11.8 Multiplicadores de Lagrange

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Ejercicios propuestos para el Capítulo 11.8

Para los siguientes ejercicios, utilice el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar los valores máximos y mínimos de la función sujetos a las restricciones dadas.

358. $ f(x, y) = x^2 y $; $ x^2 + 2y^2 = 6 $
359. $ f(x, y, z) = xyz $; $ x^2 + 2y^2 + 3z^2 = 6 $
360. $ f(x, y) = xy $; $ 4x^2 + 8y^2 = 16 $
361. $ f(x, y) = 4x^3 + y^2 $; $ 2x^2 + y^2 = 1 $
362. $ f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 $; $ x^4 + y^4 + z^4 = 1 $
363. $ f(x, y, z) = yz + xy $; $ xy = 1 $, $ y^2 + z^2 = 1 $
364. $ f(x, y) = x^2 + y^2 $; $ (x – 1)^2 + 4y^2 = 4 $
365. $ f(x, y) = 4xy $; $ \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1 $
366. $ f(x, y, z) = x + y + z $; $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1 $
367. $ f(x, y, z) = x + 3y – z $; $ x^2 + y^2 + z^2 = 4 $
368. $ f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 $; $ xyz = 4 $

369.

370. Minimice $ f(x, y) = xy $ en la elipse $ b^2x^2 + a^2y^2 = a^2b^2 $.
371. Maximice $ f(x, y, z) = 2x + 3y + 5z $ en la esfera $ x^2 + y^2 + z^2 = 19 $.
372. Maximice $ f(x, y) = x^2 – y^2 $; $ x > 0, y > 0 $; $ g(x, y) = y – x^2 = 0 $.
373. La curva $ x^3 – y^3 = 1 $ es asintótica a la recta $ y = x $. Halle el punto(s) en la curva $ x^3 – y^3 = 1 $ más alejado(s) de la recta $ y = x $.
374. Maximice $ U(x, y) = 8x^{4/5}y^{1/5} $; $ 4x + 2y = 12 $.
375. Minimice $ f(x, y) = x^2 + y^2 $, $ x + 2y – 5 = 0 $.
376. Maximice $ f(x, y) = \sqrt{6 – x^2 – y^2} $, $ x + y – 2 = 0 $.
377. Minimice $ f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 $, $ x + y + z = 1 $.
378. Minimice $ f(x, y) = x^2 – y^2 $ sujeto a la restricción $ x – 2y + 6 = 0 $.
379. Minimice $ f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 $ cuando $ x + y + z = 9 $ y $ x + 2y + 3z = 20 $.

Para el siguiente grupo de ejercicios, utilice el método de los multiplicadores de Lagrange para resolver los siguientes problemas aplicados.

380. Se forma un pentágono colocando un triángulo isósceles sobre un rectángulo, como se muestra en el diagrama. Si el perímetro del pentágono es 10 pulgadas, halle las longitudes de los lados del pentágono que maximizarán su área.

381. Se desea construir una caja rectangular sin tapa a partir de 12 ft² de cartón. Halle el volumen máximo de dicha caja.
382. Halle las distancias mínima y máxima entre la elipse $ x^2 + xy + 2y^2 = 1 $ y el origen.
383. Halle el punto en la superficie $ x^2 – 2xy + y^2 – x + y = 0 $ más cercano al punto $ (1, 2, -3) $.
384. Demuestre que, de todos los triángulos inscritos en una circunferencia de radio $ R $, el triángulo equilátero es el que tiene el mayor perímetro.

385. Halle la distancia mínima desde el punto $ (0, 1) $ a la parábola $ x^2 = 4y $.
386. Halle la distancia mínima desde la parábola $ y = x^2 $ al punto $ (0, 3) $.
387. Halle la distancia mínima desde el plano $ x + y + z = 1 $ al punto $ (2, 1, 1) $.
388. Un contenedor grande con forma de sólido rectangular debe tener un volumen de $ 480 \, \text{m}^3 $. La base del contenedor cuesta $ \$5/\text{m}^2 $ para su construcción, mientras que la tapa y los lados cuestan $ \$3/\text{m}^2 $. Utilice multiplicadores de Lagrange para hallar las dimensiones del contenedor de este tamaño que tenga el costo mínimo.
389. Halle el punto en la recta $ y = 2x + 3 $ que esté más cercano al punto $ (4, 2) $.
390. Halle el punto en el plano $ 4x + 3y + z = 2 $ que esté más cercano al punto $ (1, -1, 1) $.
391. Halle el valor máximo de $ f(x, y) = \sin x \sin y $, donde $ x $ y $ y $ denotan los ángulos agudos de un triángulo rectángulo. Dibuje los contornos de la función utilizando un CAS.
392. Un sólido rectangular está contenido dentro de un tetraedro con vértices en $ (1, 0, 0) $, $ (0, 1, 0) $, $ (0, 0, 1) $ y el origen. La base de la caja tiene dimensiones $ x, y $ y la altura de la caja es $ z $. Si la suma de $ x, y $ y $ z $ es $ 1.0 $, halle las dimensiones que maximizan el volumen del sólido rectangular.
393. [T] Al invertir $ x $ unidades de mano de obra e $ y $ unidades de capital, un fabricante de relojes puede producir $ P(x, y) = 50x^{0.4}y^{0.6} $ relojes. Halle el número máximo de relojes que pueden producirse con un presupuesto de $ \$20,000 $ si la mano de obra cuesta $ \$100/\text{unidad} $ y el capital cuesta $ \$200/\text{unidad} $. Utilice un CAS para trazar un mapa de contornos de la función.

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