\ &= 6 – 4\sqrt{2}. \end{aligned}$$

   Luego, sustituimos \( \left( -1 – \frac{\sqrt{2}}{2}, -1 – \frac{\sqrt{2}}{2}, -1 – \sqrt{2} \right) \) en \( f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 \), lo que da

   $$\begin{aligned} f\left( -1 – \frac{\sqrt{2}}{2}, -1 – \frac{\sqrt{2}}{2}, -1 – \sqrt{2} \right) &= \left( -1 – \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 + \left( -1 – \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 + (-1 – \sqrt{2})^2 \\ &= \left( 1 + \sqrt{2} + \frac{1}{2} \right) + \left( 1 + \sqrt{2} + \frac{1}{2} \right) + (1 + 2\sqrt{2} + 2) \\ &= 6 + 4\sqrt{2}. \end{aligned}$$

   \( 6 + 4\sqrt{2} \) y \( 6 – 4\sqrt{2} \) son los valores extremos locales de \( f(x, y, z) \), sujetos a las restricciones dadas. ♦

Utilice el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar el valor mínimo de la función:

$$f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2$$

sujeta a las restricciones \( 2x + y + 2z = 9 \) y \( 5x + 5y + 7z = 29 \). ♦