| 9. Ecuaciones diferenciales | 9.7.Soluciones en serie de ecuaciones lineales de segundo orden | 9.7.4 Ecuaciones de Euler de puntos singulares regulares |
Ejercicios propuestos para el Capítulo 9.7.4
En los ejercicios 1 a 18, encuentre la solución general de la ecuación de Euler dada en (0, ∞).
19. (a) Adapte la prueba del Teorema 9.7.4.3 para mostrar que y = y(x) satisface la ecuación de Euler
ax2y′′ + bxy′ + cy = 0 (9.7.4.1)
en (−∞, 0) si y solo si Y(t) = y(−et)
en (−∞, ∞).
(b) Use (a) para mostrar que la solución general de (9.7.4.1) en (−∞, 0) es
y = c1|x|r1 + c2|x|r2 si r1 y r2 son números reales distintos;
y = |x|r1(c1 + c2 ln|x|) si r1 = r2;
y = |x|λ [c1 cos(ω ln|x|) + c2 sen(ω ln|x|)] si r1, r2 = λ ± iω con ω > 0.
20. Use la reducción de orden para mostrar que si
ar(r − 1) + br + c = 0
tiene una raíz repetida r1 entonces y = xr1(c1 + c2 lnx) es la solución general de
ax2y′′ + bxy′ + cy = 0
en (0, ∞).
21. Una solución no trivial de
P0(x)y′′ + P1(x)y′ + P2(x)y = 0
se dice que es oscilatoria en un intervalo (a, b) si tiene infinitos ceros en (a, b). De lo contrario, se dice que y es no oscilatoria en (a, b). Demuestre que la ecuación
x2y′′ + ky = 0 (k = constante)
tiene soluciones oscilatorias en (0, ∞) si y solo si k > 1/4.
22. En el Ejemplo 9.7.4.2 vimos que x0 = 1 y x0 = −1 son puntos singulares regulares de la ecuación de Legendre
(1 − x2)y′′ − 2xy′ + α(α + 1)y = 0. (A)
(a) Introduzca las nuevas variables t = x − 1 y Y(t) = y(t + 1), y demuestre que y es una solución de (A) si y solo si Y es una solución de
que tiene un punto singular regular en t0 = 0.
(b) Introduzca las nuevas variables t = x + 1 y Y(t) = y(t − 1), y demuestre que y es una solución de (A) si y sólo si Y es una solución de
que tiene un punto singular regular en t0 = 0.
23. Sean P0, P1 y P2 polinomios sin factor común y suponga que x0 ≠ 0 es un punto singular de
P0(x)y′′ + P1(x)y′ + P2(x)y = 0. (A)
Sean t = x − x0 y Y(t) = y(t + x0).
(a) Muestre que y es una solución de (A) si y sólo si Y es una solución de
donde
Ri(t) = Pi(t + x0), i = 0, 1, 2.
(b) Muestre que R0, R1 y R2 son polinomios en t sin factores comunes, y R0(0) = 0; por tanto, t0 = 0 es un punto singular de (B).